Короткі осесиметрично навантажені циліндричні оболонки
взаємний вплив країв настільки значно, що визначати постійні окремо для
кожного краю не можна.
У цьому випадку необхідно використовувати рішення основного
диференційного рівняння, що містить чотири довільні постійні.
Якщо це рішення взяти у вигляді (13.108) або (13.111), то задача
визначення постійних зведуться до рішення системи чотирьох рівнянь із
чотирма невідомими. Для того, щоб спростити визначення постійних,
рішення основного диференціального рівняння доцільно представити у
функціях А. Н. Крилова.
Функції Крилова визначається наступними виразами:
(13.119)
Перехід від показових функцій до функцій Крилова здійснюється за
допомогою формул Ейлєра:
У результаті, загальне рішення диференційного рівняння осесиметричної
циліндричної оболонки (13.108) перетвориться до виду
– постійні інтегрування.
мають наступні властивості. По-перше, вони зв’язані між собою простими
диференціальними співвідношеннями
, що звертається в одиницю, тобто
. Відповідно до рівностей (13.94) і (13.101) з урахуванням виразу
(13.120) і співвідношень (13.121), (13.122), можна написати
.
через початкові параметри:
:
.
.
).
Рішення.
в цьому випадку дорівнює нулю.
Для обчислення деформацій кільця використовуємо теорію осесиметричної
деформації кілець.
а б
Рис. 13.41. До прикладу 13.12
З рівнянь рівноваги половини кільця
;
.
визначимо внутрішні силові фактори в перетині кільця:
.
По силових факторах обчислимо кут повороту перетину
.
і радіальне переміщення точки сполучення із циліндром
.
Підставивши задані числові значення, а також значення геометричних
характеристик перетину кільця
;
.
.
;
.
вправо, одержимо наступні граничні умови:
;
;
;
.
:
, то циліндр варто розглядати як короткий.
і інерційного навантаження за рахунок обертання, тобто
.
, то частним рішенням (13.109) буде
(13.127) приймає вид
Дві останніх граничних умови з урахуванням залежностей (13.129) і
(13.130) приводять до двох рівнянь
;
,
рішення яких дає
.
функції Крилова мають наступні значення:
Згинальна жорсткість оболонки
:
Варто помітити, що в цьому випадку довжина оболонки лише ненабагато
менше граничної; тому переміщення краю оболонки можна також з достатньою
точністю обчислити, користуючись виразом (13.114) і (13.115) для довгої
оболонки:
Запишемо рівняння спільності деформацій циліндра і кільця:
або
Вирішивши цю систему рівнянь, одержимо значення шуканих силових факторів
Радіальне переміщення на лівому краї циліндра
см
і на правому краї циліндра
Внутрішні силові фактори на лівому краю циліндра
і на правому краю циліндра
Напруження на лівому краю циліндра
і на правому краю циліндра
.
Результати розрахунку показують, що найбільші напруження в циліндрі
виникають на правому краю, де має місце тільки окружне розтягання.
У деяких випадках навантаження розрахунок коротких циліндричних оболонок
найбільш просто виконується за допомогою функцій впливу.
, рівномірно розподілені до окружності торців (рис. 13.42).
Рис. 13.42. До розрахунку за допомогою функцій впливу
.
Граничні умови на лівому торці:
;
;
і на правому торці:
;
.
дає:
(13.132)
де
… являють собою функції впливу. Графіки цих функцій наведені на рис.
13.43.
–
?
O
O
Oe
–
O
j
j
g
, які викликаються поперечними силами й моментами, прикладеними по
краях. Для одержання повних переміщень до знайдених величин варто додати
ще переміщення, що відповідають приватному рішенню , які легко можуть
бути обчислені окремо.
Рис. 13.43. Функції впливу
Приклад. Циліндр навантажений двома кільцевими моментами (рис. 13.44,
а). Дано: = 25 см; = 20 см.
Рішення.
Відокремивши ділянки циліндра один від іншого, прикладаємо невідомі сили
і моменти й (рис. 13.44, б).
Ці невідомі повинні бути визначені з умов сполучення ділянок:
;
.
Осі для 1-ї й 2-ї ділянок спрямовані в протилежні сторони.
Частне рішення в цьому випадку дорівнює нулю. Для обчислення переміщень
скористаємося залежностями (13.131), (13.132).
Для лівої ділянки
(Поперечна сила й момент при відсутні).
а
б
в
Рис. 13.44. До прикладу 13.13
Для середньої ділянки
Значення функцій впливу взяті по графіках (рис. 13.43).
Підставимо вираз в рівняння сполучення ділянок
У результаті рішення цієї системи знайдемо
тоді
Тепер, коли початкові параметри для першої і другої ділянок відомі,
переміщення і згинальні моменти неважко обчислити по залежностях (13.41)
і (13.42). Епюри й для даної оболонки наведені на рис. 13.44, в.
Приклад 13.14. Кругла пластина, підкріплена високим кільцевим ребром,
навантажена, як показано на рис. 13.45, а. Дано:
Рішення.
Оскільки в цьому випадку висота ребра значна, то його варто розглядати
як коротку циліндричну оболонку.
Відокремимо ребро від пластинки. За точку сполучення приймемо точку
перетинання серединних поверхонь. При такому способі поділу деяка
частина обсягу виявляється врахованою двічі, тому що вона ставиться й до
пластини й до ребра. Це призводить до деякої похибки, однак внаслідок
малості згаданого обсягу, а також малої його напруженості (обсяг
розташований близько від серединної поверхні пластини) ця помилка
невелика. Разом з тим при такому способі поділу обчислення значно
спрощуються. Помітимо, що інший спосіб поділу (по площині, що збігається
з нижньою площиною пластини) також не вільний від погрішності, тому що в
області сполучення гіпотеза невикривленості нормалі точно не
дотримується. При рішенні приймемо припущення, що деформація розтягання
серединної площини дорівнює нулю.
а
б
в
Рис. 13.45. До прикладу 13.14
У точці сполучення на ребро діє момент і поперечна сила (рис.
13.45,б). Позначимо через кут повороту нормалі в точці сполучення й
через — висоту ребра. Запишемо граничні умови для ребра:
при ; при ;
при ; при ;
при ; при .
Застосувавши залежності (13.131) і (13.132), прийдемо до двох рівнянь:
з яких знайдемо
(13.134)
де
(13.135)
Викладена вище методика розрахунку круглих пластин з кільцевими ребрами
повністю застосовна й при розрахунку пластин з високими ребрами, тільки
в матриці переходу через ребро замість жорсткості варто підставити .
Таким чином,
, (13.136)
де — жорсткість першої ділянки пластини;
— середній радіус окружності ребра.
У даному прикладі
;
;
Для порівняння приведемо результати обчислень для ребра як кільця з
недеформівним поперечним перерізом.
Різниця в значеннях піддатливості ребра в цьому випадку становить 17%.
При ребро припустиме розглядати як кільце з недеформівним перетином;
якщо ж , то ребро можна розраховувати як довгу оболонку. При цьому
матриця (13.136) зберігається без зміни, а параметр буде дорівнювати 2.
Подальший розрахунок пластини не приводимо, оскільки аналогічний
розрахунок був розглянутий вище. Значення згинальних моментів для даної
пластини зазначені на рис. 13.45, в.
Приклад. Визначити згинальні моменти в східчастій кришці, зображеної на
рис. 13.46, а. Кришка навантажена рівномірним зовнішнім тиском. Дано:
Рішення.
Задану систему можна розчленувати на дві плоскі пластини й коротку
циліндричну оболонку (рис. 13.46, б). У місцях зчленування діють
невідомі силові фактори Так як пластини мають більшу жорсткість на
розтягання у своїй площині, то можна вважати, що радіальні переміщення
на краях циліндричної ділянки дорівнюють нулю. Запишемо умови
сполучення циліндричної ділянки й пластин:
при при де — кути повороту нормалей на краях першої й другої
пластини.
Позитивні напрямки кутових переміщень зазначені на рис. 13.46, б.
а
б
Рис. 13.46. До прикладу 13.15.
Кутові переміщення країв пластини обчислимо за методикою, викладеної
вище:
Переміщення країв циліндричної ділянки визначимо по залежностях (13.131)
і (13.132) з додаванням частного рішення згідно, формулі (13.109).
У результаті підстановки значень переміщень, умови сполучення
циліндричної ділянки й пластин приводяться до системи чотирьох рівнянь:
Відповідно до формули (13.103):
.
Значення функцій впливу, знайдені по графіках (рис. 13.43), що
випливають:
Підставивши зазначені величини в рівняння сполучення, і вирішивши цю
систему, одержимо значення силових факторів:
Епюри згинальних моментів і для заданої системи наведені на рис.
13.46, б. Порівняння цих епюр з епюрами для аналогічної плоскої пластини
показує, що завдяки наявності циліндричної ділянки згинальні моменти в
затисненні сильно знижуються. Так, наприклад, у зовнішнього краю , тоді
як у плоскій пластині .
У найбільш напруженій точці, розташованої в нижньому краю циліндричної
ділянки, згинальний момент досягає величини .
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
