Напруги при розтяганні (стиску). Основні типи задач при розрахунку на
міцність
Напруги при розтяганні (стиску)
Розтягання або стискання стрижня викликається силами, що діють уздовж
його осі (рис.5.1,а). При цьому в поперечних перерізах із шести
внутрішніх силових факторів виникає тільки один — поздовжня
(осьова) сила N, епюра якої наведена на рис.5.1,б. Осьова сила в
перетині є рівнодіючою нормальних напруг, що виникають у кожній із точок
перетину. Відсутність поперечних сил дає підставу припустити, що дотичні
напруги в кожній точці поперечного перерізу дорівнюють нулю.
Рис.5.1. Поздовжня сила в перетині і її епюра
Виведемо формулу для визначення нормальних напруг. Розсічемо стрижень
довільним поперечним перерізом n — n (рис.5.1,в). Статична сторона
завдання виражається вже відомим співвідношенням
, тому що закон розподілу напруг у точках поперечного перерізу не
відомий.
Розглянемо геометричну сторону завдання. При спостереженні деформації
розтягання стрижня, на поверхні якого нанесені лінії,
перпендикулярні до осі брусу (рис.5.1,а), можна відзначити, що ці лінії,
зміщуючись паралельно самим собі, залишаються прямими й
перпендикулярними до осі бруса. Припускаючи, що зазначена картина
переміщення перетинів має місце й усередині стрижня, приходимо до
гіпотези плоских перетинів: поперечні перерізи стрижня, плоскі до
деформації, залишаються плоскими й після неї, переміщуючись поступально
уздовж осі стрижня.
однакові:
(5.6)
Це аналітичне вираження геометричної сторони завдання.
Фізична сторона розглянутого завдання полягає у встановленні залежності
деформацій від напруг. При пружних деформаціях ця залежність
підкоряється закону Гука:
(5.7)
де Е — модуль пружності першого роду.
З огляду на сталість модуля пружності Е для однорідного ізотропного
матеріалу, а також (5.6) і (5.7), знаходимо, що
(5.8)
Підставляючи вираз (5.8) в (5.5), одержуємо
(5.9)
Звідки
(5.10)
Знак напруги залежить від знака поздовжньої сили в розглянутому
перетині. У випадку стиску напруги вважають від’ємними. Формула (5.10)
справедлива лише для перетинів, досить віддалених від місць прикладення
зосереджених навантажень.
Визначаючи напруги при розтяганні, стиску й інших видах деформацій,
широко користуються положенням, що носить назву принципу Сен-Венана:
якщо тіло навантажується статично еквівалентними системами сил, тобто
такими, у яких головний вектор і головний момент однакові, і при цьому
розміри області додатка навантажень невеликі в порівнянні з розмірами
тіла, то в перетинах, досить вилучених від місць додатка сил, напруги
мало залежать від способу навантаження.
Загального теоретичного доказу принцип Сен-Венана не має, але його
справедливість підтверджується численними теоретичними й
експериментальними дослідженнями.
Пояснимо цей принцип на наступному прикладі. Той самий стрижень,
закріплений верхнім кінцем, навантажується на вільному кінці статично
еквівалентними навантаженнями, рівнодіючі яким виражаються величиною
вектора F. Навантаження прикладені різними способами: а) у вигляді
зосередженої осьової сили; б) у вигляді двох сил; в) у вигляді
розподіленого навантаження. Дослідження показують, що у всіх випадках у
поперечному перерізі, віддаленому на відстань, що перевищує в 1, 5-2
рази його поперечні розміри, напруги практично однакові. У перетинах же,
розташованих близько від місця додатка сил, величина напруг і характер
їхніх розподілів різні.
Перейдемо до визначення деформацій стрижня. З виразу (5.9) можна знайти
відносне подовження
, виконаного з однорідного матеріалу (Е = const), в перетинах якого
діють однакові поздовжні сили N, подовження кожної одиниці довжини
однаково а, отже, абсолютне подовження
O
Ue
o
??????????[??
????Формула (5.12) виражає закон Гука для абсолютних подовжень.
називають жорсткістю стрижня.
Якщо на розглянутій ділянці поздовжня сила й поперечний переріз змінні
(рис.5.2,а,б,в), то для елемента нескінченно малої довжини (рис.5.2,г)
їх на підставі формули (5.12) можна записати так:
а б в г
Рис.5.2. Змінна по довжині поздовжня сила
одержимо, підсумовуючи подовження всіх нескінченно малих ділянок:
(5.13)
Відмітимо, що переміщення деякого перетину щодо іншого дорівнює
поздовжньої деформації ділянки стрижня, укладеного між розглянутими
перетинами.
Розтягання й стиск супроводжуються зміною поперечних розмірів стрижня.
При розтяганні вони зменшуються, а при стисканні – збільшуються.
За аналогією з поздовжньою деформацією різниця відповідних поперечних
розмірів після деформації і до її назвемо абсолютною поперечною
деформацією.
При розтяганні поперечні деформації від’ємні, при стисканні – додатні.
для ізотропних матеріалів по всіх поперечних напрямках однакова.
відносними деформаціями при простому розтяганні і стисканні в границях
застосовності закону Гука існує постійне відношення. Абсолютна величина
цього відношення зветься коефіцієнт Пуассона:
(5.14)
Коефіцієнт Пуассона – безрозмірна величина. З огляду на те, що поздовжня
й поперечна деформації завжди мають протилежні знаки, одержуємо
, (5.15)
або, згідно (5.7),
(5.16)
При стиску напруга в (5.16) варто підставляти зі знаком мінус.
близький до нуля, для каучуку — 0,5, для сталі — 0,3.
Основні типи завдань при розрахунку на міцність
Визначивши напругу в небезпечному перерізі розтягнутого (стислого)
стрижня й установивши допустиме напруження, що, відповідно до міркувань,
викладеними вище, можна зробити оцінку міцності стрижня.
Для цього необхідно фактичні напруги в небезпечному перерізі стрижня
зіставити із допустимими:
(5.17)
Тут, мається на увазі допустиме напруження, на розтягання або на стиск,
залежно від того, розтягання або стиск має місце.
Нерівність (5.17), що представляє собою умову міцності при розтяганні
(стиску), дозволяє вирішувати наступні завдання:
1. Перевіряти міцність стрижня, тобто визначати по заданим
навантаженням і розмірам поперечного перерізу стрижня фактичні напруги і
порівнювати їх із допустимими. Фактичні напруги не повинні відхилятися
від допустимого більш ніж на ±5%. Перенапруга більша цього значення
неприпустима з погляду міцності, а недонапруга свідчить про перевитрату
матеріалу. Цей вид розрахунку на міцність називається перевірочним.
2. Визначати (по відомим навантаженню й допустимому напруженню)
розміри поперечного перерізу стрижня, необхідні за умовою його міцності,
тобто виконувати проектувальний розрахунок.
3. Визначати поздовжню силу, що допускається, по заданих розмірах
поперечного перерізу стрижня і відомому допустимому напруженню.
Визначивши поздовжню силу, що допускається, і встановивши зв’язку між
поздовжньою силою й навантаженням (методом перетинів), можна визначити й
допустиме навантаження.
Варто мати на увазі, що стислі стрижні крім розрахунку на міцність у
найбільш ослабленому перетині повинні також розраховуватися на
стійкість, тому що при певному значенні стискаючої сили може відбутися
витріщання (поздовжній згин) стиснутого стрижня.
Виходячи з умови міцності при розтяганні-стиску, можна вирішувати
завдання всіх трьох типів: підбір розмірів поперечного перерізу,
перевірку міцності, визначення допустимого навантаження.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
