Модель С.П.Тимошенко
Рівняння (3.10), (4.12) не враховують деформації зрушення й інерції обертання при коливаннях. Тому вони досить добре описують поперечні коливання стержня з більшим відношенням довжини до висоти перерізу й при малих частотах. Однак, для рамних систем фундаментів важкого устаткування й подібних конструкцій, коли , де – номер тону коливань; – характерний розмір поперечного перерізу; – довжина напівхвилі пружної лінії стержня, вже необхідно враховувати зрушення й інерцію обертання [150,178]. Проблема побудови більш точних розвязів для поперечних коливань стержня досить актуальна й у теорії стійкості у зв’язку із застосуванням динамічного методу. Диференціальне рівняння поперечних коливань прямолінійного стержня з урахуванням деформацій зрушення й інерції обертання вивів видатний росіянин учений проф. С.П.Тимошенко [312]. Його модель нині затвердилася як найбільш точна й широко застосовується в різних задачах механіки конструкцій. Для застосування моделі С.П.Тимошенко в задачах стійкості необхідно доповнити її поздовжньою силою . Із цією метою розглянемо стержень, стислий стежачою силою і силою , що має фіксовану лінію дії (рис. 4.10).
Рис. 4.10
З геометричних співвідношень деформованого стану стержня випливає вираз для згинального моменту
| , | (4.29) |
де – кут нахилу перерізу стержня без врахування зрушення;
– повздовжня сила в поточному перерізі;
– відповідно прогин поточних і граничної точок.
Тут не враховується перша похідна прогину в кривизні стержня і вважається, що внаслідок малих переміщень
| . |
Для сили вираз (4.29) є точним, для – наближеним. Повний кут повороту перерізу дорівнює сумі (312)
| , | (4.30) |
де – кут поперечного зрушення.
Поперечна сила в розглянутому випадку стане виразом
| , | (4.31) |
де – жорсткість перерізу при зрушенні;
– коефіцієнт, що враховує вплив форми перерізу на деформацію зрушення.
Принципово не зміняться рівняння (4.29), (4.31) у випадку, якщо стержень буде стискуватися «мертвою» силою по рис. 4.7,d. Далі модель деформованого стану (4.29)-(4.31) приводиться до задачі Коші. Вихідними при цьому є рівняння рівноваги елементарної частини стержня при власних коливаннях:
сума моментів
| (4.32) |
і сума проекцій на вертикальну вісь
| , | (4.33) |
де – густина матеріалу стержня;
– площа перерізу;
– осьовий момент інерції перерізу;
– рівномірно розподілена маса;
– поперечне динамічне навантаження.
Якщо виключити функцію з рівнянь (4.32), (4.33), то рівняння С.П.Тимошенко з урахуванням дії повздовжньої сили прийме вигляд
| (4.34) |
Обмежимося випадком гармонійних коливань, для яких можна розділити лінійну й тимчасову координати відповідно до методу Фур’є, тобто
; ;
| , | (4.35) |
де , , – амплітуди прогину, навантаження й кута нахилу;
– частота власних коливань;
– початкова фаза.
Підставляючи (4.35) в (4.29)-(4.31), (4.34), одержимо диференціальне рівняння й відповідні кінематичні й статичні параметри в амплітудному стані
; ;
| (4.36) |
де , , – амплітудні повний кут повороту, згинальний момент і поперечна сила.
Коефіцієнти й права частина приймають вид
; ;
;
| ; ; ; ; | (4.37) |
; ;
; .
Зосереджені маси стержня можуть бути враховані по формулі (3.21) або за методикою п.3.6.1.
Розв’язок рівняння (4.36) після нормування фундаментальних функцій зручно представити в матричній формі
| , | (4.38) |
де знак ?–? відповідає напрямку осі ?вниз?.
Вид фундаментальних функцій залежить від коренів характеристичного рівняння. Представимо 4 основних випадки фундаментальних функцій.
1 випадок. Корені по формулі (4.23) комплексні
|
|
(4.39) |
2 випадок. Корені (4.23) дійсні й мнимі
;
|
|
(4.40) |
3 випадок. Випадок розтягуючої сили . Корені (4.23) дійсні
; ;
|
|
(4.41) |
4 випадок. Корені (4.23) мнимі
; ; ;
|
|
(4.42) |
Доданки, що залежать від зовнішнього навантаження й граничних параметрів стержня, матимуть вигляд:
| (4.43) |
Інтегрування виразів (4.43) для будь-якого поперечного навантаження не викликає труднощів. Інші випадки фундаментальних функцій ( і т.д.) мають другорядне значення й тут не приводяться. Тестування розв’язку задачі Коші (4.38) виконаємо на задачах про власні коливання. У цьому випадку ; . Частотні рівняння окремих стержнів можна одержати при формуванні крайової задачі. Наприклад, при жорсткому защемленні граничних точок будемо мати
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||
| 1 | ; | — | = 0 | ||||||
| 2 | ; | ||||||||
| 3 | -1 | ||||||||
| 4 | -1 |
.
Аналогічно можна одержати частотні рівняння для будь-яких умов обпирання. Найбільш просто частоти визначаються методом послідовного перебору, коли задаються початкове значення й крок для . Результати обчислення визначника виводяться у вигляді таблиці. Її перегляд дозволяє виявити зміну знака визначника й грубе значення власної частоти. Далі частота може бути уточнена при наступних прогонах програми зі зміненими початковим значенням і кроком . Приклад такої програми мовою Fortran представлений у додатку А. В табл. 4.3 приведено порівняння частот по наближеному розв’язку акад. А.Н.Крилова й розв’язку рівняння С.П.Тимошенко. Частоти визначалися при наступних вихідних даних: коефіцієнт Пуассона Па; Па; кг/м3; м; ; м4; т кг/м; . Абсолютні значення частот приводилися до безрозмірної форми .
Таблиця 4.3
| Безрозмірні частоти власних коливань окремих стержнів | ||||||
| Номер тону
коливань |
||||||
| наближені | уточнені | погрішність, % | наближені | уточнені | погрішність, % | |
| 1 | 22,3736 | 21,9260 | 2,04 | 15,4184 | 15,1260 | 1,93 |
| 2 | 61,6714 | 57,4781 | 7,30 | 49,9652 | 46,7429 | 6,89 |
| 3 | 120,9030 | 105,3970 | 14,71 | 104,2480 | 91,2600 | 14,23 |
| 4 | 199,8596 | 161,4254 | 23,81 | 178,2700 | 144,5587 | 23,32 |
| 5 | 298,5557 | 222,6361 | 34,10 | 272,0311 | 203,5004 | 33,68 |
| 6 | 416,9909 | 287,0476 | 45,27 | 385,5317 | 265,9581 | 44,96 |
| 7 | 555,1652 | 353,4163 | 57,09 | 518,7714 | 330,5740 | 56,93 |
| 8 | 713,0787 | 420,9801 | 69,39 | 671,7503 | 396,4820 | 69,43 |
| 9 | 890,7286 | 489,3061 | 82,04 | 844,4094 | 463,1590 | 82,32 |
| 10 | 1088,1239 | 558,2521 | 94,92 | 1036,8888 | 530,3037 | 95,53 |
| Номер тону
коливань |
||||||
| наближені | уточнені | погрішність, % | наближені | уточнені | погрішність, % | |
| 1 | 3,5161 | 3,5143 | 0,34 | 9,8699 | 9,7081 | 1,67 |
| 2 | 22,0348 | 21,3926 | 3,00 | 39,4786 | 37,0953 | 6,42 |
| 3 | 61,8633 | 56,8754 | 8,77 | 88,8265 | 78,1553 | 13,65 |
| 4 | 120,9023 | 103,9317 | 16,33 | 157,9138 | 128,6654 | 22,73 |
| 5 | 199,8596 | 158,8897 | 25,79 | 246,7403 | 185,3173 | 33,14 |
| 6 | 298,5557 | 218,8186 | 36,44 | 355,3060 | 245,8317 | 44,53 |
| 7 | 416,9909 | 281,7821 | 47,98 | 483,6108 | 308,7225 | 56,65 |
| 8 | 555,1656 | 346,5089 | 60,22 | 631,6547 | 373,0370 | 69,33 |
| 9 | 713,0787 | 412,1571 | 73,01 | 799,4384 | 438,1725 | 82,45 |
| 10 | 890,7310 | 478,1448 | 86,29 | 986,9472 | 503,7375 | 95,92 |
З табл. 4.3 видно, що погрішність наближеного розв’язку швидко наростає й в 10-й частоті при відношенні досягає майже 100 %. Про точність частот рівняння (4.38) можна судити з того факту, що перші 5 частот табл. 4.3 при шарнірному обпиранні збігаються з 5-ма частотами роботи (333).
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
