Фізичні рівняння кругової циліндричної оболонки
. У результаті з урахуванням залежності (1.1) одержуємо
. У зв’язку із цим два перших рівняння (а) спрощуються:
Звідси знаходимо залежності між нормальними напруженнями і лінійними
деформаціями в циліндричній оболонці:
, відповідно до четвертого рівняння (а),
, відповідно до умов (7.7), дорівнюють нулю.
Підставляючи у формули (б) і (в) вираз деформацій (7.9), одержуємо
(г)
Внесемо значення напружень (г) у вираз зусиль (7.4):
Після інтегрування одержуємо
(7.11)
Тут введене позначення циліндричної жорсткості оболонки, аналогічне
циліндричної жорсткості пластинки:
(7.12)
Рівняння (7.11) являють собою спрощені фізичні рівняння теорії тонких
оболонок. Вони виражають залежність між зусиллями й деформаціями в
тонкій круговій циліндричній оболонці.
.
Осесиметричне навантаження замкнутої кругової циліндричної оболонки
Рішення системи 15 рівнянь (7.5), (7.10) і (7.11) з 15 невідомими в
загальному випадку навантаження оболонки представляє більші математичні
труднощі. Розглянемо один із простих, але практично цікавих випадків –
замкнуту кругову циліндричну оболонку, навантажену симетрично щодо її
осі (рис. 7.14).
Рис. 7.14. Замкнута кругова циліндрична оболонка
‚
„
o
o
oe
o
o
o
??????o
IOUUeV
Z
b
. З урахуванням відзначених спрощень диференціальні рівняння рівноваги
(7.5) приймають вид
.
.
Внесемо у вираз зусиль (7.11) деформації з формул (7.10) і врахуємо
осьову симетрію:
З першого рівняння виходить, що
Вносячи це співвідношення в друге рівняння, одержимо зусилля, що нас
цікавлять, зусилля в такому виді:
.
Підставляючи формули (7.13) в останнє рівняння (а), знаходимо
. Параметр
, де L — розмірність довжини.
У безрозмірних координатах рівняння (7.14) приймає вид
(7.16)
Це диференціальне рівняння збігається з диференціальним рівнянням вигину
балки, що лежить на пружному (вінклерівській) основі. Його рішення можна
представити у формі
— фундаментальні функції акад. А. Н. Крилова, що мають наступний
гиперболо-тригонометричний вид:
(б)
Ці функції табульовані (див.: Крилов А. Н. Про розрахунок балок, що
лежать на пружній основі. АН СРСР, 1931; Філоненко-Бородич М. М. Курс
опору матеріалів, т. II, М., 1956).
Частне рішення рівняння (7.16) може бути виражене за допомогою
фундаментальних функцій А. Н. Крилова інтегралом
:
(7.19)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
