Фізичні рівняння кругової циліндричної оболонки

. У результаті з урахуванням залежності (1.1) одержуємо

. У зв’язку із цим два перших рівняння (а) спрощуються:

Звідси знаходимо залежності між нормальними напруженнями і лінійними
деформаціями в циліндричній оболонці:

, відповідно до четвертого рівняння (а),

, відповідно до умов (7.7), дорівнюють нулю.

Підставляючи у формули (б) і (в) вираз деформацій (7.9), одержуємо

(г)

Внесемо значення напружень (г) у вираз зусиль (7.4):

Після інтегрування одержуємо

(7.11)

Тут введене позначення циліндричної жорсткості оболонки, аналогічне
циліндричної жорсткості пластинки:

(7.12)

Рівняння (7.11) являють собою спрощені фізичні рівняння теорії тонких
оболонок. Вони виражають залежність між зусиллями й деформаціями в
тонкій круговій циліндричній оболонці.

.

Осесиметричне навантаження замкнутої кругової циліндричної оболонки

Рішення системи 15 рівнянь (7.5), (7.10) і (7.11) з 15 невідомими в
загальному випадку навантаження оболонки представляє більші математичні
труднощі. Розглянемо один із простих, але практично цікавих випадків —
замкнуту кругову циліндричну оболонку, навантажену симетрично щодо її
осі (рис. 7.14).

Рис. 7.14. Замкнута кругова циліндрична оболонка

o

o

oe

o

o

o

??????o

I O U Ue V

Z

b

. З урахуванням відзначених спрощень диференціальні рівняння рівноваги
(7.5) приймають вид

.

.

Внесемо у вираз зусиль (7.11) деформації з формул (7.10) і врахуємо
осьову симетрію:

З першого рівняння виходить, що

Вносячи це співвідношення в друге рівняння, одержимо зусилля, що нас
цікавлять, зусилля в такому виді:

.

Підставляючи формули (7.13) в останнє рівняння (а), знаходимо

. Параметр

, де L — розмірність довжини.

У безрозмірних координатах рівняння (7.14) приймає вид

(7.16)

Це диференціальне рівняння збігається з диференціальним рівнянням вигину
балки, що лежить на пружному (вінклерівській) основі. Його рішення можна
представити у формі

 — фундаментальні функції акад. А. Н. Крилова, що мають наступний
гиперболо-тригонометричний вид:

(б)

Ці функції табульовані (див.: Крилов А. Н. Про розрахунок балок, що
лежать на пружній основі. АН СРСР, 1931; Філоненко-Бородич М. М. Курс
опору матеріалів, т. II, М., 1956).

Частне рішення рівняння (7.16) може бути виражене за допомогою
фундаментальних функцій А. Н. Крилова інтегралом

:

(7.19)

Похожие записи