Диференціальні рівняння коливань кругового стержня у своїй площині
Для виведення рівнянь коливань кругового стержня у своїй площині додаємо сили інерції, викликані поздовжніми, поперечними й кутовими переміщеннями (плоский випадок), у рівняння рівноваги (2.24) – (2.26)
| (3.32) |
де – густина матеріалу стрижня;
– осьовий момент інерції;
– погонна маса.
Момент інерції обертання обчислюється по формулі
,
де – кутове прискорення кута повороту перерізу стержня.
Рівняння (3.32) виражаємо через повздовжнє й поперечне переміщення осі стержня. Далі використовуємо метод Фур’є поділу змінних. Система диференціальних рівнянь коливань кругового стержня у своїй площині з урахуванням інерції обертання в амплітудному стані прийме вигляд
| (3.33) |
Перше рівняння описує поперечні коливання, а друге – повздовжні коливання точки осі кругового стержня. Якщо зневажити інерцією обертання, то система рівнянь (3.33) трохи спроститься
| (3.34) |
Аналітичні розв’язки систем рівнянь (3.33), (3.34) дотепер не отримані. Один з найбільш простих шляхів аналітичного розв’язання задачі коливань кругового стержня у своїй площині полягає в наступному. Крім інерції обертання можна не враховувати й деформацію розтягання , тоді й система (3.34) зведеться до одного рівняння 6-го порядку
| (3.35) |
Характеристичне рівняння для цього рівняння стане поліномом 6-го порядку
| , | (3.36) |
який зводиться до рівняння третього порядку
| . | (3.37) |
Кубічне рівняння (3.37) буде мати 2 випадки коренів:
1 – всі корені – дійсні;
2 – два корені комплексні й один корінь дійсний .
Звідси випливає, що повний аналітичний розв’язок задачі коливань кругового стержня буде мати безліч варіантів (більше 10) фундаментальних функцій. Точний розв’язок системи рівнянь (3.33) ще більше ускладнюється.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
