Енергія деформації при крутінні. Статично невизначені системи при
крутінні
Енергія деформації при крутінні
При крутінні, так само як і при інших видах деформації бруса, робота
зовнішніх сил (крутних моментів) витрачається на створення в
деформованому тілі певного запасу енергії (потенційної енергії
деформації). Виведемо формулу для визначення цієї енергії, розглядаючи
брус, жорстко закріплений одним кінцем і навантажений на вільному кінці
крутним моментом (мал.7.7).
Як і раніше, будемо вважати, що навантаження здійснюється статично в
межах справедливості закону Гука. Таким чином, залежність між крутним
моментом і кутом закручування лінійна. Графік цієї залежності
представлений на мал.7.26.
Рис.7.26.Залежність між крутним моментом і кутом закручування
відповідна елементарна робота
Ця робота виражається на графіку (мал.7.26) площею густо заштрихованої
трапеції, що по малості можна розглядати як прямокутник.
Вся робота, мабуть, виразиться площею трикутника, заштрихованого на
мал.7.26, тобто
відповідно кінцеві значення крутного моменту і кута закручування.
Таким чином, одержано вираз теореми Клапейрона для випадку крутіння.
З огляду на, що робота зовнішніх сил (моментів) дорівнює енергії
деформації й у розглянутому випадку крутний момент у всіх перерізах
однаковий, маємо
(7.30)
При східчастій зміні перерізу або крутного моменту
(або обидві ці величини) змінюються по довжині окремих ділянок
безупинно, варто користуватися формулою
.
Статично невизначені системи при крутінні
Задача розрахунку на крутіння є статично невизначеною, якщо крутні
моменти, що виникають у поперечних перерізах бруса, не можуть бути
визначені за допомогою одного лише методу перерізів. Для її рішення
додатково до рівнянь статики повинні бути складені рівняння переміщень,
засновані на аналізі умов деформації розрахункової системы.
Рішення статично невизначених задач на крутіння розглянемо на наступних
прикладах.
допустиме значення крутного моменту для бруса, жорстко затисненого з
обох кінців й навантаженого, як зазначено на мал.7.27,а.
б
в
д
Рис.7.27. Наприклад 7.6
Рішення
(мал.7.27,а).
°
?
x
z
|
~
o
u
У цьому випадку статика дає одне рівняння рівноваги (для системи пар
сил, що діють у паралельних площинах) — сума моментів щодо поздовжньої
осі бруса дорівнює нулю:
(7.33)
Таким чином, задача один раз статично невизначена — одне рівняння
статики й два невідомих реактивних моменти.
. Отримана в такий спосіб статично визначена система (мал.7.27,б)
еквівалентна заданої й, отже, кут повороту перерізу В дорівнює нулю:
Застосовуючи принцип незалежності дії сил, запишемо рівняння переміщень
у вигляді
кут повороту перерізу В дорівнює куту закручування ділянки АС, тобто
одержимо
(7.35)
Підставляючи значення кутів повороту в рівняння (7.34) і з огляду на
(7.35), одержимо
звідки
Підставляючи значення Х у рівняння рівноваги, знайдемо
Після розкриття статичної невизначеності епюра моментів будується, як
звичайно. Ця епюра представлена на мал.7.27,в.
Побудова епюр зовсім аналогічна розглянутим у прикладі 7.1; ці епюри
дані на рис7.27,а, д.
Небезпечними є перерізи ділянки ВЕ. Помітимо, що перерізи, у яких
виникають найбільші крутні моменти (ділянка АС), у цьому випадку менш
небезпечні.
Умова міцності
звідки
(мал.7.28).
Рис.7.28. До прикладу 7.7
Рішення
Розсікаючи валик і трубку довільним поперечним перерізом і розглядаючи
умову рівноваги правої відсіченої частини, показаної окремо на мал.7.29,
одержуємо
Рис.7.29. Права відсічена частина
, але крутні моменти (внутрішні) визначити за допомогою методу перерізів
неможливо.
Очевидно, кути повороту правих кінцевих перерізів валу однакові, тому що
вони жорстко пов’язані з диском:
Це і є рівняння переміщень задачі яка розглядається. Застосовуючи закон
Гука, одержимо
звідки
й підставляючи числові значення, маємо:
Використовуємо рівняння статики
звідки
Максимальні дотичні напруження в поперечних перерізах валика
Максимальні дотичні напруження в поперечних перерізах трубки
Коефіцієнти запасу міцності:
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
