Фрикційні автоколивання

Особливої уваги заслуговують механічні автоколивання, що виникають у
системах з тертям. Сила тертя, що у раніше розглянутих прикладах
виявлялася причиною загасання коливань, може бути причиною їхнього
розгойдування.

Розглянемо найпростішу систему (мал.62,а), що складається з двох
обертових барабанів і нескінченної стрічки.

Рис. 62

. Сила тертя, що розвивається при ковзанні вантажу, зміщає вантаж вправо
і викликає деяке подовження пружини. Нехай у положенні рівноваги вантажу
сила тертя дорівнює R0, тоді статичний зсув вантажу складає

                                                                        
                                (161)

Для подальших міркувань необхідно врахувати, що сила тертя R залежить
від відносної швидкості руху V (при заданому нормальному тиску вантажу,
що будемо вважати постійним). Нехай характеристика тертя має вид,
показаний на мал.62,б, де значення V0 і R0 відповідають стану рівноваги
вантажу.

.

.

. При малих коливаннях відносної швидкості можна прийняти

 
                                                                        
                            (162)

.

Рівняння руху вантажу

.

Підставляючи сюди вираз (162), одержимо

або

                                                                        
     (163)

.

Тоді рівняння (163) буде мати вид

Згідно (161), сума двох останніх доданків дорівнює нулю, тому одержимо
рівняння

                                                                        
        (164)

.

негативна, то система має як би “негативне загасання”, і коливання з
часом будуть зростати за рахунок енергії, переданої стрічкою, що
рухається.

d

f

? ¶

TH

a

j?

[email protected]

[email protected]

a

обто також убік руху. В іншому інтервалі руху, коли вантаж рухається
вліво, збільшення сили тертя спрямовано також уліво, тобто знову убік
руху. Такий характер зміни сили тертя і є причиною зростання коливань.

.

За допомогою таких же міркувань можна прийти до висновку про можливість
автоколивань пружно закріпленої колодки, притиснутої до обертового диску
(мал.63,а), а також вантажу на пружині, коли лівому її кінцю заданий рух
з постійною швидкістю (мал.63,б). В обох цих випадках необхідною умовою
автоколивань також є наявність спадної ділянки характеристики тертя.

.

.

Рис. 63

Таким чином, рівняння руху системи різець-супорт має вид

— приведена маса системи різець-супорт.

— спадна.

Як установлено, нестійкість стану рівноваги може бути виявлена в
припущенні малості коливань, тобто за допомогою лінійного наближення.
Однак, якщо відмовитися від цього припущення, простежити за подальшим
плином процесу, то виявляється, що ріст амплітуд поступово
сповільнюється і в остаточному підсумку амплітуда цілком стабілізується.
Цей процес сталих (стаціонарних) автоколивань (мал.64) називається
граничним циклом.

Рис. 64

Важливою особливістю граничного циклу є його повна незалежність від
початкових умов; після будь-якого збурювання стану рівноваги система
наближається до того самого граничного циклу. Для виявлення параметрів
(частоти, амплітуди) сталих автоколивань необхідний аналіз відповідної
нелінійної задачі.

У деяких випадках стаціонарні автоколивання носять майже гармонійний
характер і відбуваються з частотою вільних коливань системи; відповідні
системи називаються квазілінійними. В інших випадках стаціонарні
автоколивання різко відрізняються від гармонійних, супроводжуються
зупинками і стрибками швидкості; такі автоколивання і відповідні системи
називаються релаксаційними чи розривними.

Похожие записи