.

Дослідження стійкості в системі популяційної динаміки із запізненням.(реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 1129
Скачать документ

Реферат на тему:

Дослідження характеристик стійкості в системі популяційної динаміки із
запізненням

1. Вступ

У багатьох застосуваннях припускається, що на поведінку піддослідної
системи не впливає жодна затримка в часі, тобто майбутній стан системи
не залежить від попередніх станів і визначається лише теперішнім. У
таких випадках динамічна система переважно моделюється звичайними
диференціальними рівняннями. Однак при глибшому вивченні виявляється, що
такий погляд – це лише перше наближення до дійсного стану і реальніша
модель повинна включати минулі стани системи.

Крім того, деякі задачі повністю втрачають свій зміст без розгляду
“попередньої історії”. Ці положення були відомі й раніше, але теорія
систем з післядією інтенсивно розвивається лише протягом останніх 50
років. Досягнення в галузі обчислювальної техніки є дуже важливими,
оскільки теорія інтегрування, тобто аналітичного розв’язування, для
систем з післядією не настільки успішна.

Перші системи, з якими зіткнулися дослідники, були біологічними. При
дослідженні динаміки популяцій двох антагоністичних видів [7]
використовувалися системи із запізненням. Р.Беллман [3] вивчав наслідки
введення у кров хімічного розчину. Зауважимо, що рівняння, які описують
цей процес, не є звичайними диференціальними рівняннями, оскільки повна
циркуляція крові триває близько двох хвилин.

Мета цієї праці – проаналізувати систему імунного захисту організму,
враховуючи запізнення в часі. Вперше модель імунного захисту людського
організму була розроблена групою математиків і лікарів на чолі з
Г.І.Марчуком. Як зазначає Г.І.Марчук [1], модель дала непогані
результати при використанні її для лікування пневмонії та вірусного
гепатиту.

2. Асимптотична стійкість

2.1. Головні результати теорії стійкості

Широке коло задач пов’язано з дослідженнями динаміки об’єктів, що
описуються диференціальними рівняннями із запізненням:

(2.1)

на множині кусково-неперервних функцій:

Одним із найзагальніших методів дослідження стійкості таких задач є
прямий метод Ляпунова. Використання такої методики для систем із
післядією пов’язано з двома напрямками. Перший ґрунтується на
скінченно-вимірних функціях Ляпунова і використовує теореми
Б.С.Разуміхіна. Однак цей підхід має недолік: не доведено необхідності
цих умов стійкості. Сенс диференціально-різницевих рівнянь полягає в
нескінченно-вимірних просторах. Використання скінченно-вимірних функцій
Ляпунова призводить до зайвих достатніх умов.

. Використання функціоналів – це природнє узагальнення прямого методу
Ляпунова для звичайних диференціальних рівнянь на рівняння із
запізненням. Головний результат для автономних систем твердить [2].

,

.

2.2. Один загальний випадок нелінійної системи третього порядку із
запізненням

Розглянемо систему диференціальних рівнянь із запізненням:

(2.2)

задовольняють наступні умови:

(2.3)

– додатні константи.

Теорема 2.2. Нехай умови (2.3) виконані.

-стійким.

– функція Ляпунова для скалярного рівняння:

(2.4)

Тоді:

вигляду:

Повна похідна функціоналу вздовж першого рівняння з (2.2) має вигляд:

таке, що:

(2.5)

у сфері:

. (2.6)

задовольняє умови:

(2.7)

при досить великому N.

зі сфери:

, на якому піддослідний розв’язок зодовольняє умови:

Оскільки мають місце (2.5), (2.6), (2.7), то, як випливає з теореми 2
(див. [10], стор.145), розв’язок першого рівняння з (2.2) –
експоненціально x-стійкий, тобто:

(2.8)

, яка задовольняє друге рівняння з (2.2) у наступному вигляді:

(2.9)

то маємо:

Застосовуючи до останньої нерівності лему Гронуола-Беллмана, отримуємо:

такі, що мають місце нерівності:

має місце:

-стійкість (2.2). Теорему доведено.

3. Система імунного захисту

Наша подальша мета – отримати достатні умови стійкості в явному вигляді
для наступної нелінійної системи:

(3.1)

– довільні додатні константи.

Нехай:

, що задовольняють нерівності:

Тоді тривіальний розв’язок (22 ) є асимптотично стійким.

Доведення. Використаємо квадратичний функціонал вигляду:

, використовуючи систему (22). Маємо:

Зробимо перетворення в усіх складових порядку, відмінного від двох. Тут
береться до уваги додатність траєкторії системи. Маємо:

Ми отримали нерівність, де в правій частині є квадратична форма, що
відповідає вектору:

Маємо:

.

Тут:

.

є еквівалентною виконанню нерівностей, згаданих у формулюванні
теореми.

Література

Нисевич Н.И., Марчук Г.И. Математическое моделирование вирусного
гепатита. – М.: Наука, 1981.

Hale J. Theory of Functional-Differential Equations. Springer. – Berlin,
1977.

Bellman R., Jacques J., Kalaba R. Some mathematical aspects of
chemoterapy. I: one-organ models // Bull. Math. Biophys. – 1960. – Р.
181-198.

Marzeniuk V.P. On Construction of Exponential Estimates for Linear
Systems with Delay. – Advances in Difference Equations. – Gordon and
Breach Science Publishers. – 1997. – Р.439-445.

Хусаинов Д.Я., Марценюк В.П. Оптимизационный метод исследования
устойчивости линейных систем с запаздыванием // Кибернетика и системный
аналіз. – 1996. – №4. – С. 88-93.

Хусаинов Д.Я., Марценюк В.П. Двусторонние оценки решений линейных систем
с запаздыванием // Доклады НАН Украины.– 1996. – №8. – С. 8-13.

Volterra V. Sur la theorie mathmatique des phenomenes hereditaires. J.
Math. Pures Appl. – 7 (1928). – Р. 249-298.

Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. – М.:
Физматгиз, 1959.

Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. – М.: Наука, 1951.

Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений
с отклоняющимся аргументом. – М.: Наука, 1971.

Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы
регулируемых систем с постедействием. – М.: Наука, 1981. – 448 с.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020