Метод Гальоркіна
Цей метод, так само як і метод Рітца, широко застосовується для
наближеного рішення задач будівельної механіки машин і, зокрема, для
розрахунку пластин. Рішення за допомогою цього методу часто виходить
більш простим, тому що він не вимагає обчислення потенційної енергії
системи, іноді, однак, метод Гальоркіна дає більшу погрішність, чим
метод Рітца, а в деяких випадках він взагалі не застосовний (наприклад,
у задачах про деформації пластин з ребрами).
Пояснимо сутність методу Гальоркіна на прикладі згину пластини.
Підставимо диференційне рівняння пружної поверхні пластини (12.139) у
наступному виді:
повинна задовольняти цьому рівнянню, а також граничним умовам на краях
пластини.
:
.
:
.
на цих переміщеннях, одержимо наступну систему рівнянь:
(12.219)
або в іншому виді
… буде повною). Якщо ж взяти один або кілька членів ряду, то вийде
наближене рішення. Це рішення буде тим точніше, ніж ближче буде обрана
функція до дійсного.
????????????H?H?????? ????????????H?H??????
?
aaeou°
gdy%Y °
Варто помітити, що функція повинна задовольняти по можливості всім
граничним умовам на краях, як геометричним, так і силовим. При
незадоволенні хоча б частини граничних умов рішення по методу Гальоркіна
дає більшу погрішність, чим рішення по методу Рітца.
Приклад 12.16. Визначити прогин прямокутної пластини, жорстко забитої по
контуру й навантаженою рівномірним тиском.
Рішення.
, вибравши початок координат у центрі, задамося рівнянням пружної
поверхні у вигляді
.
Ця функція задовольняє граничним умовам на краях:
;
.
в рівняння (12.218) ліва частина рівняння приймає вид
, проінтегрируємо по всій поверхні пластини й інтеграл дорівняємо нулю:
Обчисливши інтеграли, одержимо алгебраїчне рівняння
,
з якого знайдемо прогин у центрі
Цей результат збігається з результатом, отриманим для тої ж пластини по
методу Рітца (приклад 12.14).
:
, задаються відповідно до граничних умов, а другу визначають,
використовуючи принцип можливих переміщенні.
на можливому переміщенні дорівнювала нулю. Як можливе переміщення
приймемо
,
тоді одержимо
або
Це рівняння задовольняється за умови
. Останнє інтегрується звичайним порядком. Отримувані при інтегруванні
довільні постійні визначаються відповідно до граничних умов на краях
пластини.
Метод Канторовича має переваги перед методом Гальоркіна в тих випадках,
коли характер деформації пластини або не зовсім ясний, або такий, що для
одержання рішення з необхідною точністю першого наближення по методу
Гальоркіна недостатньо.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
