Чисельне рішення оптимізаційних задач

Під оптимізацією розуміють процес вибору найкращого варіанта із всіх
можливих. З погляду інженерних розрахунків методи оптимізації дозволяють
вибрати найкращий варіант конструкції, найкращий розподіл ресурсів й
т.п. У процесі розв’язання задачі оптимізації необхідно знайти
оптимальні значення деяких параметрів, їх називають проектними
параметрами. Вибір оптимального розв’язку проводиться за допомогою
деякої функції, яку називають цільовою функцією.

Цільову функцію можна записати у вигляді:

 ? проектні параметри.

Можна виділити 2 типи задач оптимізації – безумовні й умовні. Безумовна
задача оптимізації полягає у відшуканні максимуму або мінімуму функції
(5.10) від п дійсних змінних і визначенні відповідних значень аргументів
на деякій множині G п-мірного простору. Звичайно розглядаються задачі
мінімізації; до них легко зводяться й задачі на пошук максимуму шляхом
заміни знака цільової функції на протилежний. Умовні задачі оптимізації
– це такі, при формулюванні яких задаються деякі умови (обмеження) на
множині G. Тут розглянемо тільки безумовні задачі оптимізації.

Пошук мінімуму функції однієї змінної

Для розв’язання цієї задачі використовуються методи золотого перерізу
або параболічної інтерполяції (залежно від форми завдання функції),
реалізовані в програмі fminbnd.

.

Будуємо графік цієї функції, щоб переконатися в наявності мінімуму на
заданому інтервалі.

Протокол програми

З’являється вікно з графіком цієї функції (рис. 5.6), де відзначаємо
наявність мінімуму.

 

Далі, для точного визначення координати й значення мінімуму
використовуємо програму fminbnd.

Результат пошуку

. Дані взяти з табл. 5.13.

Таблиця 5.13

?2.0; 3.0?

 

Пошук мінімуму функцій декількох змінних

O

Oe

( * , . : < > D F H J r t E U a i ?

¬

Oe

FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

?FO

 вершиною. У двовимірному просторі симплекс є трикутником, а в
тривимірному — пірамідою. На кожному кроці ітерацій вибирається нова
точка розв’язку всередині або поблизу симплекса. Вона рівняється з
однією з вершин симплекса. Найближча до цієї точки вершина симплекса
заміняється цією точкою. Таким чином, симплекс перебудовується й
дозволяє знайти нове, більш точне положення точки розв’язку. Алгоритм
пошуку повторюється, поки розміри симплекса по всім змінним не стануть
менші заданої погрішності розв’язку.

Програму, що реалізує симплекс-методи Нелдера-Міда, зручно
використовувати в наступному записі:

де х – вектор координат локального мінімуму;

 – значення цільової функції в точці мінімуму.

Саму цільову функцію зручно представити за допомогою дескриптора @ у
М-файлі.

Приклад 5.9. Знайти й вивести на друк координати й значення мінімуму
функції двох змінних

.

Протокол програми

Після побудови тривимірного графіка виконуємо пошук мінімуму. У М-файлі
програмуємо цільову функцію

Розв’язуємо поставлену задачу у вікні команд

Результати пошуку

Як видно, результати розв’язку задачі точні.

. Дані взяти з табл. 5.14.

Таблиця 5.14

Координати початкової

(1.0; -1.0)

На закінчення відзначимо, що представлені приклади використання
можливостей MATLAB у розв’язанні різних науково-технічних проблем є лише
невеликою ілюстрацією значно більшого потенціалу системи, а матеріал
параграфа може служити деяким введенням при самостійному вивчені і
застосуванні інтегрованого пакета математичного моделювання.

Похожие записи