Моменти інерції при повороті координатних осей
Моменти інерції при повороті координатних осей
Установимо, як змінюються величини осьових і відцентрових моментів інерції при повороті координатних осей на довільний кут (рис. 2.16).
Рис.2.16. Моменти інерції при повороті осей
Будемо вважати моменти інерції відомими, і визначимо значення . Для цього в першу чергу встановимо зв’язок між координатами й довільною елементарною площадкою. Із прямокутних трикутників і
отже,
| (2.26) |
Аналогічно знайдемо
| (2.27) |
Підставляючи (2.27) у вираз для , одержимо
| (2.28) |
Шляхом аналогічних перетворень можна одержати вираження для й :
| (2.29) |
| (2.30) |
Визначимо положення головних осей, тобто кут , що вони становлять із вихідними осями х0 і в0. По визначенню, відцентровий момент інерції щодо головних осей дорівнює нулю; дорівнюючи нулю праву частину вираження (2.30), одержуємо:
звідки
| (2.31) |
Отримана формула дає два значення кута , що відрізняються друг від друга на ; отже, для кута виходить два значення, що розрізняються на й Таким чином, у загальному випадку через будь-яку крапку площини перетину можна провести, дві взаємно перпендикулярних головних осі.
Знайдемо напрямки осей, щодо яких осьові моменти інерції екстремальні. Для цього знайдемо першу похідну по куту від правої частини виразу (2.28):
Порівнюючи отриманий вираз із правою частиною (2.30), одержимо
т. ч. розглянута похідна звертається в нуль при тім же значенні кута , при якому дорівнює нулю відцентровий момент інерції. Цей результат показує, що осьові моменти інерції досягають своїх екстремальних значень щодо головних осей. З огляду на те, що сума осьових моментів інерції при повороті осей не змінюється, можна зробити висновок, що відносно однієї з головних осей момент інерції максимальний, а щодо іншої – мінімальний.
Формула (2.31) не дає відповіді на питання, відносно якої з головних осей момент інерції максимальний. У більшості випадків це цілком очевидно за формою перетину і його розташуванню щодо головних осей. У тих випадках, коли величини головних моментів інерції мало відрізняються друг від друга, треба керуватися наступним правилом: менше по абсолютній величині значення кута дає напрямок осі, щодо якої момент інерції максимальний за умови, що . У випадку, якщо , зазначене значення визначає вісь, щодо якої момент інерції мінімальний.
Для обчислення головних моментів інерції потрібно підставити у формули (2.28) і (2.29) значення . Можна одержати формули, не утримуючих тригонометричних функцій; для цього, користуючись (2.31), виразимо через ; після алгебраїчних перетворень одержимо
| (2.32) |
Якщо прийняти, що вихідні осі х0 і у0 головні ( ), то формули (2.28)-(2.30) трохи спростяться. Для осьового моменту інерції щодо повернених осей будемо мати
| (2.33) |
а для відцентрового
| (2.34) |
В окремих випадках, коли головні моменти інерції однакові по величині ( ), з останніх формул одержуємо, що поза залежністю від кута повороту осьовий момент інерції зберігає постійне значення , а відцентровий момент інерції дорівнює нулю, тобто всі осі, що проходять через дану точку, головні, і всі осьові моменти інерції мають однакову величину.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
