Фундаментальні рішення для поздовжньо-поперечного згину стержня.
Визначення спектра критичних сил і форм втрати стійкості статичним
методом

Розрахунок на стійкість стержневих систем зводиться до визначення
критичних сил, перевищення яких викликає перехід системи з одного
рівноважного стану в інший. Такий перехід досить часто приводить до
руйнування конструкції або інших форм аварій, тому вкрай небажаний і для
практики важливе знання певного спектру критичних сил і відповідних їм
форм втрати стійкості.

Аналіз стійкості стержневої системи може бути проведений на основі
якісного підходу, розробленого проф. Р.Р. Матевосяном [182]. Відповідно
до цього підходу формується визначник стійкості методу переміщень. При
довільному значенні стискаючого навантаження на стержні визначник
стійкості зводять до верхньокутового виду, діагональні елементи якого
утворять ряд стійкості. По ряду стійкості й судять про ступінь
нестійкості й кількості «пройдених» критичних сил. Попередньо
обчислюються ейлерові критичні сили окремих стержнів основної системи
методу переміщень, які завжди більші або рівні першій критичній силі
заданої системи.

Такий підхід характеризується мінімумом арифметичних операцій і
складністю логіки, що включає операції множення, транспонування й
перетворення матриць. Крім того, визначник стійкості методу переміщень
має, як і в динаміці, точки розриву 2-го роди, що утрудняє пошук спектру
критичних сил.

Велике поширення для розв’язку задач стійкості стержневих систем одержав
МКЕ [184]. У МКЕ розглядається вікове рівняння, з якого визначаються
критичні сили.

Число критичних сил по МКЕ дорівнює ступеню кінематичної невизначеності
стержневої системи, а при формуванні вікового рівняння використовуються
операції додавання, множення й транспонування матриць.

Таким чином, розв’язання задач стійкості стержневих систем має той же
алгоритм і ті ж недоліки існуючих методів, що й у задачах динаміки. МГЕ
дозволяє звільнити розв’язок задач стійкості від зазначених недоліків.
Побудову співвідношень стійкості МГЕ проведемо при «мертвих»
навантаженнях. Введемо допущення:

1. Стержні системи вважаються нерозтяжними й нестисливими.

2. Відстані між вузлами системи після втрати стійкості не змінюються.

3. Деформація зрушення не враховується.

Фундаментальні розв’язки для повздошно-поперечного вигину стержня

Основою математичних моделей задач стійкості стержневих систем є
розв’язок задачі Коші повздошно-поперечного вигину стержня. Зв’язано це
з тим, що втрата стійкості наступає з появою згинаючих станів в
елементів стержневих систем. Задача Коші повздошно-поперечного вигину
прямолінійного стержня в лінійній постановці формулюються в такий спосіб
[307]

 визначається по формулі

поздовжня стискаюча сила.

Розв’язок задачі Коші (4.1) по алгоритму п.1.3 можна представити в
матричній формі

(4.2)

де фундаментальні ортонормовані функції мають вигляд

, перпендикулярної первісної прямолінійної осі стержня, то в рівнянні
(4.2) зміняться окремі фундаментальні функції [182, 307]

=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(4.4)

де

— поперечна сила, перпендикулярна первісній прямолінійній осі стержня.
Рівняння (4.4) дозволяє спрощувати статичні крайові умови в порівнянні з
рівнянням (4.2).

o

oe

oe

j*

Y

Y

”ue

, повинні мати в рівнянні (1.40) блок фундаментальних функцій статичного
вигину (2.11), а стислі стержні – блок фундаментальних функцій
повздошно-поперечного вигину (4.4) з додаванням нормальних сил (для
плоских задач стійкості).

4.2 Визначення спектра критичних сил і форм втрати стійкості статичним
методом

 з рівняння (3.1) випливає, що

 інтервалу, на якому виконується пошук критичних сил. Зміна знака
визначника (4.6) або рівність його нулю свідчить про «проходження»
критичної сили. Таким чином, методика визначення критичних сил не
відрізняється від методики визначення частот власних коливань пружних
систем. Тут можна використовувати програми на мовах Fortran і Pascal
прикладів 3.4, 3.6 з відповідними змінами позначень змінних. У рамках
прийнятих допущень МГЕ дозволяє визначати точний спектр власних значень
(частот або критичних сил). Однак, лінеаризація диференціальних рівнянь
і крайових умов, неврахування деформацій розтягання-стиску й зрушення,
наближене врахування інших факторів не дозволяють наблизити знайдений
«точний» спектр власних значень до дійсного спектру. У задачах динаміки
дійсні частоти менші знайдених частот, тому що реальна пружна система
має більшу піддатливість, ніж спрощена розрахункова схема. Погрішність
менша в систем з нерухливими вузлами й більша в систем з лінійно
рухливими вузлами. Протилежна картина має місце в задачах стійкості.
Погрішність менша в систем з лінійно рухливими вузлами й більша в систем
з нерухливими вузлами.

Для кожної критичної сили можна побудувати й форми втрати стійкості
стержневої системи, аналогічно побудові форм коливань (див. п. 3.1).
Нижче представлені приклади розв’язання задач стійкості різних пружних
систем по алгоритму МГЕ. Оскільки використовуються рівняння (2.11),
(4.4), що відносяться до статичного деформування, то вся процедура
розв’язку задач стійкості відноситься до статичного методу.

Похожие записи