Метод Грамеля. Формула Донкерлея
Метод Грамеля
Приймаючи форму коливань подібною статичним прогинам системи від деякого
підхожого навантаження, можна істотно збільшити точність розрахунку за
рахунок винятку операції диференціювання. Ще велика точність досягається
в методі Грамеля, у якому диференціювання заміняється інтегруванням.
Послідовність операцій тут наступна:
1. Задають форму коливань і обчислюють максимальну кінетичну енергію
руху
.
2. Визначають максимальні сили інерції
.
3. Визначають внутрішні сили в елементах системи, що викликаються
навантаженнями Fі.
4. По внутрішніх силах обчислюють максимальну потенційну енергію
деформації П0.
5. З рівності Кmax = П0 визначають частоту коливань.
)2, знаходимо
.
Інтенсивність сил інерції
.
Поперечна сила в перетині
.
Згинальний момент
.
Потенційна енергія деформації
.
Прирівнюючи Kmax = П0, знаходимо
,
що відрізняється від точного рішення на 0,42 %.
Формула Донкерлея
Метод Релея приводить до завищеного значення частоти коливань, тому дуже
корисним є застосування методу (формули), що дає занижене значення
нижчої частоти коливань. Найпростішою з такого роду формул є формула
Донкерлея.
Розглянемо якусь багатомасову систему, наприклад, балку (мал.74,а).
Нехай на цьому малюнку зображена точна форма власних коливань системи.
Мал. 74
Тоді точне значення власної частоти системи виражається формулою
.
v
x
z
|
~
E
I
I
?
O
:
B
H
J
„
†
j_
x
~
I
O
†
$a$gdi` (мал.74, б). У цьому випадку частота коливань буде визначатися
за формулою
,
де ? ii – податливість балки при додатку сили в точці розташування маси
mі.
З іншого боку, наближене значення ? i тієї ж частоти можна визначити по
формулі Релея, вважаючи, що форма коливань збігається з зображеною на
мал.74,а,
.
(276)
Тут П0 і xі мають ті ж значення, що й у формулі (275).
Форма, зображена на мал.74,a, не є точною формою коливань одномасової
системи, тому виконується нерівність
.
(277)
Порівнюючи формули (275) і (276), знаходимо
.
(278)
Якщо в правій частині отриманої рівності замінити меншими значеннями ,
то рівність перетвориться в нерівність
.
Таким чином, наближена формула Донкерлея завжди дає зменшене значення
частоти
.
(279)
Розрахувавши частоту одної і тієї ж системи по методу Релея і формулі
Донкерлея, одержимо вилку, у якій укладене дійсне значення частоти
коливань.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
