Обчислення переміщень методом Мору. Приклади розрахунків
Обчислення переміщень методом Мору
Метод, що нижче викладається, є універсальним методом визначення переміщень (як лінійних, так і кутових), що виникають у будь-якій стрижневій системі від довільного навантаження.
Розглянемо два стани системи. Нехай у першому з них (вантажний стан) до балки прикладена будь-яке довільне навантаження, а в другому (одиничний стан) — зосереджена сила (рис.11.6).
Робота сили на переміщенні , що виникає від сил першого стану
.
Рис.11.6. Вантажний і одиничний стани
Використовуючи (11.14) і (11.15), виразимо (а, виходить, і ) через внутрішні силові фактори:
| (11.17) |
Знак “+”, отриманий при визначенні , означає, що напрямок шуканого переміщення збігається з напрямком одиничної сили. Якщо визначається лінійний зсув, то узагальнена одинична сила являє собою безрозмірну зосереджену одиничну силу, прикладену в розглянутій крапці; а якщо визначається кут повороту перетину, те узагальнена одинична сила – це безрозмірний зосереджений одиничний момент.
Іноді (11.17) записується у виді
| (11.18) |
де — переміщення по напрямку сили , викликаний дією групи сил . Добутку, що коштують у знаменнику формули (11.18), називаються відповідно жорсткостями при вигині, розтяганні (стиску) і зрушенні; при постійних по довжині розмірах перетину й однаковому матеріалі ці величини можна виносити за знак інтеграла. Вираження (11.17) і (11.18) називаються інтегралами (або формулами) Мору.
Найбільш загальний вид інтеграл Мору має в тому випадку, коли в поперечних переріз стрижнів системи виникають усі шість внутрішніх силових факторів:
| (11.19) |
Алгоритм обчислення переміщення методом Мору полягає в наступному:
- Визначають вираження внутрішніх зусиль від заданого навантаження як функцій координати довільного перетину.
- По напрямку шуканого переміщення прикладається узагальнена одинична сила (зосереджена сила — при обчисленні лінійного переміщення; зосереджений момент — при обчисленні кута повороту).
- Визначають вираження внутрішніх зусиль від узагальненої одиничної сили як функцій координати довільного перетину.
- Підставляють вираження внутрішніх зусиль, знайдені в п.п.1,3 у (11.18) або (11.19) і інтегруванням по ділянках у межах усієї довжини конструкції визначають шукане переміщення.
Формули Мору придатні і для елементів, що представляють собою стрижні малої кривизни, із заміною елемента довжини в підінтегральному вираженні елементом дуги .
У більшості випадків плоскої задачі використовується тільки один член формули (11.18). Так, якщо розглядаються конструкції, що працюють переважно на вигин (балки, рами, а частково й арки), те у формулі переміщень з дотриманням достатньої точності можна залишити тільки інтеграл, що залежить від згинальних моментів; при розрахунку конструкцій, елементи яких працюють, в основному, на центральне розтягання (стиск), наприклад, ферм, можна не враховувати деформації вигину і зрушення, те є у формулі переміщень залишиться тільки член, що містить подовжні сили.
Аналогічно, у більшості випадків просторової задачі істотно спрощується формула Мору (11.19). Так, коли елементи системи працюють переважно на вигин і крутіння (наприклад, при розрахунку плоско-просторових систем, ламаних стрижнів і просторових рам) у (11.19) залишаються тільки перші три члени; а при розрахунку просторових ферм – тільки четвертий член.
Приклади розрахунків
Приклад 11.1. Визначити прогин у середині прольоту і кут повороту лівого опорного перетину балки, навантаженої рівномірно розподіленим навантаженням (рис.11.7,а), методом Мору.
Розглянемо три стани балки: перше (вантажне) — при дії заданого розподіленого навантаження ; йому відповідає епюра моментів (рис.11.7,б). Другий стан (одиничне) — при дії зосередженої сили , прикладеної в крапці ; йому відповідає епюра моментів (рис.11.7,в). Третій стан (також одиничне) — при дії зосередженого моменту , прикладеного в крапці ; йому відповідає епюра моментів (рис.11.7,г). Приймемо початок координат на лівій опорі; тоді ординати зазначених епюр у перетині з координатою відповідно рівні
Рис.11.7. До приклада 11.1
Обчислюємо прогин балки в крапці :
Знак “+” означає, що крапка переміститься в напрямку дії сили
Обчислюємо кут повороту перетину :
Приклад 11.2. Визначити прогин балки в середині прольоту (рис.11.8,а) методом Мору. Оцінити вплив поперечної сили на загальну величину прогину.
Розглянемо два стани балки. Перший стан (вантажне) – при дії сили (рис.11.8,а); йому відповідають епюри згинальних моментів (рис.11.8,б) і поперечних сил (рис.11.8,в).
Другий стан (одиничне) – при дії сили (рис.11.8,г); йому відповідають епюри згинальних моментів (рис.11.8,д) і поперечних сил (рис.11.8,е).
У зв’язку з відсутністю подовжніх сил у поперечних переріз балки інтеграл Мору (11.18) приймає вид
Рис.11.8. До приклада 11.2
Підставляючи значення згинальних моментів і поперечних сил у перетині з координатою (рис.11.8) для складового повного переміщення одержимо
Оцінимо вплив поперечної сили на загальну величину прогину. Нехай розглянута балка має прямокутний поперечний переріз зі сторонами і , при цьому .
Тоді площа перетину і його осьовий момент інерції рівні:
Будемо вважати, що тоді
тобто прогин, обумовлений деформацією зрушення, складає 3% від прогину, обумовленого вигином. Легко переконатися, що при збільшенні відносини вплив поперечних сил на величину прогину стає ще менш значним.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
