Коливання пружних тіл з розподіленими масами (реферат)

Коливання пружних тіл з розподіленими масами

Поперечні коливання струни. Виведемо диференціальне рівняння поперечних коливань струни. Для цього розглянемо відхилення струни, закріпленої в точках  і  (рис. 15.28, ). Первісний її натяг нехай буде . Будемо вважати відхилення незначним, а зміною зусилля натягу  при цьому зневажимо, тобто . Довжина струни .

Вважаючи, що при відхиленні всі точки струни перебувають у площині , розглянемо елемент струни, що має масу  кінцеві точки його  й . Проведемо дотичні до струни в крайніх точках елемента; кути нахилу дотичних до осі  відповідно  й  (рис. 15.28, ). Уважаємо їх також малими.

Рис. 15.28. Поперечні коливання струни

Складова натягу по осі  в точці

,

а в точці

.

У силу малості кутів можна прийняти, що

;

.

Сума проекцій натягів на вісь  становить

.

Щоб знайти рівняння руху, потрібно, дотримуючись принципу д’Аламбера, цю силу дорівняти силі інерції          елемента струни, рівної , що дає

Позначивши через  вагу всієї струни, для  одержимо наступне вираження:

,

де  — прискорення сили ваги. Тоді рівняння (21.83) прийме вид

Позначаючи

,

вираження (15.84) запишемо так:

Це і є рівняння плоских поперечних коливань натягнутої струни.

Тепер завдання полягає в тім, щоб відшукати  як функцію від  і , тобто

.

Ця функція повинна задовольняти:

1) диференціальному рівнянню (15.85);

2) граничним умовам, тобто при  й  ордината ,

або

3) початковим умовам, тобто при  вона повинна звертатися в задану функцію прогинів:

Крім того, частинна похідна по  при  повинна звертатися в задану функцію  (початкова швидкість):

Умова (15.87) означає, що в початковий момент, тобто при , струна має задану форму, наприклад таку, яку вона прийме, якщо буде відтягнута штифтом  (рис. 15.29). У момент  штифт забирають і струна починає свої коливання.

Рис. 15.29. Струна, відтягнута штифтом

Умова (15.88) означає, що в початковий момент всі точки струни мають задану швидкість, зокрема, можуть перебувати й у стані спокою, як це має місце у випадку, показаному на рис. 15.29.

Рішення рівняння (15.85), дотримуючись методу Фур’є, шукаємо у вигляді

де  й  — відповідно функції  й :

;    .

Продиференціював вираження (15.89) по  й , одержимо

;    .

Після підстановки цих виражень у рівняння (15.85) останнє прийме вид

,

або

Дорівнюючи праву й ліву частини останнього рівняння до однієї й тій же постійної величині , одержимо два рівняння:

Приватні рішення цих двох звичайних диференціальних рівнянь наступні

У цьому легко переконатися, підставивши їх у рівняння (15.91).

З функції (15.92)  варто виключити як вираження, що не задовольняє першому з умов (15.86), тому що воно не звертається в нуль при . Щоб  рівнявся нулю при , потрібно, щоб , звідки , де  — ціле число. Рівність  називається рівнянням періодів або рівнянням частоти. Воно виходить безпосередньо із граничних умов.

Тепер маємо дві частки рішення рівняння (15.85):

Помноживши кожне із цих рішень на невизначені коефіцієнти  й  і склавши ці два рішення, одержимо загальне рішення у вигляді

або, думаючи

;    ,

де  й  — постійні, рівняння (15.94) запишемо у вигляді

Отримане рівняння характеризує рух як періодичний, тобто коливальний. Період коливань

а частота коливань

При  струна коливається в основному тоні (з однією напівхвилею). При  струна коливається, утворюючи дві напівхвилі, при  — із трьома напівхвилями (рис. 15.30).

Рис. 15.30. Характер коливань струни

Характер коливань, які струна робить у дійсності, залежить від початкових умов. Наприклад, струна буде коливатися тільки в основному тоні, якщо при  вона мала форму першої кривої  і всієї її точки були в спокої. Якщо ж початкова форма струни інша, то крім основного тону з’являються й обертони, так як коливання струни представляють сукупність накладаючихся друг на друга окремих коливань. Рівняння руху прийме в цьому випадку такий вид:

Для остаточного рішення задачі потрібно з початкових умов (15.87) і (15.88) визначити коефіцієнти  й  рівняння (15.98).

З умови (15.87)

а з умови (15.88)

Тут  і  — функції, задані в інтервалі від  до .

Рівності (15.99) і (15.100) вимагають розкладання цих функцій у ряди, члени яких являють собою тригонометричні функції кутів, кратних . Ця задача вирішується методом Фур’є, що, як відомо, полягає в тому, що рівність (15.99) множать на  й інтегрують по всій довжині, від  до . У результаті цього інтегрування одержують

Всі члени правої частини цієї рівності, крім одного, звертаються в нуль, тому що при

а при

Для доказу рівностей (15.102) і (15.103) згадаємо, що

4

;

.

Тоді

.

Розглянемо другий інтеграл правої частини цієї рівності. Він являє собою площу, обмежену кривою

і ординатами  й . Якщо  — парне число, то крива має вигляд, показаний на рис. 15.31, , якщо  — непарне число — вид на рис. 15.31, . Площі окремих частин в обох випадках взаємно знищуються. Інтеграл

також звертається в нуль для всіх значень , а при  його величина дорівнює /

Рис. 15.31. Рішення методом Фур’є

Таким чином, у правій частині рівності (15.101) тільки один член, що втримується в рівності (15.103), не звертається в нуль. Він по доведеному дорівнює , звідки

Аналогічно

За допомогою цих рівностей, цілком можна визначити ряд (15.98), а разом з тим і рух струни.

Поздовжні коливання стрижнів. Перейдемо до розгляду коливань призматичних стрижнів, що володіють на відміну від струни значною поперечною жорсткістю. Насамперед, нагадаємо, що розрізняють три типи коливань: поздовжні, поперечні й крутильні.

При поздовжніх коливаннях всі частки стрижня рухаються паралельно його осі (рис. 15.32, ). Стиск і розтягання по черзі випливають один за одним як у часі, так і в просторі.

Виведемо диференціальне рівняння коливань стрижня. Із цією метою розглянемо умову динамічної рівноваги ділянки коливного стрижня. Перетину  й  (рис. 15.32, ), що обмежують елементарну довжину , періодично переміщаються. Переміщення  довільного перетину з координатою  може бути виражене як . Це рівняння вказує на наявність у стрижні відносних переміщень окремих його поперечних перерізів. Якщо перетин  переміщається на , а  — на , то відносне подовження в перетині  елемента  (рис. 15.32, ) . Тоді осьова сила в перетині

.

У перетині , розташованому на нескінченно близькій відстані , осьова сила

.

Рис. 15.32. Поздовжні коливання стрижнів

Рівнодіюча цих зусиль повинна бути дорівнювати силі інерції елемента, величина якої при масі стрижня  й довжині  буде

.

Тоді рівняння руху

Після скорочення на  й заміни  на  (щільність матеріалу) одержимо

Це рівняння чудово тим, що рух, що виражається їм, не залежить від розмірів стрижня. Якщо покласти

,

те одержимо рівняння, що збігається за формою з рівнянням (15.85) руху струни:

Тому формули, отримані при розгляді коливань струни, можуть бути автоматично використані для розрахунку поздовжніх коливань стрижнів. При цьому тільки буде потрібно підставити відповідне значення для коефіцієнта .

Крутильні коливання стрижнів. При коливаннях крутіння якого-небудь, наприклад циліндричного, стрижня рух найкраще охарактеризувати хвилястою лінією, вичерчуючи її на розгорнутій поверхні стрижня (рис. 15.33, ).

Нехай перетин на відстані  закручується щодо нерухомого перетину на кут , а перетин на відстані  — на кут  (рис. 15.33, ). Тоді величина відносного кута закручування елемента довжиною  буде  й крутні моменти в обох поперечних перерізах — відповідно

і

Рис. 15.33. Крутильні коливання стрижнів

Прирівнюючи рівнодіючу цих крутних моментів до моменту інерції обертання елемента довжиною , рівному , одержимо рівняння руху

,

яке після скорочення на  й  прийме вид

Позначаючи  через , знову одержуємо рівняння у формі коливання струни:

Тому й у цьому випадку формули, виведені при розгляді коливань струни, залишаються в силі.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter