Найпростіші осесиметричні задачі згину круглої пластинки
. Тоді рівняння (5.22) значно спрощується:
(5.27)
Формули згинальних моментів (5.23) приймають вигляд
(5.28)
а крутний момент (5.24) звертається в нуль.
Спрощуються й вирази поперечних сил (5.25)
(5.29)
а наведені поперечні сили на контурі (5.26) становлять
, тобто
(а)
Загальний розв’язок однорідного рівняння
записується так:
, рівняння (5.27) можна скласти у вигляді
Переконатися в правильності цього рівняння можна, виконавши
диференціювання в його лівій частині. Диференціюючи функцію, що
розташовується в круглій дужці, знаходимо
або
Диференціюючи функцію, що розташовується в прямих дужках, одержимо
або
Нарешті, диференціюючи функцію, що розташовується у фігурних дужках,
знаходимо
або
що збігається з рівнянням (5.27).
Інтегруючи це рівняння послідовно чотири рази, знайдемо загальний вигляд
частинного розв’язку:
. У цьому випадку вираз (б) легко інтегрується й приводить до наступного
результату:
Отже, загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (5.27)
при рівномірно розподіленому навантаженні такий:
(5.30)
Розглянемо деякі приклади розрахунку пластинок, що перебувають під дією
рівномірно розподіленого навантаження.
1. Суцільна шарнірно обперта по контурі пластинка (рис. 5.16).
Рис. 5.16. Шарнірно обперта по контурі пластинка
, тобто прийняти
Тоді
(г)
Підставляючи в умови (г) функцію прогинів (в), одержуємо:
звідки
Підставляючи знайдені постійні в розв’язок (в), одержуємо функцію
прогинів для розглянутої пластинки:
):
(д)
Підставляючи функцію прогинів (5.31) у формули (5.28), знаходимо
згинальні моменти в пластинці:
(5.32)
Максимальні згинальні моменти також виникають у центрі пластинки:
):
, показані на рис. 5.16.
2. Суцільна затиснена по контурі пластинка (рис. 5.17).
Рис.5.17. Затиснена по контурі пластинка
маємо наступні граничні умови: на зовнішньому контурі пластинки
повинні біти відсутніми прогини й повороти перерізів, тобто
Підставляючи в ці умови функцію прогинів (в), одержуємо:
e
?th
h
???????e
eeii?ueth
X
f
h
j
??
звідки
і рівняння серединної поверхні (в) приймає вигляд
)
З порівняння цього результату з формулою (д) випливає, що максимальний
прогин затисненої по контурі пластинки в чотири рази менший
максимального прогину шарнірно обпертої пластинки.
Підставляючи функцію прогинів (5.33) у формули (5.28), знаходимо
згинальні моменти:
(5.34)
Згинальні моменти в центрі пластинки:
на контурі:
, показані на рис. 5.17. Максимальний за абсолютним значенням
згинальний момент виникає в точках контуру на площадках,
перпендикулярних радіусу. Він на 40% менший максимального згинального
моменту в шарнірно обпертій пластинці.
3. Кільцева пластинка із затисненим зовнішнім краєм (рис. 5.18).
Рис. 5.18. Кільцева пластинка із затисненим зовнішнім краєм
)
)
Підставляючи в ці умови функцію прогинів, (5.30), одержимо систему
рівнянь:
Розв’язавши цю систему, знаходимо
(е)
де
Якщо ввести позначення
то рівняння серединної поверхні пластинки (5.30) після підстановки в
нього сталих (е) прийме наступний вигляд:
(5.35)
Подальший хід розрахунку, тобто визначення зусиль і напруг не
представляє складнощів і проводиться аналогічно попереднім прикладам.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
