Осесиметричний згин круглих пластин
Деталі у вигляді круглих осесиметричних пластин знаходять широке
застосування в технці (плоскі днища резервуарів, кришки, фланці,
діафрагми і т.п.).
Інженерна теорія розрахунку осесимметричного згину круглих пластин
ґрунтується на загальних гіпотезах, сформульованих в 12.1.
Приведемо короткий вивід основних рівнянь теорії осесиметричного вигину
круглих пластин.
При осесиметричному навантаженні всі величини є функціями тільки
поточного радіуса r; отже, дана задача одномірна.
.
Рис. 12.7. Деформації пластини при осесиметричному згині
Обчислимо відносні деформації в довільному шарі, розташованому на
відстані z від серединної площини. Відносне подовження в радіальному
напрямку
або після скорочень
(12.24)
Окружну деформацію визначимо як зміну довжини окружності, що проходить
через точку c:
або
(12.25)
За позитивний напрямок координати z прийнятий напрямок долілиць.
дорівнює нулю, то
Вирішивши ці дві рівності щодо напружень, і підставивши значення
деформацій по рівняннях (12.24), (12.25), одержимо:
лінійно залежать від координати z; епюри цих напружень наведені на рис.
12.8.
дорівнює нулю. Однак рівнодіюча дотичних напружень, тобто поперечна
сила Q, зневажити не можна, тому що вона відіграє важливу роль у
рівняннях рівноваги елемента пластини.
Рис. 12.8. Напруження при осесиметричному згині
— Н·см/см, а сили Q — Н/см. Представимо згинальні моменти в радіальному
і окружному напрямках у вигляді інтегралів:
(12.28)
Підставивши під знак інтегралів виразх напружень (12.26) і (12.27) і
виконавши інтегрування, одержимо
(12.30)
де D — згинальна жорсткість пластини, обумовлена формулою (12.9).
. Ця функція, що характеризує кут повороту нормалі, поки невідомо;
відсутнє рівняння для її визначення одержимо з умови рівноваги
нескінченно малого елемента пластини, зображеного на рис. 12.9, а й б.
Рис. 12.9. Рівновага нескінченно малого елемента
–
AE
E
H
J
P
R
gdUXe
gdUXe
.
Із шести рівнянь статики в цьому випадку можна скласти тільки два:
рівняння проекцій сил на вісь z і рівняння моментів щодо осі y. Ці
рівняння після скорочень і виключення величин вищого порядку малості
приймають вид
(12.32)
де q — інтенсивність поверхневого навантаження, Н/см2.
.
Інтегруючи рівняння (12.31), можна визначити силу Q. Ця сила, однак,
може бути знайдена більш просто по рівнянню рівноваги частини пластини,
вирізаної по окружності поточного радіуса r. Нехай, наприклад, пластина
навантажена рівномірним тиском q (рис. 12.10, а). Виділивши із пластини
центральну частину (рис. 12.10, б) і дорівнявши нулю суму проекцій, що
діють на неї сил, одержимо
звідки
.
(12.33)
Цю силу будемо вважати позитивної, якщо вона спрямована так, як показано
на рис. 12.10, б.
Рис. 12.10. До визначення поперечної сили
:
(12.34)
Використовуючи тотожність
рівняння (12.34) можна записати в наступному виді:
(12.34а)
Оскільки інтенсивність поперечної сили Q може бути визначена
заздалегідь, інтегрування рівняння не представляє труднощів.
Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд
— допоміжні змінні.
визначають у кожному окремому випадку по граничних умовах на
зовнішньому й на внутрішньому краї або в центрі пластини (якщо пластина
суцільна).
Зупинимося більш докладно на питанні про визначення постійні
інтегрування. На практиці можуть зустрітися наступні варіанти граничних
умов:
дорівнює нулю.
на краю дорівнюють нулю й, отже, на підставі залежності (12.26) або
(12.29)
— радіус, що відповідає даному краю.
3. До краю пластини прикладений розподілений момент m, тоді, відповідно
до рівняння (12.29), повинне виконуватися рівність
.
і підставивши значення жорсткості(12.9):
(12.36)
Аналогічно, відповідно до формул (12.27) і (12.30),
:
(12.38)
Розглянемо питання про визначення прогину w. Будемо вважати прогин
позитивним, якщо він спрямований долілиць. На рис. 12.11 показана
деформована поверхня пластини.
Рис. 12.11. До визначення прогину пластини
й при позитивному прирісті радіуса dr прогин w одержує негативне
збільшення
звідси виходить
(12.39)
Постійну інтегрування C визначають із умови рівності нулю прогину на
опорі.
Можна також замість невизначеного інтеграла (12.39) взяти певний
інтеграл
— значення радіуса на опорі;
— значення радіуса в тій точці, де визначається прогин.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
