.

Об’ємна деформація. Рівняння нерозривності деформацій. Тензор деформацій. Головні деформації (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 2174
Скачать документ

Об’ємна деформація. Рівняння нерозривності деформацій. Тензор
деформацій. Головні деформації

Об’ємна деформація

З точністю до нескінченно малих вищого порядку можна вважати, що зміна
об’єму обумовлена тільки зміною довжини ребер і не пов’язане зі зміною
кутів зсуву.

(рис.1.5), після деформації, згідно (1.31), складе

або, з огляду на (1.36),

. (1.37)

Аналогічно

(1.38)

Добуток довжин ребер (1.37), (1.38) дає величину нового об’єму
паралелепіпеда:

одержимо

Позначимо відносну зміну об’єму

тоді

(1.39)

Об’ємна деформація дорівнює сумі лінійних деформацій по трьох взаємно
перпендикулярних напрямках.

З огляду на (1.36), об’ємну деформацію можна виразити через складові
переміщення:

(1.40)

Рівняння нерозривності деформацій

Співвідношення Коші (1.36) зв’язують між собою шість складової
деформації й три складові переміщення, але цей зв’язок не є взаємно
однозначним. Якщо задані три складові переміщення, то шість складових
деформації визначаються однозначно. Якщо ж задані шість складової
деформації, то для визначення трьох складові переміщення потрібно
проінтегрувати шість диференціальних рівнянь у частинних похідних. При
довільному виборі складових деформації шість рівнянь із трьома
невідомими не завжди можуть бути розв’язані однозначно, тому між шістьма
складовими деформації повинні існувати певні залежності.

Виключимо складові переміщення з рівнянь (1.36).

Складемо два останніх вирази:

й тоді

(1.42)

Аналогічно для двох інших координатних площин

(1.43)

Рівняння (1.42), (1.43) означають, що якщо задані дві лінійні деформації
у взаємно перпендикулярних напрямках, то кутову деформацію в площині цих
лінійних деформацій не можна задати довільно. Для забезпечення
однозначності розв’язку цих рівнянь недостатньо, тому що вони отримані
диференціюванням, а при цьому порядок диференціального рівняння
підвищується й можлива поява нових розв’язків, які не задовольняють
вихідному рівнянню.

Продиференціюємо три останніх рівняння (1.36):

(1.44)

Складемо перші два рівняння й віднімемо третє:

і, враховуючи, що

одержимо

(1.45)

Ще два рівняння записуються аналогічно:

????????????H?H??????

?

1/4

A

?

u

ue

??l

p

°

?

3/4

A

yt ZB

j

j

Таким чином, отримана система шести диференціальних рівнянь у частинних
похідних:

(1.47)

Рівняння (1.47) називаються рівняннями нерозривності деформацій
Сен-Венана.

Тензор деформацій. Головні деформації

Взаємозв’язок теорії напруг і теорії деформацій виражається в
математичній аналогії: всі формули теорії деформації можна одержати з
аналогічних формул теорії напруг, якщо в останніх замінити нормальні
напруги лінійними деформаціями, а дотичні – половинами кутових
деформацій.

В зв’язку з цим  лінійна деформація по довільному напрямку , заданому
напрямними косинусами  визначається аналогічно залежності (1.7):

(1.48)

Кутова деформація в довільній площині , заданій векторами  й  з
напрямними косинусами  й  визначається формулою, аналогічною (1.10):

(1.49)

Аналогічно тензору напруг деформований стан тіла в даній точці
описується тензором деформацій

(1.50)

Тензор деформацій можна розкласти на кульовий тензор і деіиатор
деформацій:

(1.51)

де

(1.52)

Величина  — це середня деформація в точці;  — одиничний тензор,
обумовлений формулою (1.22),  — девіатор деформацій:

(1.53)

Девіатор деформацій характеризує зміну форми тіла в околиці розглянутої
точки, тому що об’ємна деформація, рівна сумі компонентів головної
діагоналі девіатора деформацій, відсутня:

Аналогічно головним напругам можна знайти головні деформації, тобто такі
деформації, в площині яких відсутні зсуви. Ці деформації  визначаються,
як і головні напруги, з кубічного рівняння, коефіцієнти якого являють
собою інваріанти деформованого стану:

(1.54)

Таким чином, об’ємна деформація (1.39) є інваріантом стосовно вибору
системи координат.

Напрямки трьох головних деформацій взаємно перпендикулярні й називаються
головними осями деформацій. По напрямках цих осей можливе тільки
розтягання або стиск, а зсуви відсутні.

Аналогічно інтенсивності дотичних напружень (1.26) в теорії деформації
використовується інваріант, який називається інтенсивністю деформації
зсуву, і такий, що представляє собою подвоєний кут зсуву в площині
октаедричної площадки:

(1.55)

Інтенсивності напруг (1.27) в теорії деформацій відповідає інтенсивність
деформації:

(1.56)

За аналогією з напрямним тензором напруг вводиться поняття напрямного
тензора деформацій, під яким розуміється девіатор деформацій, кожний
компонент якого розділений на половину інтенсивності деформацій зсуву:

(1.57)

Як і напрямний тензор напруг, направляючий тензор деформацій визначає
тільки головні напрямки деформацій і співвідношення між компонентами
тензора деформацій, але не визначає їхнього значення.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020