Кратні і нульові корені частотного рівняння
У деяких випадках можуть зустрічатися кратні корені частотного рівняння,
а в інших випадках серед коренів цього рівняння можуть виявитися і
нульові.
Розглянемо ці випадки на прикладі системи з двома ступенями свободи.
З відповідного такій системі частотного рівняння (39) випливає, що при
виконанні рівності
(49)
два корені частотного рівняння будуть рівні один одному, а при виконанні
рівності
(50)
один із коренів частотного рівняння обертається в нуль.
Як приклад розглянемо вільні коливання плоскої системи з двома ступенями
свободи (мал.23).
Мал. 23
. Тоді кінетична і потенційна енергії мають вид
Після обчислення відповідних похідних рівняння Лагранжа будуть
Припустимо, що параметри розглянутої системи задовольняють двом простим
(і практично реально здійсненним) співвідношенням:
,
тоді отримані диференціальні рівняння набувають більш простого виду
(51)
Отже, інерційні коефіцієнти й узагальнені коефіцієнти жорсткості в цих
рівняннях
і умова (49) виконується, а, виходить, розглянута система має дві
однакові власні частоти коливань. Для з’ясування цього можна було і не
залучати умову (49), тому що з рівнянь (51) безпосередньо випливає:
.
Внаслідок незалежності рівнянь (51) постійні інтегрування одного
рівняння не зв’язані з постійними інтегрування іншого рівняння:
служать чотири початкових умови.
Розглянемо приклад системи з однією нульовою власною частотою (мал.24).
Мал. 24
.
щодо деякого початкового положення, у якому вал не закручений.
Кінетична і потенційна енергії системи
Після обчислення похідних рівняння Лагранжа приймають вид
(52)
отже,
При цьому виконується умова (50), і один із коренів частотного рівняння
дорівнює нулю. Дійсно, підставляючи значення коефіцієнтів у частотне
рівняння (39), одержимо
,
звідси
.
З’ясуємо фізичний зміст нульової частоти. Особливість диференціальних
рівнянь (52) перебуває в тому, що вони допускають не тільки приватне
рішення коливального типу
3/4
A
A
3/4
A
A
Ae
O
o
oe
u
ue
A
A
Ae
O
???? (53)
але також приватне рішення виду
,
що описує рівномірне обертання всієї системи як жорсткого цілого (без
закручування вала). Цьому приватному рішенню і відповідає нульовий
корінь частотного рівняння.
, а також визначене співвідношення амплітуд коливань:
.
Таким чином, загальне рішення рівнянь (52) представляється як
(54)
, обумовлених із початкових умов.
Рух, що описується законом (54), можна розглядати як коливання,
накладені на режим рівномірного обертання. Чисто коливальну складового
руху легко виділити шляхом уведення нової перемінної (узагальненої
координати)
,
що являє собою взаємний кут повороту дисків. Тоді рівняння (52) можна
переписати у виді
, одержимо одне диференціальне рівняння
.
При цьому коливання підлягають одночастотному закону:
.
Можна сказати, що розглянута система має тільки один коливальний ступінь
свободи; другому ступеню свободи відповідає обертання системи як
жорсткого тіла. Аналогічно, для будь-якої системи з n ступенями свободи,
коли з валом зв’язані n дисків, число коливальних ступенів свободи на
одиницю менше і дорівнює n-1.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
