.

Моментна теорія осесиметричних циліндричних оболонок. Вивід основних рівнянь (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 824
Скачать документ

Моментна теорія осесиметричних циліндричних оболонок. Вивід основних
рівнянь

Циліндричні оболонки (тонкостінні циліндри) являють собою найпоширеніший
вид оболонок обертання. Через те, що теорія циліндричних оболонок значно
простіше, ніж оболонок іншої форми, тут ця теорія розглянута окремо від
загального випадку.

Осесиметрична згинальна деформація оболонки виникає в місцях додатка
зовнішніх кільцевих навантажень (рис. 13.1, а), а також у місцях
закріплення або сполучення з іншими конструктивними (рис. 13.1, б, у і
г) елементами.

в г

Рис. 13.27. Осесиметрична згинальна деформація оболонки

Теорія осесиметричної деформації циліндричних оболонок заснована на
гіпотезах Кірхгофа — Лява, аналогічних гіпотезам, використовуваним у
теорії згинання пластин.

1. Гіпотеза незмінності нормалей. Приймають, що нормалі до серединної
поверхні оболонки не викривляються і залишаються перпендикулярними до
деформованої серединної поверхні. Ця гіпотеза встановлює зв’язок між
деформованим станом у довільній точці стінки оболонки і зміною геометрії
її серединної поверхні й дозволяє в такий спосіб звести дослідження
деформації оболонки до дослідження деформації її серединної поверхні.

2 Гіпотеза про ненатиснення одного шару оболонки на іншій. Відповідно до
цієї гіпотези, нормальні напруження в площадках, паралельних серединної
поверхні, уважають рівними нулю, тобто напружений стан розглядають як
плоске замість об’ємного.

Зазначені гіпотези виконуються досить задовільно за умови, що товщина
оболонки мала в порівнянні з радіусом циліндра й що переміщення точок
серединної поверхні малі в порівнянні з товщиною. Якщо найбільшу
припустиму погрішність розрахунку прийняти рівною 5%, то до тонкостінних
варто віднести оболонки, товщина яких не перевищує  радіуса.

Крім перерахованих гіпотез і допущень приймемо, що матеріал оболонки
однорідний, ізотропний і підкоряється закон Гука.

Уведемо позначення:

— радіус циліндра (середній);

— товщина стінки циліндра;

— координата, відлічувана від торця в напрямку осі циліндра;

в осьовому напрямку

Рис. 13.28. Нескінченно малий елемент оболонки до й після деформації

(13.88)

де –– кут повороту нормалі.

, до первісної довжини

або через тонкостінності

формули закону Гука мають вигляд

;

.

Підставивши в ці рівняння вираз деформацій (13.88) і (13.89), одержимо

. (13.91)

Напружений стан елемента оболонки показане на рис. 13.29.

, що входить у рівняння рівноваги елемента оболонки.

Рис.13.29. Напружений стан елемента оболонки

:

, (13.95)

де –– згинальна жорсткість оболонки

:

.

, спрямоване уздовж осі оболонки, може виникнути за рахунок сил тертя
або за рахунок власної ваги при вертикальному розташуванні оболонки).

Рис. 13.30. Рівновага елементарного об’єму

і рівняння моментів щодо осі у, дотичній до окружності:

, знайдемо

.

. Перший доданок у правій частині рівності являє собою інтеграл від
поверхневих осьових сил; другий – враховує сили, прикладені до торця.

`„AgdIvO

j

Якщо, наприклад, циліндрична оболонка із днищем навантажена рівномірним
внутрішнім тиском (рис. 13.31, а), то, відокремивши частину оболонки
(рис. 13.31, б), можна написати наступне рівняння рівноваги:

,

знайдемо

.

а б

Рис. 13.31. Навантаження у вигляді рівномірного внутрішнього тиску

Приведемо систему рівнянь деформацій і рівноваги до одного рівняння з
одним невідомим. З рівняння (13.100), з урахуванням рівності (13.94)
треба

. (13.101)

Вираз (13.97) і (13.101) підставимо в рівняння (13.98), тоді

,

або

, (13.102)

де

(рис. 13.32), то її можна розглядати як брус, навантажений поперечним
навантаженням

.

Рис. 13.32. Аналогія з брусом

(13.10), то вона в цьому випадку відіграє роль реакції пружної основи.

Напишемо диференціальне рівняння пружної лінії смужки:

.

у знаменнику враховує збільшення жорсткості за рахунок взаємодії із
сусідніми смужками], і, використовуючи позначення жорсткості (13.96),
прийдемо до диференціального рівняння (13.102).

визначаються по внутрішніх силових факторах

(13.104)

Ці формули легко одержати з рівнянь (13.90) і (13.91) з урахуванням
залежностей (13.92) – (13.95).

:

. (13.106)

Перейдемо до інтегрування диференціального рівняння (13.102). Загальне
рішення рівняння представимо у вигляді суми загального рішення
однорідного рівняння

(13.107)

і частного рішення рівняння із правою частиною (13.102). Рішення
однорідного рівняння (13.107) шукаємо у вигляді

.

Підставивши цю функцію в ліву частину рівняння (13.20), одержимо
характеристичне рівняння

,

з якого знайдемо

.

являє собою комплексне число

.

значення 0, 1, 2, 3, одержимо чотири кореня характеристичного рівняння:

;

.

Отже, загальне рішення однорідного рівняння (13.107) має вигляд

,

або

— постійні інтегрування (комплексні).

.

, одержимо  для  w  наступний вираз:

. (13.109)

Для практичних цілей загальне рішення рівняння (13.107), представлено у
вигляді (13.108), недостатньо зручно; тому його перетворюють до іншого
виду, причому, для довгих і для коротких оболонок це перетворення
робиться по-різному.

Зупинимося на питанні про постійні інтегрування. Для визначення
постійних необхідно використовувати граничні умови на краях оболонки. На
кожному краї звичайно бувають задані дві умови.

.

).

Для вільного краю (рис. 13.33, в)

);

).

(рис.13.33, г)

.

і ; рівність сил розпору, тобто, радіальних складових внутрішніх сил:

д е ж

Рис. 13.33. Варіанти граничних умов

.

; четверта ж умова стає непотрібною.

Визначення чотирьох постійних інтегрування вимагає рішення системи
чотирьох рівнянь із чотирма невідомими. Однак практично завжди
виявляється можливим побудувати рішення так, що дві постійні
визначаються відразу, а інші – у результаті рішення системи двох рівнянь
із двома невідомими.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019