Класифікація механічних коливань
Вивчення коливальних процесів має важливе значення для різних розділів механіки, фізики й техніки. Вібрація споруджень і машин, електромагнітні коливання в радіотехніку й оптику, звукові й ультразвукові коливання – всі ці не схожі один на одного процеси поєднуються методами математичної фізики в одне загальне вчення про коливання.
Розглянемо механічні коливання, з якими доводиться мати справу в машинобудуванні й будівельній справі. Вивчення цих коливань дуже важливо для рішення задач міцності при змінних напруженнях.
Коротко зупинимося на основних поняттях і залежностях, якими прийдеться оперувати в справжній главі.
Щоб то або інше тіло здатне було робити коливання, йому необхідно мати певну масу й пружність. Якщо пружне тіло (навантажена балка, скручений вал або деформована ресора) буде виведена з положення рівноваги якою-небудь сторонньою причиною (ударом, раптово прикладеною силою), то сила пружності цього тіла в новому положенні вже не зрівноважиться навантаженням і виникнуть коливання.
Всі коливальні процеси, з якими доводиться зустрічатися в техниці, можна класифікувати по зовнішніх ознаках, формі того закону, по якому деяка величина, що бере участь у процесі, змінюється згодом. Таку класифікацію можна назвати кінематичною.
Розрізняють два класи коливальних процесів: періодичні і неперіодичні. У теорії істотне значення має проміжний клас — майже періодичні коливання.
Періодичним називається такий процес, при якому коливна величина, узята в будь-який момент часу, через певний відрізок часу (період) має то ж значення. Математичне визначення періодичної функції наступне: функція називається періодичною з періодом , якщо існує така постійна величина , для якої
при будь-якому значенні змінної .
Неперіодичними функціями називаються всі інші функції, що не задовольняють зазначеній умові.
Майже періодична функція визначається умовою
при кожному , де й — певні постійні величини. Величина , що, загалом кажучи, є функцією , називається майже періодом. Очевидно, що якщо дуже мало в порівнянні із середнім значенням модуля функції за час , то майже періодична функція близька до періодичної.
Серед класу періодичних коливань величезну роль грають гармонійні, або синусоїдальні, коливання, при яких зміна фізичної величини згодом відбувається по синусоїді (або косинусоїді).
Неперіодичні коливання набагато різноманітніше періодичних. Найбільш часто з неперіодичних коливань зустрічаються загасаючі (або наростаючі) синусоїдальні рухи. Коливання, що відбуваються за законом загасаючої синусоїди, або, як іноді їх називають, загасаючі гармонійні коливання, показані на рис. 15.1, і математично представляються виразом
,
де й — постійні величини; — час.
Наростаючі гармонійні коливання показані на рис. 15.1, . Математично вони описуються останнім виразом з тією різницею, що повинен бути змінений знак на зворотний у величини . Строго говорячи, про такі коливання варто було б сказати: загасаючі (або наростаючі) коливання близькі до гармонійного при досить малому значенні . Тому назва «загасаючі синусоїди» або «загасаючі періодичні коливання» не зовсім логічна, так як гармонійні коливання не можуть загасати. Але звичайно прийнято називати так, і ми також будемо користуватися цією назваю.
| а | |
| б |
Рис. 15.1. Загасаючі й наростаючі коливання
Перераховані зовнішні ознаки коливальних процесів, звичайно, недостатні для їх систематизації й аналізу. Тому доцільно класифікувати коливання по основних фізичних ознаках розглянутих коливальних систем.
Взагалі пружна система може давати коливання різних типів. Наприклад, струна або балка під час коливань може приймати різні форми, що залежать від числа точок перегину, що розділяють довжину елемента. При дослідженні коливальних рухів пружних систем важливо знати, яке число незалежних параметрів визначає положення системи в кожний даний момент часу. Число таких параметрів називається числом ступенів волі.
У найпростіших випадках положення системи може бути визначено тільки однією величиною. Такі системи називаються системами з одним ступенем волі.
Розглянемо найпростіший випадок, зображений на рис. 15.2.
Рис. 15.2. Система з одним ступенем волі
Якщо пристрій такий, що можливі тільки вертикальні переміщення вантажу , і якщо маса пружини мала в порівнянні з величиною маси вантажу , то систему можна розглядати як таку що має один ступінь волі. Положення такої коливальної системи може бути визначено одним параметром – вертикальним переміщенням вантажу.
Системою із двома або декількома ступенями волі назвемо таку систему, положення якої в довільний момент часу може бути охарактеризовано двома або декількома незалежними параметрами. Двома ступенями волі, наприклад, володіє невагома балка, що несе дві маси (рис. 15.3, ). Як незалежні параметри можуть бути прийняті переміщення мас і стосовно положення рівноваги.
Розглядаючи поперечні коливання балки, можна поступово збільшувати число ступенів волі, приєднуючи до балки зосереджені маси. У межі виходить балка з розподіленої по всій довжині масою (рис. 15.3, ) — система з нескінченним числом ступенів волі. При цьому прогин у будь-якій крапці балки міняється за особливим законом. З одного боку, прогин балки при коливаннях є функцією абсциси , а з іншого боку – безперервною функцією часу .
| а | |
| б |
Рис. 15.3. Балка із двома масами й розподіленою масою
Класифікуючи механічні коливання по інших ознаках, розрізняють наступні чотири типи можливих коливань: власні, змушені, параметричні й автоколивання .
Власними (вільними) називають коливання, що виникають в ізольованій системі внаслідок зовнішнього порушення («поштовхів»), що викликає в точках системи початкові відхилення від положення рівноваги або початкові швидкості, і триваючі потім завдяки наявності внутрішніх пружних сил, що відновлюють рівновагу.
Класичним прикладом власних коливань пружної системи є вертикальні коливання вантажу, підвішеного до кінця пружини (рис. 15.2), якщо верхній кінець її закріплений, а вантаж спочатку відтягнуть донизу і потім відпустити.
При власних коливаннях характер коливального процесу в основному визначається тільки внутрішніми силами системи, що залежать від її фізичної будови. Необхідна енергія, що забезпечує процес коливань, надходить ззовні в початковий момент порушення коливань.
Найбільше значення відхилень, тобто амплітуда коливань і швидкість власних коливань, визначається з початкових умов. При цьому період коливань (час одного повного коливання) або частота коливань, тобто величина, зворотна періоду, залежить від самої системи. Ця величина є певною для даної системи й називається власною частотою коливань системи.
Власні коливання можуть відбуватися не тільки біля положення стійкої рівноваги, але й стосовно стійкого руху, наприклад, крутильні коливання вала що рівномірно обертається.
Внаслідок наявності сил опору коливального руху (опір середовища, у якій відбувається рух, тертя в підшипниках, тертя в зчленуваннях конструкції, сили внутрішнього тертя в матеріалі) у всіх реальних механічних системах власні коливання завжди загасають. У цьому полягає важлива особливість власних коливань у порівнянні з іншими типами коливальних рухів.
Для спрощення при теоретичному дослідженні власних коливань на початку рішення задачі силами опору звичайно зневажають.
Змушеними називають коливання пружної системи, що відбуваються при дії на систему (протягом усього періоду коливань) заданих зовнішніх сил, що обурюють і періодично змінюються, які діють безупинно незалежно від коливань у системі. Характер процесу при цьому визначається не тільки властивостями системи, але також істотно залежить від зовнішньої сили.
Прикладом змушених коливань системи можуть служити поперечні коливання балки (рис. 15.4), що служить опорою для електродвигуна, якщо в нього обертові маси не цілком врівноважені. Період змушених коливань дорівнює періоду зміни сили, що обурює. Амплітуда змушених коливань від початкових умов не залежить.
Рис. 15.4. Змушені коливання
На відміну від власних, змушені коливання не загасають, хоча мають місце сили опору. Це пояснюється тим, що при змушених коливаннях у систему з боку сили, що обурює, безупинно підводить енергія, що і витрачається на подолання наявних у системі опорів.
У відомих умовах, коли частота сил, що обурюють, близька або збігається із частотою власних коливань розглянутої системи, змушені коливання супроводжуються значним (часто небезпечним) збільшенням амплітуд, що викликають неприпустимі для конструкції деформації. Це явище, як відомо, зветься резонанс.
Параметричними називають коливання пружної системи, у процесі яких періодично міняються фізичні параметри системи, тобто величини, що характеризують масу системи або її жорсткість. Істотною особливістю параметричних коливань є те, що зовнішні сили впливають не безпосередньо на коливальний рух, а на фізичні параметри системи.
Таким чином, параметричні коливання відрізняються від змушених видом зовнішнього впливу. При змушених коливаннях ззовні задані сила або яка-небудь інша величина, що викликає коливання, а параметри системи при цьому залишаються постійними. Параметричні коливання викликаються періодичною зміною ззовні якого-небудь фізичного параметра системи. Так, наприклад, вал некруглого перетину що обертається, і має щодо різних осей перетину різні моменти інерції, які входять у характеристику жорсткості при згині, випробовує поперечні коливання в певній площині завдяки змінній жорсткості, що періодично змінюється за кожний оберт вала. Зміна фізичного параметра викликається зовнішніми силами. У наведеному прикладі зовнішнім фактором є двигун, що здійснює обертання вала. Параметричні коливання не загасають при наявності сил опору. Підтримка параметричних коливань відбувається за рахунок підведення енергії зовнішніми силовими впливами, що змінюють фізичні параметри системи.
Автоколиваннями, або самоколиваннями, пружної системи називають незатухаючі коливання, підтримувані такими зовнішніми силами, характер впливу яких визначається самим коливальним процесом.
Автоколивання виникають у системі без зовнішнього періодичного впливу. Характер коливань визначається винятково устроєм системи. Джерело енергії, що покриває втрати її в системі при коливаннях (головним чином на тепло), звичайно становить невід’ємну частину системи.
Із сказаного випливає, що автоколивання відрізняються від власних коливань, оскільки останні є загасаючими, у той час як автоколивання не загасають. З іншого боку, автоколивання відрізняються від змушених і від параметричних коливань, так як й ті й інші так чи інакше викликаються зовнішніми силами, характер дії яких заданий. У цьому змісті автоколивання можуть бути названі також самозбудними, так і процес коливань тут управляється самими коливаннями. Джерело додаткової енергії, що підтримує коливання системи, перебуває поза пружною системою. Наприклад, енергія повітряного потоку, що набігає на вібруючі частини літака, викликає особливий вид автоколивання, називаний флаттером.
Крім зазначеної класифікації коливань, прийнято також розрізняти коливання по виду деформації пружних елементів конструкцій. Зокрема, стосовно до стрижневих систем розрізняють поздовжні, поперечні й крутильні коливання.
До поздовжніх коливань відносять такі коливальні рухи системи, зокрема пружного стрижня, при яких переміщення всіх точок спрямовані уздовж осі стрижня; при цьому має місце деформація його подовження або вкорочення. Виникаючі при такого роду коливаннях нормальні напруги розподілені рівномірно по поперечному перерізі. Отже, поздовжні коливання інакше можна назвати коливаннями розтягання – стиску.
Поперечними коливаннями називають коливання вигину, при яких основні компоненти переміщень (у цьому випадку прогини) спрямовані перпендикулярно до осі стрижня. Напружений стан при поперечних коливаннях, мабуть, такий ж, як і при статичному злині балок. Тому поперечні коливання інакше можна назвати згинальні коливаннями.
Крутильними називають коливання стрижнів, супроводжувані змінною деформацією крутіння. Із цими коливаннями в машинобудуванні доводиться мати справа головним чином при аналізі деформацій різного роду валів, що працюють переважно на крутіння.
При розгляді тонкостінних конструкцій, зокрема конструкцій літака, часто доводиться мати справа з коливаннями змішаного типу, при яких одночасно мають місце напружені стани вигину й крутіння, так звані гнучко-крутильні коливання.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
