Крутильні коливання конструкцій з тонкостінних стержнів
Рівняння й параметри крутильних коливань прямолінійного тонкостінного
стержня відкритого профілю із двома осями симетрії мають вигляд
;
де
– динамічний кут повороту перерізу стержня навколо центра вигину, що
збігається в цьому випадку із центром ваги перерізу;
– динамічний крутний момент у перерізі, що виникає від нерівномірного
розподілу по товщині стінок дотичних напружень;
– динамічний бімомент, викликаний нормальними напругами від депланації
перерізу;
– динамічний гнучко-крутний момент, викликаний осьовими зрушуючи ми
силами, діючими по дотичній до дуги контуру перерізу;
– повний крутний момент щодо центра вигину.
У даному рівнянні третій доданок враховує інерційні сили від повздовжніх
секторіальних переміщень точок стержня. Розглянемо гармонійні коливання,
для яких можна застосувати метод Фур’є поділу змінних у такий спосіб:
;
,
– частота гармонійних коливань.
Якщо підставити останні співвідношення в рівняння коливань і вираз для
параметрів, то одержимо вихідні дані для задачі Коші крутильних коливань
тонкостінного стержня із двома осями симетрії в амплітудному стані.
;
– гнучко-крутильна характеристика;
(3.39)
Характеристичне рівняння приймає вигляд
(3.40)
корені якого визначаються формулою
і корені (3.41) можуть бути тільки двох видів (як і в поперечних
коливаннях):
1. Два дійсних
У цьому випадку розв’язок відповідного однорідного рівняння запишеться
так
(3.43)
По стандартному алгоритмі розв’язання задачі Коші крутильних коливань
стане в такий спосіб
де фундаментальні ортонормовані функції мають вигляд
зі зрушенням
Рис. 3.27
При підстановці виразу (3.46) у розв’язок задачі Коші (3.44) елементи
матриці навантаження приймуть вигляд:
(3.47)
Відповідно до алгоритму МГЕ частоти крутильних коливань визначаються з
рівняння
формується для певних крайових умов.
Наприклад, якщо кінці стержня жорстко затиснені, то схема формування
крайової задачі й частотне рівняння приймуть вигляд
Аналогічно отримуємо частотні рівняння стержнів при інших умовах
обпирання. В табл. 3.7 наведені частоти власних крутильних коливань
двотаврових балок (рис. 3.28) при розповсюджених умовах обпирання.
Таблиця 3.7
Номер
тону
1 2,7835 1,9501 0,6510
2 7,4035 6,0501 2,9510
3 14,3335 12,4501 7,5510
4 23,4685 21,1501 14,4510
5 34,9135 31,8501 23,5510
6 48,5635 44,9501 35,1510
7 64,4275 60,2501 48,6510
8 82,3825 77,6501 64,4510
9 102,4175 97,1501 82,3510
10 124,3624 118,6501 102,3510
Номер
тону
1 1,3501 0,3501 0,0000
2 4,8501 2,1501 2,7835
3 10,6501 6,1501 7,4035
4 18,6501 12,4501 14,3335
5 28,9501 21,0501 23,4685
6 41,4501 31,9501 34,9135
7 56,1501 45,0501 48,5635
8 73,0501 60,2500 64,4275
9 91,9501 77,6500 82,3825
10 112,9501 97,1500 102,4175
Рис. 3.28
n
p
r
i
??
gdAt
j
ytAt
F !6 B?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
F !6 B?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?Fo
?d?d??????????? ?Рівняння крутильних коливань (3.44) дозволяє вирішувати
по алгоритму МГЕ задачі динаміки пружних конструкцій будь-якої
структури, включаючи нерозрізні балки й рами. Як приклад розглянемо
задачу динаміки нерозрізної балки по рис. 3.29. Балка має поперечний
переріз двутавру (рис. 3.28) і навантажена динамічним крутним
навантаженням. Розбиваємо її на три стержні, нумеруємо вузли й стрілками
вказуємо початок і кінець кожного елемента.
Рис. 3.29
з урахуванням крайових умов, рівнянь зв’язку між граничними параметрами
у вузлах і заданому навантаженні запишуться в такий спосіб
. Матричне рівняння МГЕ крайової задачі балки буде у вигляді
Частоти балки по рис. 3.29 визначають із рівняння (3.50), а форми
власних крутильних коливань будуються по рівнянню методу початкових
параметрів. Для даної задачі воно прийме вигляд
(3.51)
де реакції опор визначаються співвідношеннями
(3.52)
а символ «+» у фундаментальних функціях позначає сплайн-функцію
відповідного аргументу. Пошук частот власних крутильних коливань балки
привів до наступних значень:
і т.д. (3.53)
На мал. 3.30 представлена перша форма коливань за умови, що
Рис. 3.30
показані на рис. 3.31.
г д
Рис. 3.31
Таблиця 3.8
Координата
, м Кут закручування
Похідна
(крутний момент)
Бімомент
Гнучко-крутний момент
Повний крутний момент
0,0 0,0 0,0 6,33 -4,65 -4,65
1,0 -0,10 -0,17 2,28 -3,47 -3,64
2,0 -0,30 -0,20 -0,63 -2,36 -2,56
3,0 -0,47 -0,13 -2,44 -1,26 -1,40
4,0 -0,55 -0,02 -3,15 -0,16 -0,18
5,0 -0,50 0,11 -2,76 0,94 1,04
6,0 -0,35 0,19 -1,28 2,03 2,22
7,0 -0,15 0,20 1,30 3,13 3,33
8,0 0,0 0,07 5,0 -2,76 -2,69
9,0 -0,01 -0,08 2,32 -2,62 -2,69
10,0 -0,12 -0,12 -0,25 -2,55 -2,67
11,0 -0,22 -0,06 -2,79 0,66 0,60
12,0 -0,22 0,04 -2,13 0,66 0,70
13,0 -0,14 0,12 -1,47 0,66 0,78
14,0 0,0 0,16 -0,81 -0,01 0,15
15,0 0,18 0,2 -0,85 -0,08 0,12
16,0 0,39 0,23 -0,0 -0,23 -0,00
Із представлених результатів видно, що за допомогою алгоритму МГЕ на
базі розв’язку задачі Коші можна досить ефективно розв’язувати
різноманітні задачі динаміки крутильних коливань тонкостінних
конструкцій, які широко поширені в різних об’єктах машинобудування,
суднобудування, авіабудування й будівництві.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
