Чисельне рішення звичайних диференційних рівнянь

Багато задач фізики, хімії, екології, механіки й інших розділів науки й
техніки при їхньому математичному моделюванні зводяться до
диференціальних рівнянь. Тому розв’язання диференціальних рівнянь є
однієї з найважливіших математичних задач. В обчислювальній математиці
вивчаються чисельні методи розв’язання диференціальних рівнянь, які
особливо ефективні в сполученні з використанням персональних
комп’ютерів.

Серед безлічі чисельних методів розв’язання диференціальних рівнянь
найбільш прості — це явні однокрокові методи. До них відносяться різні
модифікації методу Рунге-Кутта.

Постановка задачі:

, що задовольняє рівнянню

:

 визначається по формулі

(5.5)

Тут

 — крок сітки;

тобто даний варіант методу Рунге-Кутта вимагає на кожному кроці
чотириразового обчислення правої частини рівняння (5.3). Цей алгоритм
реалізований у програмі ode 45. Крім цієї програми МАТLAB має у своєму
розпорядженні великий набір аналогічних програм, що дозволяють успішно
розв’язувати звичайні диференціальні рівняння.

Приклад 5.5

Розв’язати задачу Коші

(5.7)

Точний розв’язок має вигляд

????????????H?H?????j

?

|

?

?

gd<`› ? ? O Ue e e e Для чисельного розв’язання задачі Коші у вікні команд набираються наступні оператори Протокол програми % Дескриптор @ забезпечує зв’язок з файлом-функцією правої частини % [0  1] - інтервал, на якому необхідно одержати розв’язок % [1] - початкове значення розв’язання >> % Побудова графіка чисельного розв’язку задачі Коші (5.7)

% Команда дозволяє за допомогою миші нанести на графік напис y(x)

>> % Остання команда виводить таблицю чисельного розв’язку задачі

.

Рис. 5.4

Таблиця 5.9

хi Метод Рунге-Кутта Точний розв’язок

0.0 1.0 1.0

0.1 1.2221 1.2221

0.2 1.4977 1.4977

0.3 1.8432 1.8432

0.4 2.2783 2.2783

0.5 2.8274 2.8274

0.6 3.5202 3.5202

0.7 4.3928 4.3928

0.8 5.4895 5.4895

0.9 6.8645 6.8645

1.0 8.5836 8.5836

Як видно з табл. 5.9 чисельний розв’язок програмою ode 45 є точним.

 

Варіанти завдань. Побудувати графік і вивести у вигляді таблиці
розв’язок задачі Коші на інтервалі [0;1] методом Рунге-Кутта 4-го
порядку.

Дані взяти з таблиці 5.10

0.4

Похожие записи