Наближені методи визначення власних частот коливань пружних систем
Спосіб Релея. При розгляді коливань пружних систем з однією й з
декількома ступенями волі ми, як правило, зневажали масою пружного
елемента в порівнянні з коливальною зосередженою масою. Це мало місце й
у випадку вертикальних коливань вантажу, підвішеного на пружині (рис.
15.2), і у випадку крутильних коливань диска на валу (рис. 15.10), і у
випадку поперечних коливань вантажів, розташованих на балці (рис.
15.20), і в інших випадках. Хоча ці спрощення в багатьох практичних
випадках не вносять особливих похибок в одержувані рішення, проте, для
деяких технічних задач бажано більш детально розглянути точність цих
наближень. Щоб оцінити вплив прийнятих спрощень на одержуване значення
частоти коливань пружної системи, скористаємося наближеним методом
Релея.
Наближеність методу полягає в тому, що при його застосуванні роблять
деякі допущення щодо конфігурації коливальної системи під час коливання.
Частоту коливань по способі Релея визначають із балансу енергії системи.
Проілюструємо застосування методу Релея на прикладі коливань вантажу,
підвішеного на пружині (рис. 15.36).
від закріпленого кінця те ж, що й у випадку невагомої пружини, тобто
дорівнює
,
.
Рис.15.36. Коливання вантажу, підвішеного на пружині
Якщо переміщення, відповідно до прийнятого допущення, не залежить від
маси пружини, то, мабуть, потенційна енергія системи така ж, як і у
випадку, якби пружина була невагомою.
, а відповідна кінетична енергія
.
Повна кінетична енергія пружини, мабуть,
.
Це значення кінетичної енергії пружини варто додати до кінетичної
енергії вантажу
.
Тоді повна кінетична енергія, що підлягає обліку при коливанні системи,
.
, відповідно до рівняння (15.137),
.
Умова збереження енергії повинна бути записана у вигляді
додати одну третину ваги пружини.
— близько 3 %.
Як другий приклад розглянемо коливання вантажу, розташованого посередині
балки (рис. 15.37).
від опори:
. (15.143)
Кінетична енергія самої балки
.
Рис. 15.37. Коливання вантажу на балці
Кінетична енергія вантажу
.
Тоді повна кінетична енергія коливальної системи
. (15.144)
Потенційна енергія деформації балки при вигині
,
або, з огляду на, що
,
а на підставі вираження (15.143)
,
одержимо
. (15.145)
Умова (15.138) збереження енергії тоді прийме вид
.
, знайдемо, що
,
звідки після скорочення одержимо
,
:
, (15.146)
диференціальне рівняння коливання вантажу на балці з урахуванням її маси
можна представити у вигляді
власних коливань вантажу, відповідно до виразу (15.6),
.
називається наведеною масою балки.
у функції часу можна описати синусоїдальним законом
,
— рівняння кривої максимальних відхилень від рівноважного стану, що
визначає форму коливань.
Маючи на увазі, що швидкість переміщення точок осі балки визначиться
вираженням
,
максимальне значення швидкості запишемо у вигляді
,
а кінетична енергія, що відповідає максимальної швидкості,
,
або
-ї маси.
Значення максимальної потенційної енергії деформації вигину балки, що
буде при найбільшому відхиленні балки, визначиться виразом
. (15.149)
Дорівнюючи вираз (15.148) і (15.149), знайдемо наступну основну формулу
Релея для квадрата частоти:
. (15.150)
У випадку безперервного розподілу маси підсумовування в знаменнику
останньої формули заміняється інтегруванням:
заздалегідь не відомо і їм звичайно доводиться задаватися. При виборі
форми кривій необхідно прагнути відбити хоча б приблизно форму коливань
і дотримувати граничних умов задачі (у нашому випадку умови на опорах).
, потенційну енергію згину можна виразити через роботу зовнішніх сил:
,
— прогини, викликувані прийнятою системою навантаження.
Тоді формула (15.150) прийме вид
. Тоді на підставі вираження (15.152) одержимо
(рис. 15.26).
При рішенні поставленої задачі приймемо синусоїдальну форму коливань:
.
.
Для визначення частоти скористаємося формулою (15.150).
Оскільки
,
то чисельник формули (15.150)
:
;
;
.
Тоді знаменник формули (15.150)
. (15.155)
Підставляючи вираз (15.154) і (15.155) у формулу (15.150), визначимо
квадрат частоти:
.
Частота
. (15.156)
Помітимо, що отримане значення частоти, певнно наближеним енергетичним
методом Релея, мало відрізняється від точного її значення, обумовленого
формулою (15.80).
Спосіб Рітца. При використанні способу Релея робиться певне допущення
щодо форми пружної лінії коливань стрижня. Вибір цієї форми рівносильний
введенню деяких додаткових обмежень, які приводять складну систему до
системи, що має тільки один ступінь волі. При цьому зазначені додаткові
обмеження можуть тільки збільшити жорсткість системи, що дає трохи
перебільшене значення частоти в порівнянні з фактичним її значенням.
Більш точні значення основної частоти, а також частот вищих видів
коливань можна одержати, користуючись методом Рітца, що є подальшим
розвитком методу Релея.
При використанні методу Рітца в рівняння пружної лінії, що представляє
вид коливань, уводять кілька параметрів, величин яких вибирають таким
чином, щоб частота основного типу коливань була мінімальною.
??
Wkd
стрижня, задаємося функцією прогину стрижня у вигляді ряду
і т.п.).
. Умовою мінімуму, мабуть, буде наступна рівність:
,
або
.
й з огляду на формулу (15.151), одержимо
. Дорівнюючи визначник зазначеної системи рівнянь нулю, одержимо
частотне рівняння.
Спосіб дозволяє визначити не тільки нижчу частоту, але й значення вищих
частот, хоча й з меншою точністю. При цьому можна визначити стільки
частот, скільки доданків прийнято у вираженні (15.157).
Приклад. Визначити способом Ритца нижчу частоту поперечних коливань
консольно закріпленого стрижня змінного перетину (рис. 15.38), що має
товщину, рівну одиниці, а висоту, що міняється за лінійним законом
.
У цьому випадку
.
Для наближеного рішення приймемо, що
.
Рис. 15.38. До прикладу 15.9
Приймаючи у виразі (15.159) два члени розкладання й підставляючи їх у
рівняння (15.158), одержуємо
, знайдемо наступну систему рівнянь:
(15.160)
Дорівнюючи нулю визначник, складений з коефіцієнтів цих рівнянь,
одержимо рівняння частоти, вирішуючи яке, знайдемо, що
. (15.161)
Ця формула дає помилку 0,1 % у порівнянні з точним рішенням розглянутого
завдання, даним Кірхгофом, відповідно до якого
.
Спосіб Бубнова — Гальоркіна. Спосіб, розроблений Н. Г. Бубновим і Б. Г.
Гальоркіним, одержав широке поширення для наближеного рішення різних
задач статики й динаміки пружних тел. Для більшої наочності розглянемо
застосування цього способу на прикладі рішення задачі про поперечні
коливання стрижня змінного перетину, описуваних диференціальним
рівнянням
— тільки часу:
.
. Перше з них має вигляд
.
, що задовольняє граничним умовам закріплення й ортогональної до
вихідного диференціального оператора. Для цього утворюють інтеграл
. (15.163)
Звідси, зокрема, може бути отримана формула Релея (15.151):
.
у вигляді
, як можливе переміщення, то замість рівності (15.163) вийде
співвідношення, що виражає рівність нулю віртуальної роботи:
.
у першому ступені. Дорівнюючи до нуля визначник отриманої в такий
спосіб системи однорідних рівнянь (15.165), одержимо частотне рівняння.
Приклад. Визначимо способом Бубнова — Гальоркіна нижчу частоту
поперечних коливань консолі змінного перетину (рис. 15.38), що має
товщину, рівну одиниці; висота змінюється за лінійним законом
.
Для наближеного рішення поставленої задачі по способу Бубнова –
Гальоркіна приймемо:
Обрана функція, мабуть, задовольняє граничним умовам задачі:
;
й знову диференціюючи два рази, будемо мати
.
Підставляючи отриманий вираз в рівняння (15.165), одержимо
Виконуючи зазначене інтегрування, після перетворень будемо мати таку ж
систему однорідних рівнянь, як і (15.160) по способу Рітца. Дорівнюючи
до нуля визначник системи, одержимо вже відому формулу (15.161) для
визначення частоти.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
