Чисельне рішення звичайних диференційних рівнянь (реферат)

Чисельне рішення звичайних диференційних рівнянь

Багато задач фізики, хімії, екології, механіки й інших розділів науки й техніки при їхньому математичному моделюванні зводяться до диференціальних рівнянь. Тому розв’язання диференціальних рівнянь є однієї з найважливіших математичних задач. В обчислювальній математиці вивчаються чисельні методи розв’язання диференціальних рівнянь, які особливо ефективні в сполученні з використанням персональних комп’ютерів.

Серед безлічі чисельних методів розв’язання диференціальних рівнянь найбільш прості – це явні однокрокові методи. До них відносяться різні модифікації методу Рунге-Кутта.

Постановка задачі:

Потрібно знайти функцію , що задовольняє рівнянню

і приймаючу при  задане значення :

При цьому розв’язок необхідно одержати в інтервалі . З теорії диференціальних рівнянь відомо, що розв’язання  задачі Коші (5.3), (5.4) існує, єдино і є гладкою функцією, якщо права частина  задовольняє деяким умовам гладкості. Чисельний розв’язок задачі Коші методом Рунге-Кутта 4-го порядку полягає в наступному. На заданому інтервалі  вибираються вузлові точки. Значення розв’язку в нульовій точці відомо . У наступній точці  визначається по формулі

Тут

– крок сітки;

тобто даний варіант методу Рунге-Кутта вимагає на кожному кроці чотириразового обчислення правої частини рівняння (5.3). Цей алгоритм реалізований у програмі ode 45. Крім цієї програми МАТLAB має у своєму розпорядженні великий набір аналогічних програм, що дозволяють успішно розв’язувати звичайні диференціальні рівняння.

Приклад 5.5

Розв’язати задачу Коші

Точний розв’язок має вигляд

Приведемо розв’язання даної задачі чисельно за допомогою програми ode 45. Спочатку в М-файлі записуємо праву частину рівняння (5.7), сам М-файл оформляється як файл-функція, даємо йому ім’я

Для чисельного розв’язання задачі Коші у вікні команд набираються наступні оператори

Протокол програми

% Дескриптор @ забезпечує зв’язок з файлом-функцією правої частини

% [0  1] – інтервал, на якому необхідно одержати розв’язок

% [1] – початкове значення розв’язання

>> % Побудова графіка чисельного розв’язку задачі Коші (5.7)

% Команда дозволяє за допомогою миші нанести на графік напис y(x)

>> % Остання команда виводить таблицю чисельного розв’язку задачі

Результати розв’язання. Графік розв’язання задачі Коші (5.7) показаний на рис.5.4. Чисельний розв’язок представлений в таблиці 5.9, де наведені тільки окремі точки. У програмі  за замовчуванням інтервал розбивається на 40 точок із кроком .

Таблиця 5.9

Як видно з табл. 5.9 чисельний розв’язок програмою ode 45 є точним.

Варіанти завдань. Побудувати графік і вивести у вигляді таблиці розв’язок задачі Коші на інтервалі [0;1] методом Рунге-Кутта 4-го порядку.

Дані взяти з таблиці 5.10

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter