Диференціальні рівняння рівноваги кругової циліндричної оболонки
Для ілюстрації моментної теорії розрахунку оболонок розглянемо кругову циліндричну оболонку (рис. 7.10), контур якої утворений нормальними площинами, що збігаються із площинами головних кривизн.
Рис. 7.10. Кругова циліндрична оболонка
У круговій циліндричній оболонці головні радіуси кривизни мають наступні значення:
Положення довільної точки на поверхні такої оболонки визначається двома координатами: x і . Координати x відлічуються уздовж утворюючої оболонки, кути — уздовж дуги s з постійним середнім радіусом R.
Виведемо диференціальні рівняння рівноваги кругової циліндричної оболонки. Двома парами площин — , ; , — виділимо біля точки C серединної поверхні нескінченно малий елемент, сторони, якого рівні й . Для вивчення рівноваги цього елемента застосуємо рухливу систему координат x, y, z. Початок координат розташуємо в точці C. Вісь x направимо уздовж утворюючої, вісь z — по зовнішній нормалі до серединної поверхні, а вісь y — по дотичній до серединної поверхні перпендикулярно площини xCz.
На рис. 7.11 показані напруги, що діють на гранях розглянутого елемента.
Рис. 7.11. Напруги на гранях елемента
На грані, перпендикулярної утворюючої оболонки (нормаль паралельна осі x), діють нормальна напруга й два складові дотичні напруження й . На площадці, паралельній утворюючій, діють нормальна напруга й два складові дотичні напруження й . Напруги на кожній грані можуть бути зведені до статично еквівалентних рівнодіючих зусиль. Розглянемо спочатку перетин з нормаллю, паралельною осі x. Нескінченно малий елемент, заштрихований на малюнку, окреслений по дузі радіусом і має товщину . Отже, його площа дорівнює . При проектуванні на координатні осі відповідні напруги необхідно множити на цю площу.
Сума проекцій на вісь x сил, прикладених до розглянутого елемента, дорівнює .
Інтегруючи цей вираз по товщині пластинки, знаходимо нормальну силу в зазначеному перерізі:
| (а) |
де — нормальна сила, що доводиться на одиницю довжини перерізу з нормаллю, паралельною осі x.
Ділячи обидві частини рівності на , одержуємо
| (б) |
При розрахунку тонких оболонок можна зневажити відношенням через малість у порівнянні з одиницею. Тоді формула (б) приймає вигляд
Аналогічно можна визначити зрушуючу силу , поперечну силу , згинальний момент і крутний момент. Таким чином, у перерізі оболонки з нормаллю, паралельною осі x, виникають наступні зусилля, що доводяться на одиницю його довжини:
| (в) |
Переходимо до розгляду радіального перерізу. У цьому перерізі нескінченно малий елемент, заштрихований на рис. 7.11, має площа . Сума проекцій всіх сил на нормаль до перерізу
| (г) |
де — нормальна сила, що доводиться на одиницю довжини радіального перерізу:
Аналогічно можна знайти зрушуючу силу , поперечну силу , згинальний момент і крутний момент .
Таким чином, у радіальному перерізі виникають наступні зусилля, що доводяться на одиницю його довжини:
| (д) |
На підставі закону парності дотичних напружень із формул (в) і (д) випливає рівність зусиль, що зрушують, і крутних моментів:
Таким чином, у тонкій круговій циліндричній оболонці, існують наступні залежності між зусиллями й напругами:
| (7.4) |
Зусилля, що діють на нескінченно малий елемент серединної поверхні оболонки, показані на рис. 7.12,а,б. До нього прикладені також поверхневі навантаження, які в напрямках рухливих координатних осей мають складові , , .
| а | |
| б |
Рис. 7.12. Зусилля на елемент серединної поверхні
Складемо рівняння рівноваги розглянутого елемента. Проектуючи всі сили на вісь x, знаходимо
звідки після спрощення одержуємо перше рівняння рівноваги:
| (е) |
Аналогічно одержуємо рівняння проекцій на осі y і z:
| (ж) |
При обчисленні моментів всіх сил щодо координатних осей необхідно розглядати спільно рис. 7.12,а й 7.12,б. Сума моментів щодо осі Cx дорівнює
звідки після спрощення
| (з) |
Аналогічно одержуємо рівняння моментів щодо осі Cy:
| (и) |
Сума моментів всіх сил щодо осі Cz з точністю до прийнятих припущень про малість товщини оболонки звертається в тотожність.
Отже, маємо п’ять рівнянь рівноваги (е)—(і), які містять у собі вісім невідомих функцій. Виключивши із цих рівнянь поперечні сили й , приходимо до наступної системи:
| (7.5) |
Три диференціальних рівняння рівноваги містять шість невідомих зусиль: , , S, , і H. Таким чином, задача виявляється статично невизначеною й для знаходження зусиль до рівнянь (7.5) необхідно додати рівняння деформацій.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
