Осесиметричні сферичні оболонки
Розв’язні рівняння осесиметричної деформації сферичних оболонок виходять
із загальних рівнянь (13.274) і (13.276) при підстановці в них Rt = Rm =
R:
(13.323)
де
(13.324)
Увівши позначення диференціального оператора
, (13.325)
запишемо рівняння (13.322) і (13.323) більш коротко:
(13.327)
Загальне рішення цих рівнянь складається із загального рішення
відповідної системи однорідних рівнянь
по формулах (13.258), (13.259) і (13.272), (13.273), у яких варто
покласти Rm = Rt = R. Напруження обчислюють по формулах (13.281) і
переміщення – по формулах (13.35) і (13.282).
Приведемо вирази частного рішення для випадків навантаження, що найбільш
часто зустрічаються.
Рівномірний внутрішній тиск (рис. 13.83, а)
а б
Рис. 13.83. Частні рішення
Зусилля Tm і Tt визначаються по виразах (13.272), (13.273):
(13.329)
Осьова сила Р (рис. 13.83, б):
(13.330)
Неважко переконатися, що частки рішення для цих випадків навантаження
повністю збігаються з рішеннями, які дає безмоментна теорія.
Рівномірне обертання оболонки. Інтенсивність радіального інерційного
навантаження визначається виразом
Її нормальна й дотична складові:
де
визначимо по формулі (13.324):
, тобто
де З — невизначений множник.
в рівняння (13.323) і виконавши нескладні перетворення, знайдемо
, переконуємося, що воно задовольняється при
Отже, шукане частне рішення має вигляд
визначають по формулах (13.271), (13.272) і (13.273), тобто
. Граничні умови в цьому випадку наступні:
Частне рішення розв’язних рівнянь визначається виразами (13.331) і
(13.332). Неважко перевірити, що ця частка рішення задовольняє всім
граничним умовам. Це значить, що загальне рішення відповідного
однорідного рівняння в цьому випадку додавати не потрібно. Таким чином,
формули (13.331) і (13.332) повністю визначають значення зусиль у
замкнутій обертовій оболонці.
одержимо
Радіальні переміщення точок поверхні відповідно до рівняння (13.35):
Осьові переміщення відповідно до рівняння (13.282):
(? відлічується від полюса).
по цій формулі одержимо зміну відстані між полюсами
, побудовані при наступних числових даних:
R = 40 см; h = 2 см, n = 1000 об/хв;
= 7,8·10-2 Н/см3;
= 0,3.
Максимальні напруження виникають у зовнішніх точках на екваторі оболонки
Зміна діаметра по екватору
Зміна відстані між полюсами
, знайдемо
тоді з рівняння Лапласа
Одержимо загальне рішення системи однорідних рівнянь (13.328). Аналіз
цієї системи показує, що другі доданки в лівих частинах рівнянь можна
відкинути (внесена цим погрішність не перевищує погрішності, внесеної
вихідними допущеннями). Після виключення цих складаються уравнения, що,
приймають вид
Ці два рівняння можна привести, до одного рівняння другого порядку щодо
комплексної змінної. Помножимо перше рівняння на невизначений постійний
множник а й складемо із другим:
(13.333)
Множник а підберемо так, щоб добутки, укладені у квадратні дужки, були
рівні між собою, тобто
звідси
(13.334)
знак перед коренем може бути обраний довільно.
Уведемо позначення:
(13.336)
У результаті рівняння (13.333) приймає наступний вид:
. Загальне рішення рівняння (13.337) можна представити в наступному
виді:
— комплексні функції, що є незалежними частками рішеннями рівняння
(13.337);
— комплексні постійні інтегрування.
:
вхідні у формули (13.339), визначаються в результаті інтегрування
диференціального рівняння (13.337). Напишемо це рівняння в розгорнутому
виді:
(13.340)
Не зупиняючись на рішенні, вкажемо лише, що інтеграл рівняння такого
типу виражається через функції Лежандра.
, отримані в результаті зневаги доданками, що мають такий же порядок
малості, як відношення h/R, у порівнянні з одиницею:
(13.341)
Внутрішні силові фактори й переміщення в сферичній оболонці визначаються
на підставі залежностей (13.35), (13.259), (13.260), (13.261), (13.262),
(13.263) і (13.282)
, функції X2 і Y2 прагнуть до нескінченності. Отже, для оболонки,
замкнутої у вершині, коефіцієнти при X2 і Y2 варто приймати рівними нулю
(за винятком случаючи навантаженості замкнутої оболонки зосередженою
силою, прикладеної у вершині).
’
–
?
????,
.
AE
E
E
?
O
O
U
Ue
j
ph = 49,85 см; r2 = 53 см; r3 = 51,6 см; B = 3,15 см; H = 0,8 см.
Рішення.
(рис. 13.85, б).
визначається з умови рівноваги, тобто
а б
Рис. 13.85. До прикладу 13.28
Інші силові фактори повинні бути знайдені з умов спільності деформацій
оболонки й фланця.
Деформації фланця можуть бути обчислені по формулах теорії
осесиметричної деформації кілець.
Геометричні характеристики перетину кільця:
Внутрішні силові фактори в перетині кільця:
Кут повороту перетину кільця
Радіальне переміщення в точці сполучення з оболонкою
.
Для безмоментного стану, що відповідає частному рішенню розв’язних
рівнянь, вище було знайдено
Кут повороту нормалі на краю оболонки в цьому стані дорівнює нулю, а
радіальне переміщення
. У цьому випадку частне рішення дорівнює нулю й залишається тільки
загальне рішення системи однорідних рівнянь (13.339).
Параметр k відповідно до формули (13.335):
Тоді
:
Запишемо рівняння граничних умов:
або
Вирішивши ці два рівняння, знайдемо
:
розтяжні зусилля
і радіальне переміщення
Запишемо рівняння спільності деформацій оболонки й кільця:
або в розгорнутому виді
Рішення цієї системи рівнянь приводить до наступних результатів:
Згинальні напруження в оболонці носять місцевий характер і в міру
видалення від краю швидко убувають. Якщо матеріал оболонки пластичний,
то ці напруження можуть викликати лише невеликі пластичні деформації
стінки оболонки біля краю.
За граничний припустимий тиск у цьому випадку варто прийняти такий, при
якому почнуться пластичні деформації у фланці. Найбільше напруження у
фланці
де
Зіставивши максимальне напруження у фланці із границею текучості
матеріалу, можна встановити гранично припустимий тиск.
Помітимо, що деформації сферичної оболонки в розглянутому прикладі
можуть бути обчислені більш просто – наближеним методом урахування
крайового ефекту (метод Штаєрмана – Геккелєра).
, розроблена В.З. Власовим.
, представимо розв’язні рівняння (13.322) і (13.323) у наступному виді:
, через їхню малість відкинуті).
Частне рішення цих рівнянь таке ж, як і для оболонок з великим кутом
підйому [див. (13.329)-(13.332)].
Для одержання загального рішення системи однорідних рівнянь приведемо їх
до одного диференціального рівняння щодо комплексної функції
де
Шляхом заміни незалежної змінної відповідно до рівності
це рівняння приводиться до рівняння Бесселя індексу 1:
рішення якого має такий вигляд:
Розділивши це рівняння на дійсну й мниму частини, одержимо
(13.344)
де
Для замкнутого купола постійні С3 і С4 варто прийняти рівними нулю. Інші
постійні визначають по крайових умовах.
Приклад. Розрахувати циліндричний резервуар зі сферичним днищем (рис.
13.86, а), що перебуває під дією рівномірного внутрішнього тиску р.
Дано: r = 173,5 см; h = 1 см; R = 1000 см.
а б
Рис. 13.86. До прикладу 13.29
Відокремивши днище від циліндра, прикладемо силові фактори взаємодії M0,
Q0, Tx0 (рис. 13.86, б).
З умови рівноваги днища
Інші два силових фактори повинні бути визначені за умовами сполучення
циліндра й днища:
Знаки обрані відповідно до прийнятих позитивних напрямків переміщень,
показаними, на рис. 13.86, б.
Обчислимо переміщення на краю днища.
Частне рішення розв’язних рівнянь визначається по безмоментній теорії,
тобто
малий, загальне рішення системи однорідних рівнянь візьмемо у вигляді
(13.344); при цьому З3 = З4 = 0, тому що купол у вершині замкнуть:
На краю днища
Користуючись таблицями, знаходимо значення функції Томсона індексу 0:
).
Перераховуємо ці функції на функції індексу 1:
Внутрішні силові фактори й переміщення на краю днища відповідно до
формул (13.342):
Радіальна складова крайових сил для днища (сила розпору)
Із залежностей для M0 і Q0 виразимо C1 і C2:
. У результаті одержимо
Перейдемо до визначення деформацій циліндричної оболонки.
Через те, що циліндрична оболонка має більшу довжину,
у рівняння сполучення днища і циліндра:
Вирішивши цю систему рівнянь, одержимо
Шукані значення кутового переміщення і силових факторів на краю днища:
і на краю циліндра:
При обчисленнях враховано, що
Найбільше згинальне напруження
Найбільше напруження стискання в окружному напрямку в зоні сполучення
Напруження в циліндрі в точках, віддалених від днища,
Високі окружні напруження в зоні сполучення циліндра й днища можуть
привести до виникнення пластичних деформацій, а також до втрати
стійкості й утворенню складок.
Для зниження напружень край циліндра доцільно підсилити кільцем, що
сприймає радіальну силу, передану з боку днища.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
