Метод рішення крайових задач для лінійних систем
будуть містити параметри напружено-деформованого стану всіх стержнів у
поточних і початковій точках.
число стрижнів у системі.
і включає зовнішнє навантаження всіх стержнів по виразу (1.33).
Така схема формування матричного рівняння вимагає дискретизації
стержневої системи у вузлах. Пов’язано це з тим, що вузли є точками
розриву кінематичних і статичних параметрів стержнів, а рівняння (1.40)
справедливо в точках безперервності параметрів напружено-деформованого
стану. Однак, при необхідності, вузлами стержневої системи можуть бути й
точки, де зберігається безперервність параметрів. Порядок чергування
параметрів стержнів у матрицях (1.45) довільний, тобто в ланцюжку можуть
розташовуватися параметри стержнів, що перебувають у різних місцях
конструкції. Тому будь-яку стержневу систему можна описати рівнянням
типу (1.40), що виступає вже в ролі математичної моделі деформування
лінійної системи. Порядок такого рівняння визначається числом стержнів,
на яке розбивається система, і порядком диференціальних рівнянь,
прийнятих для описання стану стержнів.
кожного стержня, тобто сформувати рівняння крайової задачі. У цьому
випадку можна виконати перетворення матриць рівняння (1.40) за схемою
і має квазідиагональну структуру.
містить вже невідомі початкові й кінцеві граничні параметри всіх
стержнів системи, як це має місце в методі граничних елементів.
Таким чином, рішення прямих задач механіки лінійних систем за допомогою
рівнянь методу початкових параметрів зводиться до рішення системи
лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих початкових і кінцевих
параметрів стержнів.
будуть містити 3 групи граничних параметрів.
Перша група – це нульові граничні парметри, що визначаються заданими
умовами обпирання (крайовими умовами).
Друга група – це залежні параметри, зв’язок між якими виражається
рівняннями рівноваги й спільності переміщень вузлів лінійної системи.
ніяк не зв’язані між собою. Ці параметри умовно можуть бути названі
незалежними.
вводяться не нульові елементи, що компенсують, і перетворення за схемою
(1.46) завершені. Правило для визначення величини й положення
компенсуючих елементів при переносі параметрів включає 3 случаї.
дорівнює коефіцієнту при переносимому параметрі зі своїм знаком за
схемою
матриці.
відповідні рядки можуть містити кілька компенсирующих елементів.
. Компенсуючи елементи, одержують зсув у відповідності зі схемою
`„gd’w?
Oe0”y?$&?D)
Досягається це формуванням орієнтованого графа лінійної системи так,
щоб у вузлах не сходилися дві й більше початкові точки. Недоліком МКЕ є
те, що для систем з більшим числом стержнів домогтися цього неможливо і
оптимальним буде такий орієнтований граф, при якому в кожному вузлі
будуть сходитися мінімальне число початкових точок.
Визначивши всі компенсуюсі елементи матриці, можна звести розрахункове
співвідношення (1.46) до системи лінійних алгебраїчних рівнянь, рішенням
якої визначаються невідомі початкові й кінцеві параметри всіх стержнів.
Напружено-деформований стан у внутрішніх точках стержня визначається
обчисленням по матричному рівнянню (1.40).
Для реалізації МГЕ на персональному комп’ютері необхідно сформувати
лінійну систему алгебраїчних рівнянь (1.40). Дана система має свої
яскраво виражені особливості, які істотно відрізняються від параметрів
систем методів сил, переміщень, МКЕ та інших методів.
У розглянутому варіанті МГЕ матриця коефіцієнтів буде досить
розрідженою матрицею загального виду. Рішення системи рівнянь із такою
матрицею може бути здійснене за допомогою методу виключення Гаусса.
Однієї з особливостей матриці є наявність нульових провідних елементів.
Тому перед застосуванням методу Гаусса необхідно переставити рядки
матриць , у новому порядку, що виключає нульові провідні елементи.
Оскільки матриця сильно розріджена, то в новому порядку рядків не можна
переставляти окремі рядки, тобто МГЕ накладає обмеження на алгоритм
методу Гаусса з вибором провідних елементів. Відзначимо, що сильна
розрідженість матриці є позитивним чинником, що істотно поліпшує
стійкість чисельних операцій і забезпечує точність результатів. Тут для
рішення систем рівнянь (1.46) застосовується простий алгоритм методу
Гаусса. Для зменшення арифметичних помилок у процесі рішення рівнянь
бажано застосовувати подвійну точність.
Найбільш складною операцією в алгоритмі МГЕ є формування матриці , що
включає наступні етапи:
1 крок. Формується квазідіогональная матриця (1.45). Нульова матриця
заповнюється блоками граничних значень ортонормованих фундаментальних
функцій, що легко здійснити операторами циклу;
2 крок. Обнуляются стовпці матриці , номера яких дорівнюють номерам
нульових рядків матриці . Нульові початкові параметри стержнів є
вихідними даними, і номера нульових рядків матриці визначаються в
процесі її формування. Обнулену в окремих стовпцях матрицю позначимо ;
3 крок. Визначаються елементи, що компенсують, пов’язані з переносом
кінцевих параметрів з в. Всі елементи, що компенсують, одержують із
аналізу матриць й і можуть бути уведені в матрицю як вихідні дані.
Однак, для наочності алгоритму МГЕ, що компенсують елементи в ряді
прикладів зведені в допоміжну матрицю ;
4 крок. Матриця виходить підсумовуванням
(1.50)
Матриця характеризує топологію лінійної системи і є інваріантною
стосовно видів розрахунку. Вона складається для певного орієнтованого
графа тільки один раз і далі може використовуватися при формуванні
матриці в задачах статики, динаміки й стійкості.
Матриця навантаження в рівнянні МГЕ (1.46) містить елементи із
вкладеними силовими просторами на основі теорії узагальнених функцій і
сплайнів. Навантаження на кожний стержень задаються, а функція Гріна
завжди може бути визначена. У матриці після інтегрування залишаються
члени з узагальненими функціями й сплайнами. Одинична функція Хевісайда
й сплайни легко програмуються на будь-якій алгоритмічній мові, а
дельта-функція Дірака і її похідні повинні представлятися нулями. Вектор
навантаження в алгоритмі МГЕ не вимагає зведеня навантаження до
еквівалентного вузлового, як це робиться в МКЕ, так що виключаються
проміжні операції. Координати навантаження у векторі можна зробити
змінними величинами. У цьому випадку розрахунок лінійних систем можна
проводити на статичне рухоме навантаження або за допомогою комп’ютера
будувати лінії впливу.
При виконанні перетворень за схемою (1.46) виникають два питання:
1. Чи завжди можлива схема перетворень (1.46) або, інакше кажучи, чи
завжди число нульових початкових параметрів матриці лінійної системи
буде дорівнювати числу незалежних кінцевих параметрів матриці ?
2. Чи завжди має місце варіант перестановки рядків матриці , що
виключає нульові провідні елементи?
При позитивній відповіді на ці питання можна затверджувати, що немає
перешкод для виконання перетворень (1.46). Відповіді на ці питання можна
сформулювати у вигляді двох теорем.
Теорема № 1. Для будь-якої лінійної системи із заданими крайовими
умовами число нульових початкових параметрів матриці лінійної системи
завжди дорівнює (для систем з лінійно нерухомими вузлами) або більше
(для систем з лінійно рухомими вузлами) числа незалежних кінцевих
параметрів матриці .
Теорема № 2. Для будь-якої лінійної системи із заданими крайовими
умовами виходить матриця з не нульовими рядками й стовпцями, тобто
завжди існує варіант перестановки рядків матриці , що виключає нульові
провідні елементи.
Доказ цих теорем здійснюється методом математичної індукції. Таким
чином, схема перетворень матриць (1.46) завжди може бути виконана, що
підтверджується й чисельними частними прикладами розрахунку пружних
стержневих, пластинчастих і оболонкових систем, наведеними в даному
курсі.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
