Крутильні коливання валів
Крутильні коливання вала з безупинно розподіленою масою (мал.69,а) описуються рівняннями, що за структурою цілком збігаються з приведеними вище рівняннями подовжніх коливань стрижнів.
Мал. 69
Крутний момент в перетині з абсцисою х зв’язаний із кутом повороту диференціальною залежністю, аналогічною виразу (173):
, (186)
де Jр – полярний момент інерції поперечного перетину.
У перетині, розташованому на відстані dx, крутний момент дорівнює (мал.69,б)
.
Позначуючи через (де – щільність матеріалу вала) інтенсивність моменту інерції маси вала щодо його осі (тобто момент інерції одиниці довжини), рівняння руху елементарної ділянки вала можна записати так:
,
або, подібно рівнянню (174)
.
Підставляючи сюди вираз (186), при Jр=const одержимо, аналогічно рівнянню (175)
, (187)
де
.
Загальне рішення рівняння (187), як і рівняння (175), має вид
,
де
(188)
Власні частоти і власні функції при цьому визначаються конкретними граничними умовами.
У основних випадках закріплення кінців, аналогічно випадку подовжніх коливань, одержимо:
а) закріплений кінець ( =0): Х=0;
б) вільний кінець (М=0): Х’=0;
в) пружно-закріплений лівий кінець: С0=GJpX’ (С0 – коефіцієнт жорсткості);
г) пружно-закріплений правий кінець: – С0=GJpX’;
д) диск на лівому кінці: (J0 – момент інерції диска щодо осі стрижня);
е) диск на правому кінці: .
Якщо вал закріплений на лівому кінці (х=0), а правий кінець (х=) вільний, то Х=0 при х=0 і Х’=0 при x= ; власні частоти визначаються аналогічно виразу (185):
(n=1,2,…)…
Якщо лівий кінець закріплений, а на правому кінці є диск, одержимо трансцендентне рівняння
.
Якщо обидва кінці вала закріплені, то граничні умови будуть X=0 при х=0 і х=. У цьому випадку з виразу (188) одержимо
; D=0,
тобто
(n=1,2,…),
звідси знаходимо власні частоти
.
Якщо лівий кінець вала вільний, а на правому кінці є диск, то X’=0 при х=0 ; Jo X=GJpX’ при х=. За допомогою виразу (188) знаходимо
С=0; ,
або трансцендентне частотне рівняння
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
