Метод кінцевих різниць
При рішенні задаx цим методом область інтегрування розбивають на ряд кінцевих інтервалів, і диференціqне рівняння заміняють рівнянням у кінцевих різницях, тобто рівнянням, у якому похідні виражені через різниці значень функцій у сусідніх вузлових точках.
Застосовуючи рівняння до всіх вузлових точок, одержують систему алгебраїчних рівнянь із невідомими; рішення цієї системи дає значення шуканої функції в цих точках.
Пояснимо метод кінцевих різниць спочатку на прикладі балки (рис. 12.50). Розіб’ємо довжину балки на кілька однакових ділянок із кроком і позначимо через прогин в -й точці на границі ділянок. Значення прогину в сусідніх точках будуть відповідно: і т.д.
Рис. 12.50. Метод кінцевих різниць на прикладі балки
Складемо вираз перших різниць:
(12.223) |
де — перша різниця по напрямку вперед;
— перша різниця по напрямку назад;
— осереднена перша різниця в розглянутій точці. Розділивши першу різницю на крок, одержимо наближене значення першої похідної. Надалі будемо користуватися тільки осередненими різницями, які більш точно характеризують значення похідних. Для першої похідної одержимо вираз
. | (12.224) |
Визначимо тепер другу різницю, для цього візьмемо різницю значень перших різниць «уперед» і «назад»:
. | (12.225) |
Відношення другої різниці до квадрата кроку дає наближене значення другої похідної
. | (12.226) |
Аналогічно становлять різниці більш високих порядків. З теорії згину бруса відомі наступні диференційні рівняння, що зв’язують між собою прогин, згинальний момент і інтенсивність розподіленого навантаження:
. | (12.227) |
Замінивши другі похідні, відповідно до рівності (12.226), одержимо рівняння вигину балки в кінцевих різницях:
; | (12.228) |
. | (12.229) |
Приклад 12.17. Обчислити згинальний момент і прогин балки, зображеної на рис. 12.50.
Рішення.
Візьмемо число ділянок, рівне чотирьом, тоді . Застосуємо рівняння (12.229) до точок 1 і 2.
При й одержимо
;
.
По цих рівняннях знайдемо
; .
Отримані значення збігаються з точними значеннями згинального моменту при й .
Застосуємо до тих же точкам рівняння (12.228). Взявши до уваги що при , , одержимо
;
.
Рішення цієї системи рівнянь дає наступні значення переміщень:
; .
Отримане значення максимального прогину відрізняється від точного значення приблизно на 5%. Більш точний результат можна одержати, розбивши довжину балки на більше число ділянок.
При розрахунку пластин по методу кінцевих різниць площина пластини покривають сіткою пересічних ліній. Для простоти візьмемо ортогональну сітку з однаковим кроком по обох напрямках (рис. 12.51).
Рис. 12.51. Розрахунок пластини методом кінцевих різниць
Розглянемо деяку точку , розташовану на перетинанні ліній, позначених буквами й .
Значення прогину пластини в цій точці, а також у сусідніх вузлових точках будемо позначати так, як зазначено на рис. 12.51.
Складемо вираз перших різниць по й :
(12.230) |
Відношення цих різниць до кроку сітки дає наближене значення перших похідних по й :
(12.231) |
Складемо вираз других різниць. Ці різниці можуть бути трьох видів — по , по й змішані:
(12.232) |
Відношення других різниць до квадрата кроку сітки приблизно виражає другі похідні:
(12.233) |
Аналогічно можна скласти треті, четверті різниці й т.д. У загальному випадку рішення диференціального рівняння вигину пластини (12.139) вимагає обчислення четвертих різниць.
Якщо ж краї пластини прямолінійні й закріплені шарнірно, то можна обмежитися другими різницями. У цьому випадку рівняння теорії вигину пластин (12.131), (12.132) і (12.139) перетворять у такий спосіб. Склавши рівняння (12.131) і (12.132) і ввівши позначення
, | (12.234) |
одержують
. | (12.235) |
Диференціальне рівняння (12.139) приймає вид
. | (12.236) |
Система двох рівнянь (12.235) і (12.236) другого порядку еквівалентна одному рівнянню (12.139) четвертого порядку.
Замінивши другі похідні їх наближеними виразами (12.233), прийдемо до наступних рівнянь у кінцевих різницях:
(12.237) | |
(12.238) |
У такому виді рівняння зручні для розрахунку пластин із прямолінійними шарнірно обпертими краями, тому що в цьому випадку на контурі ; ; і, отже, .
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter