Лінійно й нелінійно деформовані пружні системи
Розглянуті в попередніх главах задачі про напружено-деформований стан
пружних тіл зводилися до рішення диференціальних рівнянь при відповідних
граничних умовах. Диференціальні рівняння виражали умови рівноваги і
умови спільності деформацій всередині тіла, а граничні умови – на його
границях.
Для ряду задач, які ставляться до тіл певної форми при відомому
розподілі зовнішніх навантажень, були отримані точні або засновані на
деяких припущеннях, спрощуючих, загальні рішення відповідних
диференціальних рівнянь. Однак для багатьох задач диференціальні
рівняння настільки складні, що одержати загальне рішення в аналітичній
формі важко або взагалі неможливо, а їх чисельне рішення сполучене із
громіздкими викладеннями. У зазначених випадках прибігають до
використання варіаційних методів.
Справа в тому, що стан рівноваги або руху деформованих систем поряд з
диференціальними рівняннями може описуватися за допомогою варіаційних
принципів. Так, положення рівноваги консервативної системи є положення,
у якому силова функція роботи всіх сил системи має мінімальне значення.
Зазначена обставина дозволяє замінити проблему рішення систем
диференціальних рівнянь рівноваги розглянутої механічної системи
проблемою визначення функцій, що забезпечують мінімум деякого
функціонала, у цьому випадку силової функції роботи всіх сил, що діють
на систему. Для визначення цього мінімуму використовуються так звані
прямі варіаційні методи, основи яких були закладені в роботах Релєя і
Рітца.
У загальному випадку поводження деформованих систем описується умовою
стаціонарності деякого функціонала. І ця умова стаціонарності
еквівалентна основним рівнянням, які описують поводження деформованої
системи.
Використання варіаційних принципів дозволяє одержати наближене рішення і
при цьому, по суті, з будь-якою заданою точністю.
У цій главі для суцільних тіл, які перебувають у рівновазі, формулюються
два основних варіаційних принципи: можливих переміщень і можливих
напружень. Наведено деякі узагальнення цих принципів.
Варіаційні принципи дозволяють з єдиних позицій розглянути поводження
зовсім різних фізичних процесів. Вони знайшли широке використання і при
рішенні задач механіки деформівних середовищ. Нижче приводиться короткий
виклад їх основних ідей, проілюстроване прикладами. Наведені також і
деякі додаткові теореми, відомості про властивості пружних систем, що
випливають із розгляду потенційної енергії деформації.
Лінійно і нелінійно деформівні пружні системи
силами, які викликають зазначену деформацію, з іншого. При знятті
навантаження повністю зникає викликаний нею напружено-деформований стан
тіла. Остаточні значення деформацій, напруг і переміщень залежать тільки
від остаточних значень зовнішніх сил і не залежать від історії
навантаження тіла (порядку появи і закону зростання окремих складових
зовнішнього навантаження, прикладеного до тіла).
Пружні тіла і системи діляться на два класи: лінійно деформівні і
нелінійно деформівні. У лінійно деформівних систем залежність між
зовнішніми навантаженнями і переміщеннями (деформаціями, напругами,
внутрішніми зусиллями) лінійна. Нагадаємо, що для лінійно деформівних
систем основні рівняння: рівноваги, спільності деформацій і фізичні,
складені для розглянутої конструкції,– лінійні.
Принцип незалежності дії сил. Для лінійно деформівних систем
справедливий принцип незалежності дії сил, що формулюється так: якщо на
конструкцію діє кілька видів навантажень, то сумарний результат від дії
цих навантажень дорівнює сумі результатів кожного окремого навантаження.
Це відноситься до зусиль, деформаціям, переміщенням і будь-якого іншого
розрахункового навантаження.
З принципу незалежності дії сил випливає, що конструкцію можна
розраховувати на окремі одиничні зусилля, а потім результати помножити
на значення цих зусиль і скласти один з одним.
Наприклад, переміщення якої-небудь i-й точки або перерізу буде пов’язане
з діючими зовнішніми силами залежністю (рис. 11.1)
.
Рис. 11.1. Лінійна система
змінюються в міру зміни величини зовнішніх сил.
Нелінійна залежність буде мати місце, наприклад, між прогином консольної
балки і прикладеної на її кінці силою P при великих прогинах (рис.
11.2). З ростом величини сили балка згинається усе більше й більше, що
приводить до зменшення плеча дії сили. У результаті згинальні моменти,
а, отже, напруги, деформації й переміщення будуть зростати повільніше,
ніж сила P. Залежність між силою P і переміщенням кінця балки буде
нелінійною. Зразковий вид цієї залежності наведений на рис. 11.2, б.
а б
Рис. 11.2. Нелінійна система
Цей приклад показує, що до певного значення зовнішніх сил, коли
переміщення малі і матеріал підкоряється закону Гука, система буде мати
властивість лінійної деформованості. При подальшому збільшенні зовнішніх
навантажень через зріст переміщень, а також можливості появи пластичних
деформацій система втрачає властивість лінійної деформованості,
перетворюючись у нелінійно деформовану систему.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
