Метод Рітца
При рішенні задач методом Рітца шуканою функцією задаються, вибираючи її
так, щоб вона задовольняла гpaничним умовам і відповідала дійсній
картині деформації пластини. Невизначені параметри, що утримуються в
обраній функції, визначають за умовою мінімуму енергії. У загальному
виді шукана функція може бути взята у вигляді ряду
— функції, що задовольняють граничним умовам;
— невизначені параметри.
Для того щоб енергія була мінімальною, необхідно, щоб виконувалися
рівності
буде повною, то при нескінченному числі членів ряду можна одержати
точне рішення задачі. Якщо ж взяти тільки один або кілька членів ряду,
то вийде наближене рішення. Це рішення буде тим точніше, ніж ближче буде
обрана функція до дійсного.
. Знайти максимальний прогин і напруження.
Рішення.
; тоді рівняння граничних умов будуть наступними:
;
.
, що складається з одного члена з одним невизначеним параметром:
.
????????????H?H??????
0
??=????????????H?H?????????????Неважко перевірити, що ця функція
задовольняє граничним умовам і що форма поверхні, обумовлена цією
функцією, подібна дійсній пружній поверхні пластини.
Величина , дорівнює прогину пластини в центрі тут відіграє роль
невизначеного параметра.
Підставивши обрану функцію в рівняння (12.210) і виконавши інтегрування,
знайдемо енергію деформації
.
Потенціал зовнішнього навантаження обчислимо по рівнянню (12.212);
.
Повна енергія систем, відповідно до рівняння (12.215):
.
Продиференціював по параметру й дорівнявши похідну нулю, одержимо
рівняння
,
з якого визначимо прогин у центрі
.
Для квадратної пластини, наприклад,
.
Точне рішення дає
.
Погрішність наближеного рішення при визначенні прогину в цьому випадку
не перевищує 2%.
Для обчислення згинальних моментів у пластині скористаємося формулами
(12.131) і (12.132).
При підстановці в ці формули функції при знайденому значенні параметра
для квадратної пластини одержимо наступні значення згинальних моментів:
у центрі пластини при ,
;
біля краю при й .
.
Точні значення згинальних моментів: у центрі пластини
біля краю при й
.
Тут точність наближеного рішення вже значно менше.
Для того щоб підвищити точність, можна взяти функцію у вигляді суми
декількох доданків. Так, наприклад, щоб одержати рішення в другому
наближенні, варто задатися функцією у вигляді
Підставивши у вираз для , , і дорівнявши нулю похідні від по
параметрах одержимо систему чотирьох рівнянь, вирішивши яку, визначимо
невідомі параметри.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
