Моментна теорія осесиметричних оболонок обертання. Рівняння моментної
теорії
У загальному випадку осесиметричного навантаження оболонки обертання її
стінки випробовують як розтягання, так і згинання. Згинання виникає біля
місць додатка зосереджених навантажень, біля місць закріплень, а також
там, де стрибкоподібно змінюються радіуси кривизни. Характер згинальної
деформації може бути різним. При навантаженні зосередженими силами (рис.
13.74, а й б) згин впливає на міцність, тому що в цьому випадку зі
збільшенням навантаження згинальна деформація росте аж до вичерпання
несучої здатності конструкції.
Рис. 13.74. Загальний випадок осесиметричного навантаження оболонки
обертання
У місцях сполучення оболонки з іншими елементами або в місцях
стрибкоподібної зміни радіусів кривизни (рис. 13.74, в, г) згин має
інший характер; тут згин розвивається лише в тій мірі, у який це
необхідно для виконання умов сполучення. При пластичному матеріалі
оболонки згинальні деформації цього типу зі збільшенням навантаження
звичайно загасають і практично не впливають на несучу здатність. При
крихкому матеріалі оболонки напруження згинання залишаються
пропорційними навантаженню аж до руйнування й можуть призвести до
значного зниження міцності конструкції.
Розрахунки оболонок обертання за моментною теорію не обмежуються
питаннями міцності. Часто оболонки використовують як пружні елементи
(сильфони, гофровані коробки, елементи затискних пристосувань і т.д.).
Визначення жорсткості таких оболонок і оцінка величини максимальних
напружень можуть бути виконані тільки по моментній теорії.
При виводі рівнянь моментної теорії оболонок обертання використовуються
гіпотези Кірхгофа – Лява.
.
Приймемо позначення переміщень і деформацій серединної поверхні такими
ж, як на рис. 13.12.
Залежності між переміщеннями й деформаціями (13.34), (13.36) і (13.38),
отримані раніше, залишаються повністю справедливими. Виконавши
елементарні перетворення, представимо рівняння (13.36), (13.38) у
наступному виді:
одержимо рівняння спільності деформацій серединної поверхні
,
.
Рис. 13.75. До визначення деформацій у довільному шарі оболонки
, знайдемо відносну окружну деформацію в z-м шарі:
(13.252)
Для визначення меридіональної деформації в z-м шарі обчислимо подовження
відрізка PS.
, і повна меридіональна деформація складе
(13.253)
Перейдемо від деформацій до напружень. По формулах узагальненого закону
Гука:
(13.255)
Перші доданки у квадратних дужках, що не залежать від z, відповідають
напруженням розтягання (стискання). Другі, що лінійно залежать від z, —
напруженням згинання.
По напруженнях визначимо внутрішні силові фактори.
Розтягуючі сили
Згинальні моменти
У результаті підстановки під знаки інтегралів виразів (13.254) і
(13.255) і інтегрування одержимо
(13.259)
Залежності (13.256) і (13.257) можна також представити в іншому виді,
виразивши деформації серединної поверхні через зусилля:
(13.261)
перпендикулярні поверхні оболонки. Їм відповідає поперечна сила
обертаються в нуль. Ці напруження не мають істотного значення при
розрахунку оболонки на міцність, однак їх рівнодіюча — поперечна сила Q
— відіграє важливу роль у рівняннях рівноваги елемента оболонки.
(третя складова при осесиметричній навантаженню дорівнює нулю).
Рис. 13.76. Елемент оболонки з діючими на нього силами і моментами
Дорівнявши нулю суму проекцій всіх сил на нормаль до поверхні й на вісь
оболонки х, а також суму моментів щодо осі t, дотичній до окружності,
одержимо наступні три рівняння:
Після виключення складаються вищого порядку малості й скорочень, а також
підстановок
рівняння рівноваги приймають вид
(13.264)
Інші рівняння рівноваги елемента оболонки задовольняються тотожно.
).
Приведемо отриману систему рівнянь до двох симетричних розв’язних
рівнянь із двома невідомими (це перетворення було виконано Мейсснером).
Насамперед, перетворимо рівняння рівноваги (13.263). Уведемо позначення
— осьова складова поверхневого навантаження.
, одержимо
або
(13.266)
тут
(13.267) являє собою рівнодіючу зовнішніх сил, прикладених до
відсіченої частини оболонки, віднесену до одиниці полярного кута,
причому перший доданок дорівнює рівнодіючої поверхневих сил, а другий
(тобто постійна С ) — враховує осьову складову сил, прикладених до
верхнього краю або до деякої окружності в межах пояса. При відсутності
зосереджених осьових сил постійна С дорівнює нулю.
, рівняння (13.266) перетворюється в рівняння рівноваги відсіченого
купола.
б в г
Рис. 13.77. Рівняння рівноваги пояса оболонки
може бути визначена заздалегідь, і при рішенні системи рівнянь її можна
вважати відомою.
Так, наприклад, якщо оболонка замкнута у вершині і навантажена
рівномірним внутрішнім тиском (рис. 13.77, б), то
Якщо оболонка навантажена силою Р (рис. 13.77, в), то
Для оболонки, не замкнутої у вершині й навантаженої рівномірним тиском і
силою Р (рис. 13.77, г),
Перетворимо тепер рівняння спільності деформацій (13.251). Підставивши
вираз деформацій (13.258) і (13.259), одержимо рівняння спільності
деформацій у зусиллях
(13.268)
Меридіональне зусилля виразимо з рівняння рівноваги (13.266):
(13.269)
а окружне – з рівняння (13.262):
(13.270)
Уведемо нову змінну (змінну Мейсснера)
(13.271)
тоді
(13.273)
У результаті підстановки виразів (13.272) і (13.273) у рівняння (13.268)
і нескладних перетворень одержимо перше розв’язне рівняння
— функція, що залежить від навантаження, тобто
. Друге рівняння з тими ж невідомими одержимо, підставивши в рівняння
рівноваги (13.264) вираз моментів (13.260) і (13.261). Після нескладних
перетворень це рівняння приймає вигляд
(13.276)
Диференціальні рівняння (13.274) і (13.276) утворять систему двох
розв’язних рівнянь із двома невідомими функціями.
Неважко помітити, що ці рівняння мають певну симетрію, що досягнуто
введенням спеціальної функції V. Увівши позначення диференціального
оператора
(13.277)
розв’язним рівнянням (13.274) і (13.276) можна додати більш компактну
форму
, що задовольняють рівнянням (13.278) і (13.279), а також граничним
умовам на краях оболонки, будуть знайдені, то по них можна легко
визначити і всі інші величини. Згинальні моменти обчислюють по формулах
(13.260) і (13.261); мембранні зусилля — по формулах (13.272) і
(13.273). Поперечну силу Q визначають на підставі рівності (13.271),
тобто
(13.280)
Напруження в оболонці обчислюють по внутрішніх силових факторах,
користуючись формулами:
(13.281)
Знак перед другим членом вибирається залежно від того, на якій стороні
стінки оболонки обчислюють напруження.
??
`„gd¦dUWkd
”yo
?Fo
Деформації серединної поверхні визначають по рівнянням (13.260) і
(13.261); радіальні переміщення – по залежності (13.35), а осьові
переміщення – по формулі
(13.282)
отриманої в результаті інтегрування рівняння (13.250).
, а також взявши до уваги рівняння (13.4) і рівності
замість рівнянь (13.274) і (13.276) одержимо
(13.284)
де
— осьова сила, що доводиться на одиницю полярного кута.
й розв’язні рівняння приймають вид
(13.287)
де
(13.288)
або в скороченому записі
(13.290)
де
(13.291)
Напишемо вираз для внутрішніх силових факторів оболонок із
прямолінійними утворюючими. Прийнявши за незалежну змінну довжину
меридіана s, замість виразів (13.260), (13.261), (13.272) і (13.273)
одержимо
іноді приймають трохи іншу функцію; тоді розв’язні рівняння виходять
інші за формою.
Розв’язні рівняння (13.274), (13.276) або (13.283), (13.284) мають
другий порядок і містять по дві невідомі функції. Поділом змінних вони
можуть бути наведені до одного диференціального рівняння четвертого
порядку з однією невідомою функцією. Рішення цих рівнянь містить чотири
постійні інтегрування, які в кожному окремому випадку визначають по
граничних умовах на краях оболонки.
Для пояса оболонки на обох її краях повинні бути задані по двох
граничних умовам. Якщо ж оболонка замкнута у вершині, то повинні, бути
задані дві умови на краю й дві у вершині.
На практиці можуть зустрітися наступні варіанти граничних умов.
а) Край оболонки жорстко затисненний (рис. 13.78, а):
На підставі залежностей (13.35) і (13.261) другу умову можна також
записати в іншому виді:
.
б) Край оболонки закріплено шарнірно (рис. 13.78, б).
У цьому випадку
д
е
б
в
г
Рис. 13.78. Варіанти граничних умов
в) Край оболонки вільно обпертий (рис. 13.78, в).
Тоді
остання умова вимагає рівності нулю радикальної розпірної сили.
г) Край оболонки вільний від закріплення (рис. 13.78, г).
Тут
.
і Q зв’язано рівнянням рівноваги (13.266).
(рис. 13.78, д). У цьому випадку
або
, необхідно мати п’ять умов:
;
Остання умова виражає рівність нулю відносного переміщення точок А и В
у напрямку осі оболонки.
ж) При сполученні країв двох оболонок (рис. 13.78, ж) необхідно мати
чотири умови, тому що для кожного краю потрібно по дві умови. Ці умови
полягають у наступному:
повинні виконуватися наступні умови:
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
