Напружений стан при крутінні. Крутіння бруса прямокутного поперечного перерізу
Напружений стан при крутінні
У довільній точці поперечного перерізу брусу виникає дотичне напруження, яке знаходиться по формулі (7.9). У поздовжньому (меридіональному) перерізі, що проходить через ту ж точку, виникає така ж по величині напруга, що слідує із закону парності дотичних напружень. Розподіл цих напруг показаний на мал.7.18,а. По площадках, дотичним до циліндричних поверхонь будь-якого радіуса, напруги відсутні.
Рис.7.18. Розподіл напруг при крутінні
Елемент, виділений зазначеними вихідними площадками, показаний на мал.7.18,а й окремо на мал.7.18,б. Характер напруженого стану у всіх точках бруса (крім точок, що лежать на його осі, у яких взагалі не виникає напруг) однаковий — це чистий зсув; різні лише величини напруг.
Поперечний й меридіональний (радіальний) переріз збігаються із площадками чистого зсуву.
Як було встановлено вище, дотичні напруження на площадках чистого зсуву максимальні для даної точки й чисельно дорівнюють головним напругам:
Головні площадки становлять кути по 45° із площадками чистого зсуву.
На мал.7.19 показані площадки дії й напрямку максимальних дотичних і головних напруг для елемента в поверхні бруса, що скручується.
Рис.7.19. Максимальні дотичні й головні напруги
При випробуванні на крутіння сталевого зразка він руйнується від зсуву по поперечному перерізі (мал.7.20). Пластичні матеріали гірше пручаються зсуву, чим розтяганню.
Рис.7.20. Руйнування сталевого зразка при крутінні
Дерев’яний зразок при випробуванні на крутіння руйнується в результаті виникнення поздовжніх тріщин (мал.7.21). Це пов’язане з тим, що дотичні напруження в поздовжніх перерізах такі ж по величині, як у поперечних, а дерево пручається зсуву (сколюванню) уздовж волокон значно гірше, ніж поперек волокон.
Рис.7.21. Руйнування дерев’яного зразка при крутінні
Чавун пручається розтяганню значно гірше, ніж стиску, і навіть гірше, ніж зсуву, тому при крутінні чавунний зразок руйнується по гвинтовій поверхні, нахиленої під кутом приблизно 45° до поздовжньої осі брусу (мал.7.22). Тріщини, що утворяться на поверхні бруса, у кожній її точці збігаються із площадками дії головної напруги, що розтягує.
Рис.7.22. Руйнування чавунного зразка при крутінні
Крутіння бруса прямокутного поперечного переріза
При крутінні брусів з некруглим поперечним перерізом гіпотеза Бернуллі незастосовна. Ця обставина не дозволяє використовувати методи опору матеріалів для рішення завдання про напруги й переміщення, що виникають при крутінні таких брусів.
Для цілого ряду перерізів, зокрема, для прямокутного, це завдання вирішене методами теорії пружності.
Характер деформації бруса прямокутного перерізу, що скручується, можна спостерігати на гумовій моделі з нанесеної на її поверхні сіткою поздовжніх і поперечних рисок (мал.7.23,а). Зразковий вид деформованого бруса показаний на мал.7.23,б. Жолоблення поперечних перерізів, що виходить у результаті того, що окремі їхні точки при деформації зміщаються уздовж осі бруса неоднаково, називається депланацією.
Рис.7.23. Деформація бруса прямокутного перерізу при крутінні
Епюра дотичних напружень для точок контуру поперечного переріза показана на мал.7.24. У зазначених точках напруги спрямовані уздовж контуру.
Рис.7.24. Епюра дотичних напружень
Найбільші дотичні напруження виникають у точках, що лежать у серединах більших сторін перерізу, і визначаються по формулі
| (7.23) |
де — геометрична характеристика міцності некруглого бруса при його роботі на крутіння. Ця характеристика грає в розрахунках некруглих брусів ту ж роль, що й полярний момент опору для брусів круглого суцільного й кільцевого поперечних перерізів. Значення визначається залежно від абсолютних розмірів перерізу й співвідношення його сторін по формулі
| (7.24) |
де — табличний коефіцієнт, що залежить від відношення , — менша й — більша сторони прямокутника.
Кут закручування ділянки бруса при постійних крутному моменті й розмірах перерізу визначається по формулі
| (7.25) |
де — геометрична характеристика крутильної жорсткості некруглого бруса, що обчислюється по формулі
| (7.26) |
Значення коефіцієнтів і , що залежать від відношення , наведені в табл. 7.1.
Таблиця 7.1
Коефіцієнти для визначення геометричних характеристик і
| 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | 4,0 | 5,0 | 8,0 | 10,0 | ||
| 0,208 | 0,231 | 0,246 | 0,258 | 0,267 | 0,282 | 0,291 | 0,307 | 0,312 | 0,333 | |
| 0,141 | 0,196 | 0,229 | 0,249 | 0,263 | 0,281 | 0,291 | 0,307 | 0,312 | 0,333 | |
| 1,00 | 0,86 | 0,79 | 0,77 | 0,75 | 0,74 | 0,74 | 0,74 | 0,74 | 0,74 |
Напруги, що виникають у серединах коротких сторін перерізу, пов’язані з максимальними напругами залежністю
| (7.27) |
Коефіцієнт береться по табл. 7.1.
Міцність і жорсткість прямокутного бруса при крутінні значно нижче, ніж круглого з рівновеликою площею перерізу. Ця різниця зростає зі збільшенням відношення сторін прямокутника. Рис.7.25 дає уявлення про відносну витрату матеріалу при застосуванні брусів з різними формами поперечного перерізу (за умови їхньої рівноміцності).
Рис.7.25. Витрата матеріалу для перерізів різної форми
Приклад 7.5. Визначити необхідні розміри прямокутного поперечного переріза ( ) бруса, що скручується моментом Прийняти
Рішення
На підставі формули (7.23) умова міцності
звідки
По формулі (7.24)
де (табл. 7.1).
Визначаємо розмір :
На підставі (7.25) умова жорсткості
звідки
По формулі (7.26)
де (табл. 7.1).
Визначаємо розмір :
Цей розмір і приймаємо в якості остаточного. Обчислюємо величину більшої сторони перерізу і його площа:
Необхідний діаметр бруса круглого поперечного переріза при тих же вихідних даних ; відповідна площа перерізу
Відношення мас брусів прямокутного й круглого перерізів дорівнює відношенню площ, тобто дорівнює 1,21.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
