Основи теорії тонкостінних стрижнів. Нормальні й дотичні напруги при
згині. Дотичні напруги при згині в площині симетрії
Основи теорії тонкостінних стрижнів
Нормальні й дотичні напруження при згині
Міркування про відносні порядки величин нормальних і дотичних напружень
при згинанні, наведені в попередньому розділі, до тонкостінних стрижнів
незастосовні. Дотичні напруження, що виникають внаслідок згинання і
крутіння, мають у таких стрижнях той же порядок величини, що й
нормальні, і не враховувати їх не можна. Дотичними напруженнями згинання
будемо називати напруження, що розподіляються приблизно рівномірно по
товщині стінки профілю і не пов’язані із закручуванням стержня.
Очевидно; наприклад, що крутіння не буде, якщо згинати симетричний
стержень, наприклад, двотавр або швелер, силами, що діють у площині його
симетрії. Досить велика жорсткість на крутіння замкнутих тонкостінних
профілів робить для них питання про умови відсутності крутіння
другорядним. У тих же випадках, коли тонкостінний стрижень відкритого
профілю згинається в площині, що навіть є головною площиною, але не
площиною симетрії, необхідно вжити особливих заходів для запобігання
крутіння. Будемо припускати, що в силу тих або інших обставин крутіння
відсутнє, виходить, ніяких інших дотичних напружень, крім як від вигину,
у стрижні немає.
Збереження плоских перетинів при наявності дотичних напружень у
перетині, мабуть, неможливо. Дійсно, дотичні напруження викликають
зсуви, тобто зміну спочатку прямого кута. Таким чином, перетин не може
залишатися перпендикулярним вигнутої осі стрижня, а тому що напруги в
перетині розподіляються нерівномірно, воно не може залишатися плоским
(рис.9.1). Однак, якщо стрижень завантажений зосередженими силами, то на
кожній ділянці поперечна сила постійна, отже, у всіх перетинах цієї
ділянки розподіл дотичних напружень однаковий.
Рис.9.1. Перекручування плоских перерезів
. Звідси виходить, що для балки, що несе зосереджені сили, закон
розподілу нормальних напружень бyде тим же, що й по гіпотезі плоских
перерезів:
(9.1)
Більш точні розрахунки показують, що вплив перекручувань поперечних
перерізів внаслідок дотичних напружень згинання на розподіл нормальних
напружень у загальному випадку навантаження зовсім незначне, тому
формула (9.1) є загальною.
Для визначення дотичних напружень будемо вважати, що вони розподіляються
по товщині стінки рівномірно (рис.9.2).
Рис.9.2. Розподіл дотичних напружень
8 : ? ? N
P
: ? P
?????Й??. Виріжемо елемент серединної поверхні двома нескінченно
близькими утворюючими й двома поперечними перерізами. Сили, що діють на
грані об’ємного елемента, утвореного нормальними перетинами, що
проходять через сторони елемента серединної поверхні, показані на
рис.9.3.
Рис.9.3. Сили, що діють на грані об’ємного елемента
Рівняння рівноваги елемента прийме наступний вид:
. Інтегруючи (9.2), знайдемо
одержимо:
З огляду на диференціальні співвідношення між згинальними моментами і
поперечними силами, напишемо останню рівність так:
Підставивши цей вираз в (9.3), одержимо наступну формулу для закону
розподілу дотичних напружень:
(9.4)
Інтеграли в (9.4) являють собою статичні моменти частини площі
перерізу.
Дотичні напруження при згинанні в площині симетрії
Якщо зовнішні сили діють у площині симетрії перетину, що приймемо за
площину yоz, то в (9.4) залишається один член:
осі у випливає з теореми про те, що в точці контуру вектор дотичного
напруження касається контуру. Однак для прямокутного перерізу,
суцільного або тонкостінного, формула (9.5) вірна.
Тут потрібно прийняти (рис.9.4):
Рис.9.4. Епюра розподілу дотичних напружень
Дотичні напруження при згинанні були вперше розглянуті Д. И. Журавським
(1855 р.) стосовно до розрахунку дерев’яних балок, у яких опір
сколюванню малий й з дотичними напруженнями доводиться рахуватись навіть
для масивних профілів.
, і навпаки. У тонкостінних стрижнях справа може обстояти інакше, як
можна бачити із приклада розрахунку двотаврової балки, що приводиться
нижче.
(рис.9.5).
Рис.9.5. До розрахунку двотаврової балки
Обчислимо статичний момент заштрихованої частини перерізу:
Відповідно до (9.5)
Найбільше дотичне напруження виходить у середині стінки, однак у точці А
воно ще достатньо значне:
При використанні (9.5) для полиці потрібно знайти статичний момент
частини перетину, заштрихованої на рис.9.5 хрест-навхрест, щодо осі х:
тоді по (9.5) одержимо
Найбільше напруження в точці В
і В великі; у точці В це найбільше напруження, у точці А — трохи менше.
Тому, розраховуючи балку по допустимим напруженням, варто рахуватись з
тим, що напружений стан є складним.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
