.

Кратні і нульові корені частотного рівняння (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
205 966
Скачать документ

Кратні і нульові корені частотного рівняння

У деяких випадках можуть зустрічатися кратні корені частотного рівняння,
а в інших випадках серед коренів цього рівняння можуть виявитися і
нульові.

Розглянемо ці випадки на прикладі системи з двома ступенями свободи.

З відповідного такій системі частотного рівняння (39) випливає, що при
виконанні рівності

(49)

два корені частотного рівняння будуть рівні один одному, а при виконанні
рівності

(50)

один із коренів частотного рівняння обертається в нуль.

Як приклад розглянемо вільні коливання плоскої системи з двома ступенями
свободи (мал.23).

Мал. 23

. Тоді кінетична і потенційна енергії мають вид

Після обчислення відповідних похідних рівняння Лагранжа будуть

Припустимо, що параметри розглянутої системи задовольняють двом простим
(і практично реально здійсненним) співвідношенням:

,

тоді отримані диференціальні рівняння набувають більш простого виду

(51)

Отже, інерційні коефіцієнти й узагальнені коефіцієнти жорсткості в цих
рівняннях

і умова (49) виконується, а, виходить, розглянута система має дві
однакові власні частоти коливань. Для з’ясування цього можна було і не
залучати умову (49), тому що з рівнянь (51) безпосередньо випливає:

.

Внаслідок незалежності рівнянь (51) постійні інтегрування одного
рівняння не зв’язані з постійними інтегрування іншого рівняння:

служать чотири початкових умови.

Розглянемо приклад системи з однією нульовою власною частотою (мал.24).

Мал. 24

.

щодо деякого початкового положення, у якому вал не закручений.

Кінетична і потенційна енергії системи

Після обчислення похідних рівняння Лагранжа приймають вид

(52)

отже,

При цьому виконується умова (50), і один із коренів частотного рівняння
дорівнює нулю. Дійсно, підставляючи значення коефіцієнтів у частотне
рівняння (39), одержимо

,

звідси

.

З’ясуємо фізичний зміст нульової частоти. Особливість диференціальних
рівнянь (52) перебуває в тому, що вони допускають не тільки приватне
рішення коливального типу

3/4

A

A

3/4

A

A

Ae

O

o

oe

u

ue

A

A

Ae

O

????                                             (53)

але також приватне рішення виду

,

що описує рівномірне обертання всієї системи як жорсткого цілого (без
закручування вала). Цьому приватному рішенню і відповідає нульовий
корінь частотного рівняння.

, а також визначене співвідношення амплітуд коливань:

.

Таким чином, загальне рішення рівнянь (52) представляється як

(54)

, обумовлених із початкових умов.

Рух, що описується законом (54), можна розглядати як коливання,
накладені на режим рівномірного обертання. Чисто коливальну складового
руху легко виділити шляхом уведення нової перемінної (узагальненої
координати)

,

що являє собою взаємний кут повороту дисків. Тоді рівняння (52) можна
переписати у виді

, одержимо одне диференціальне рівняння

.

При цьому коливання підлягають одночастотному закону:

.

Можна сказати, що розглянута система має тільки один коливальний ступінь
свободи; другому ступеню свободи відповідає обертання системи як
жорсткого тіла. Аналогічно, для будь-якої системи з n ступенями свободи,
коли з валом зв’язані n дисків, число коливальних ступенів свободи на
одиницю менше і дорівнює n-1.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020