Основи МКЕ для розрахунку стержневих систем
Для зіставлення можливостей МГЕ й МКЕ коротко представимо останній
метод. Широке застосування МКЕ пояснюється досить розвитий технологією у
вигляді готових програм, де автоматизовані трудомісткі процеси
формування матриці твердості й дискретизації об’єкта дослідження. Метод
дозволяє досить повно врахувати геометрію конструкції, реальні умови її
роботи, розподіл у просторі й зміна в часі зовнішніх навантажень,
будь-які граничні умови, температурні фактори, фізичні властивості
матеріалів і т.п. МКЕ заснований на поданні об’єкта у вигляді сукупності
кінцевих елементів, взаємодіючих між собою в кінцевому числі вузлових
точок. Заміна вихідної конструкції сукупністю кінцевих елементів має на
увазі рівність потенційних енергій конструкції і її дискретної моделі.
Для стержневих систем дотримання енергетичного балансу приводить до
дискретної моделі, що точно описує поводження вихідної конструкції. Така
ідеалізація конструкції вимагає, щоб напружений стан у кожному кінцевому
елементі визначався через значення вузлових переміщень. Зв’язок між
вузловими зусиллями й переміщеннями здійснюється за допомогою матриці
жорсткості по матричному рівнянню
– вектор невідомих переміщень. Рівняння (1.51) відповідає варіанту МКЕ
у формі методу переміщень. Якщо за основні невідомі прийняти вузлові
зусилля, то виходить варіант МКЕ у формі методу сил, де визначальної є
вже матриця піддатливості. Розрахункова практика показала, що МКЕ у
формі методу переміщень має менше число рівнянь для визначення
невідомих, що визначило його переважне використання. Оскільки МКЕ досить
повно й докладно описаний у літературі, то представимо тільки необхідні
дані по методу.
Як кінцеві елементи для розрахунку стержневих систем використовуються
прямолінійні стержні із жорстким защемленням кінців або шарнірним
обпиранням і жорстким затисненням.
Призматичний КЕ при розтяганні-стисканні
––
—
(1.52)
Аналогічний вид має рівняння МКЕ крутіння призматичного бруса, де
необхідно поміняти кінематичні й статичні параметри.
(1.53)
У рівняннях (1.52), (1,53) матриці жорсткості відповідають локальним
системам координат КЕ, а на рис. 1.16, 1.17 показані позитивні напрямки
переміщень і зусиль. Для просторового випадку деформування КЕ рівняння
(1.52), (1.53) поєднуються в одне матричне рівняння 12-го порядку. Якщо
КЕ тонкостінний стержень, то потрібно використовувати МЖ стиснутого
крутіння й порядок рівняння просторового деформування збільшується до
14. Для приведення рівнянь стану КЕ до рівняння (1.51), тобто фактично
до крайової задачі, необхідно виконати ряд стандартних матричних
операцій.
1. Формування МЖ окремих КЕ в глобальній системі координат по формулі
jA
????????????
????????????
ssAAAc8jkd
???? – МЖ КЕ в локальній системі координат.
Матриця містить напрямні косинуси між осями локальної й глобальної
систем координат. Для стержневого КЕ напрямку осей локальної й
глобальної систем координат приймаються однаковими. Тому можна замість
напрямних косинусів використовувати самі переміщення кінцевих перетинів
КЕ в матриці . Наприклад, для завдань згинання вони приймають вид
…
…
де , , … – невідомі переміщення вузлів основної системи методу
переміщень стержневої конструкції.
2. Побудова МЖ конструкції по формулі
(1.55)
3. Складання розв’язного рівняння МКЕ і його рішення
, (1.56)
де – зворотна матриця жорсткості, – матриця вузлових реакцій від
зовнішнього навантаження.
4. Визначення переміщень граничних точок всіх КЕ
(1.57)
5. Визначення зусиль у граничних точках всіх КЕ
, (1.58)
де – матриця зусиль у граничних точках КЕ від невузлових навантажень.
6. Побудова епюр напружено-деформованого стану по компонентах векторів
переміщень і зусиль .
Для рішення задач динаміки даний алгоритм доповнюється наступними
процедурами:
1. Приведення матриць еквівалентних мас КЕ до глобальної системи
координат
, (1.59)
де – матриця еквівалентних мас КЕ в локальній системі координат. Для
поперечних коливань вона має вигляд [184]
;
. (1.60)
2. Формування матриці еквівалентних мас всієї системи
(1.61)
3. Визначення частот власних коливань системи з вікового рівняння
, (1.62)
де – одинична матриця; . У даному варіанті МКЕ число частот власних
коливань дорівнює ступеню кінематичної невизначеності системи. Для
збільшення числа частот і підвищення їх точності необхідно збільшувати
число невідомих методу переміщень.
4. Побудова динамічних матриць жорсткості всіх КЕ в локальній системі
координат
, (1.63)
де – частота змушених коливань.
5. Приведення динамічних матриць жорсткості всіх КЕ до глобальної
системи координат
. (1.64)
6. Формування динамічної матриці жорсткості всієї системи
. (1.65)
7. Складання системи розв’язних рівнянь МКЕ для змушених коливань і його
рішення
. (1.66)
Для задач стійкості відповідно вводяться матриці потенціалу
навантаження. КЕ, навантажені стискаючими силами, мають матриці
потенціалу навантаження в локальній системі координат.
(1.67)
Критичні сили втрати стійкості визначаються з вікового рівняння
(1.68)
де , – матриці жорсткості і потенціалу навантаження системи в
глобальній системі координат. Число критичних сил, як і в задачі
динаміки, буде дорівнювати ступеню кінематичної невизначеності
розрахункової схеми. Приклади розрахунку стержневих систем по МКЕ
представлені в наступних розділах курсу.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
