Частотне рівняння і власні форми

Розгорнутий запис граничних умов приводить до однорідних рівнянь щодо
постійних C1, C2, C3, C4.

Щоб ці постійні не рівнялися нулю, повинний рівнятися нулю визначник,
складений із коефіцієнтів системи; це приводить до частотного рівняння.
При цих операціях з’ясовуються співвідношення між C1, C2, C3, C4, тобто
визначаються власні форми коливань (із точністю до постійного множника).

Простежимо упорядкування частотних рівнянь на прикладах.

. За допомогою виразів (197)-(200) одержимо з перших двох умов:
C1=C3=0. Дві залишкові умови можна записати у виді

Щоб C2 і C4 не були рівні нулю, необхідна рівність нулю визначника

.

Таким чином, частотне рівняння має вид

.

Підставляючи вираження T і U, одержимо

.

, то остаточно частотне рівняння приймає вид

>

@

°

?

¦ ? ,

.

2

4

?

?

 

?

?

h]

h]

j§ h]

h]

jq h]

h]

j h]

h]

h]

h]

h]

h]

h]

@

?

gd]

gd]

gd]

??????          (207)

Корені цього рівняння

, (n=1,2,3,…).

З огляду на вираз (196), одержимо

.
                                                                        
                          (208)

Перейдемо до визначення власних форм. З записаних вище однорідних
рівнянь випливає наступне співвідношення між постійними C2 і C4:

.

Отже, рівняння (197) одержує вид

або

.

Відповідно до (207) одержуємо

,
                                                                        
                       (209)

де — нова постійна, значення якої залишається невизначеним, поки не
введені в розгляд початкові умови.

Похожие записи