Наближений метод обліку крайового ефекту (метод Штаєрмана – Геккелера)
На рис. 13.87, а і б зображені оболонки обертання, навантажені по краю
розподіленими навантаженнями М0 і Q0. Перша оболонка – полога. При
осесиметричному згинанні такої оболонки радіальні переміщення точок і
відповідні їм окружні деформації розтягання біля краю малі. Тому
деформації, викликані згинальним моментом, загасають повільно, і вплив
моменту поширюється практично на всю оболонку.
а б
Рис. 13.87. Оболонки обертання
У другому випадку кут нахилу нормалі ? великий. Тут при осесиметричному
згині біля краю виникає значне окружне розтягання; внаслідок цього
згинальні деформації в оболонці швидко загасають і на невеликій відстані
від краю вже практично повністю відсутні.
Вплив окружного розтягання при осесиметричному згині оболонки з великим
кутом підйому подібно впливу пружної основи. Аналогічне явище швидкого
загасання деформацій біля краю було відзначено в осесиметрично
навантаженій циліндричній оболонці.
На зазначеній аналогії засновано ефективний метод розрахунку оболонок
обертання з великим кутом підйому, навантажених крайовими
навантаженнями. У цьому методі використані наступні допущення:
— кут або дуга, відлічувана від розглянутого краю оболонки, k —
параметр. При диференціюванні цих функцій параметр k виходить щораз у
вигляді множника. Так як всі ці функції — швидкозатухаючі, то величина
параметра k велика, так як значення перших похідних набагато більше, ніж
значення самих функцій, а значення других похідних — відповідно більше,
ніж перших. На цій підставі члени, що містять самі функції і їх перші
похідні в лівих частинах розв’язних рівнянь (13.274) і (13.276),
відкидаються. Функція Ф у правої частини рівняння (13.274) у цьому
випадку дорівнює нулю, так як розглядаються тільки крайові навантаження.
У результаті розв’язні рівняння (13.274) і (13.276) приймають вид
(13.346)
2. Радіуси кривизни Rm і Rt біля краю приймають постійними. Це допущення
точно виконується у випадку сферичної оболонки. Для оболонок інших видів
це допущення виконується тим точніше, ніж ближче форма оболонки до
сферичної.
в рівняння (13.346), одержимо розв’язне рівняння крайового ефекту
(13.347)
Уведемо позначення:
або
(13.348)
Тоді рівняння (13.347) приймає вид
досить великий.
Рівняння (13.349) аналогічний однорідному рівнянню осесиметричної
деформації циліндричної оболонки.
, що представляє собою кутову координату, відлічувану від краю оболонки.
Якщо розглядається нижній край (рис. 13.88, а), то
а б
Рис. 13.88. Кутова координата, відлічувана від краю оболонки
Якщо розглядається верхній край (рис. 13.88, б), то кут відлічується у
зворотну сторону й тоді
Так як в обох цих випадках
то при переході до нової змінної диференційне рівняння (13.349) не
змінює свого виду, тобто
(13.350)
Рішення диференційного рівняння (13.350) записується так само, як для
довгої циліндричної оболонки:
, повинний бути відсутнім. Тому постійні C3 і C4 варто дорівняти до
нуля, тоді
:
(13.353)
(знаки, зазначені зверху, – для верхнього краю, знаки, зазначені знизу,
–для нижнього).
[див. (13.267) і (13.275)]. У цьому випадку внутрішні силові фактори й
переміщення пов’язані з функцією V наступними залежностями:
, у виразах згинальних моментів відкинуті.
Запишемо рівняння граничних умов для розглянутого випадку навантаження
крайовим навантаженням:
або з урахуванням рівностей (13.352), (13.353) і (13.354):
звідки
У результаті підстановки функції V і її похідних, з урахуванням значень
C1 і C2, вираз внутрішніх силових факторів і переміщень приймають вид
(13.356)
Верхні знаки ставляться до верхнього краю пояса оболонки, а нижні –
відповідно до нижнього.
При дії на оболонку довільного осесиметричного навантаження до рішення,
обумовленому рівностями (13.355), треба додати ще частне рішення
неоднорідної задачі, що у більшості випадків визначається по
безмоментній теорії.
.
Приклад 13.30. Визначити переміщення на краю сферичної оболонки,
зображеної на рис. 13.85, б. Дано: Rm = Rt = R = 50 см; h = 0,3 см.
Рішення.
(13.348)] і згинальну жорсткість D:
. Знаки беремо нижні:
Ці значення збігаються з отриманими в прикладі 13.27, де та ж задача
була вирішена на основі точних рівнянь.
дорівнює 90° і радіуси кривизни мають постійне значення.
Приклад. Порівняти значення внутрішніх силових факторів і напружень у
сферичному куполі для чотирьох варіантів граничних умов (рис. 13.89);
а) купол навантажений по краю тільки нормальною меридіональною силою –
безмоментний напружений стан (рис. 13.89, а)
б) край купола жорстко затиснено (рис. 13.89, б);
в) край шарнірно закріплений (рис. 13.89, в);
г) край вільно опирається на площину (рис. 13.89, г).
= 35°.
Рішення.
ці зусилля постійні (рис. .13.90, а).
Напруження
і відносне окружне подовження
постійні.
в г
Рис. 13.89. Наприклад 13.31
.
Розглянуте безмоментний напружений стан оболонки відповідає частному
рішенню розв’язних рівнянь.
Запишемо граничні умови для другого варіанта:
, відповідно до залежностей (13.356), одержимо два рівняння:
У результаті рішення цих рівнянь при
знайдемо
і побудувати відповідні епюри (рис. 13.90, б).
б г
Рис. 13.90. Епюри до наприкладу 13.31
Аналогічно, але більш просто, розраховується третій варіант.
У цьому випадку граничні умови наступні:
На підставі другої умови з урахуванням останньої формули (13.356):
звідки
Епюри внутрішніх силових факторів для третього варіанта наведені на рис.
13.90, в.
Нарешті, в останньому четвертому варіанті, у силу того, що купол вільно
опирається на площину, згинальний момент і сила розпору на краю купола
дорівнюють нулю, тобто
Відповідно до другої умови, реакція опори має тільки вертикальну
складову, інтенсивність якої визначається по рівнянню рівноваги
Спроектувавши цю реакцію на напрямок нормалі до поверхні оболонки,
знайдемо поперечну силу на краю
й додавши частку рішення, одержимо значення силових факторів,
зазначених на епюрах рис. 13.90, г.
Обчислимо максимальні напруження при різних варіантах закріплення.
(безмоментний напружений стан).
У другому варіанті (рис. 13.89, б) максимальне напруження виникає біля
краю:
В окружному напрямку напруження значно менше. У третьому варіанті (рис.
13.89, в) найбільші напруження виникають на деякому видаленні від краю й
становлять
Як показують результати розрахунків, найбільш несприятливий варіант –
четвертий. Це пояснюється тим, що при вільному обпиранні купола не
забезпечене сприйняття сили розпору, внаслідок чого оболонка перебуває в
стані, найбільш далекому від безмоментного.
Розглянемо питання про застосування методу Штаєрмана-Геккелєра до
розрахунку конічної оболонки.
у цьому випадку постійний, він не може бути прийнятий у якості
незалежної змінної. За незалежну змінну необхідно прийняти координату s,
відлічувану уздовж утворюючої.
до змінного s на підставі співвідношень
рівняння (13.347) приймає наступний вид:
або
(13.357)
де
Позначимо через х координату, відлічувану від розглянутого краю
оболонки.
— координата, що відповідає даному краю.
При переході до змінного рівняння (13.357) не змінює свого виду:
(13.359)
Рівняння (13.359) вирішується аналогічно. У результаті виходять наступні
формули для внутрішніх силових факторів і переміщень:
— силові фактори на краю оболонки. Позитивні напрямки цих силових
факторів показані на рис. 13.87, а, б.
Верхні знаки у формулах (13.360) ставляться до верхнього краю пояса
оболонки; нижні, відповідно, до нижнього.
= 17,3 см.
Рішення.
для нижнього краю відповідно до формули (13.358):
Силові фактори на нижньому краї
По формулах (13.360), вважаючи в них x = 0, обчислимо кутове переміщення
й силові фактори на нижньому краю оболонки:
Порівнюючи ці значення зі значеннями, отриманими в прикладі 13.26, можна
побачити, що погрішність наближеного розрахунку в цьому випадку не
перевищує 1%.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
