Математичний апарат і методичний інструментарій діяльності фінансових
посередників
План
1. Час як фактор у фінансових розрахунках
2. Види потоків платежів та їх основні параметри
3. Методи урахування податків і інфляції
4. Криві доходності інвестицій
У процесі своєї діяльності фінансовий посередник може отримувати доходи
від приросту курсової вартості цінних паперів, доходи від продажу акцій
та облігацій, дивідендні доходи, відсоткові доходи, інші премії і доходи
тощо. Таким чином, дохід фінансового посередника знаходиться у
залежності від грошових потоків (cash-flows), пов’язаних із володінням
фінансовими активами та комерційної діяльністю з ними. У даній темі до
Вашої уваги пропонується математичний апарат і методичний інструментарій
для оцінки та управління цими грошовими потоками.
Оскільки викладений нижче матеріал багато в чому перекликається і є
повторенням матеріалу, вже засвоєного студентами під час вивчення
попередніх дисциплін (таких як «Математика для економістів»,
«Економетрія», «Інвестування», «Фінанси», «Інвестиційний менеджмент»,
«Фінансовий менеджмент» тощо), дана тема не розглядається під час
лекційного заняття, а виноситься для самостійної роботи студентів.
1. Час як фактор у фінансових розрахунках
У практичних фінансових операціях суми грошей поза залежністю від їх
призначення або походження так чи інакше, але обов’язково, пов’язуються
з конкретними моментами або періодами часу. Для цього в контрактах
фіксуються відповідні строки, дати, періодичність виплат. Поза часом
немає грошей. Фактор часу, особливо у довгострокових операціях, грає не
меншу, а іноді навіть більшу роль, ніж розміри грошових сум.
Необхідність урахування часового фактора витікає з сутності
фінансування, кредитування й інвестування та виражається в принципі
нерівноцінності грошей, які відносяться до різних моментів часу
(time-value of money), або в іншому формулюванні – принципі зміни
цінності грошей у часі. Інтуїтивно зрозуміло, що 1000 гривень, одержаних
через 5 років, не рівноцінні тій самій сумі, яка надійшла сьогодні,
навіть, якщо не приймати до уваги інфляцію і ризик їх неодержання. Тут,
мабуть, доцільним є відомий афоризм «Час – гроші».
Відмічена нерівноцінність двох однакових за абсолютною величиною
різночасових сум пов’язана передусім з тим, що наявні сьогодні гроші
можуть бути інвестовані і принести дохід у майбутньому. Одержаний дохід
у свою чергу ре інвестується і т.д. Якщо сьогоднішні гроші, в силу
сказаного, цінніші за майбутні, то, відповідно, майбутні надходження
менш цінні, аніж більш близькі при рівних їм сумах.
Наведемо ілюстрацію. У свій час газети повідомляли, що американська
компанія «Юніон Карбайд», на хімічному заводі якої в Індії відбулась
велика аварія, запропонувала в якості компенсації постраждалим виплатити
на протязі 35 років 200 млн. дол. (індійська сторона відхилила цю
пропозицію). Скористаємось цими даними для демонстрації фактору часу.
Визначимо суму коштів, яку необхідно покласти до банку, скажімо, під 10%
річних для того, щоб повністю забезпечити послідовну сплату 200 млн.
дол.. Виявляється, для цього достатньо виділити лише 57, 5 млн. дол..
Інакше кажучи, 57,5 млн. дол., сплачених сьогодні, еквівалентні 200 млн.
дол., які б погашалися щомісяця в рівних частках на протязі 35 років.
Вплив фактора часу багатократно посилюється, як ми знаємо з власного
життєвого досвіду, в період інфляції. Цей фактор часто лежить в основі
явного або прихованого шахрайства та недобросовісності. Достатньо у
зв’язку з цим нагадати про випадки, коли «продавець» отримував гроші в
якості передоплати за товар, який він і не збирався поставити. Знецінені
гроші через деякий термін повертались покупцеві.
Очевидним наслідком принципу зміни цінності грошей у часі є
неправомірність сумування грошових величин, що відносяться до різних
моментів часу, особливо при прийнятті рішень фінансового порядку.
Неправомірне також і безпосереднє порівняння різночасових грошових
величин. Їх порівняння припустиме тільки при приведенні таких сум до
одного моменту часу.
Не менш важливим в фінансовому менеджменті є принцип фінансової
еквівалентності. Під останнім розуміють рівність фінансових зобов’язань
сторін, що беруть участь в операції. Принцип еквівалентності дозволяє
змінювати умови контрактів без порушення прийнятих зобов’язань (тому в
старій фінансовій літературі цей принцип називався умовою
необразливості). Згідно до нього можна змінювати рівень відсоткових
ставок, їх вид, терміни виконання зобов’язань, розподіл платежів у часі
і т. ін., не порушуючи взаємної відповідальності.
Обидва вказані вище принципи не можуть бути реалізовані без того чи
іншого способу нарощення відсотків або дисконтування із застосуванням
певного виду відсоткової ставки.
2. Види потоків платежів та їх основні параметри
Будь-яка фінансово-кредитна операція, інвестиційний проект або
комерційна угода передбачають наявність ряду умов їх виконання, з якими
погоджуються сторони, що приймають участь. До таких умов відносяться
наступні кількісні дані: грошові суми, часові параметри, відсоткові
ставки тощо. Кожна з перерахованих характеристик може бути представлена
найрізноманітнішим чином. Наприклад, платежі можуть бути одноразовими
або в розстрочку, постійними або змінними у часі. Існує близько десяти
видів відсоткових ставок і методів нарахування відсотків. Час
встановлюється у вигляді фіксованих термінів платежів, інтервалів
надходження доходів, моментів погашення заборгованості та ін. У рамках
однієї операції перераховані показники утворюють певну взаємопов’язану
систему, підпорядковану відповідній логіці. У зв’язку з множинністю
параметрів такої системи кінцеві конкретні результати часто неочевидні.
Більш того, зміна значення навіть однієї величини в системі у більшій
або меншій мірі відіб’ється на результатах відповідної операції. Це
зумовлює той факт, що подібні системи можуть і повинні бути об’єктом
застосування кількісного фінансово-управлінського аналізу.
Кількісний фінансовий аналіз застосовується як в умовах визначеності,
так і невизначеності. У першому випадку передбачається, що дані для
аналізу завчасно відомі й фіксовані. Наприклад, при укладенні звичайного
договору комерційної концесії можуть бути однозначно оговорені всі
параметри. Аналіз помітно ускладнюється, коли доводиться враховувати
невизначеність – динаміку грошового ринку (рівень відсоткової ставки,
коливання валютного курсу), поведінку контрагента тощо.
У загальному вигляді під відсотковими грошима (interest) розуміють
абсолютну величину доходу від надання коштів у борг у будь-якій формі:
надання позики, продаж товару в кредит, розміщення грошей на депозитному
рахунку, облік векселю, придбання цінних паперів, операції лізингу,
факторингу, форфейтингу, концесії тощо. Якого б вигляду або походження
не набували б відсотки, це завжди конкретний прояв такої економічної
категорії як позиковий процент.
Рента описується наступними параметрами: член ренти (rent) – розмір
окремого платежу, період ренти (rent period, payment period) – часовий
інтервал між двома послідовними платежами, строк ренти (term) – час від
початку першого періоду ренти до кінця останнього, відсоткова ставка.
За кількістю виплат членів ренти протягом року ренти поділяються на
річні (виплата раз на рік) та p-строкові (p – кількість виплат на рік).
При аналізі виробничих інвестицій іноді застосовують ренти з періодами,
що перевищують рік. За кількістю разів нарахування відсотків протягом
року розрізняють: ренти з щорічним нарахуванням, з нарахуванням m разів
на рік, з неперервним нарахуванням. Моменти нарахування відсотків
необов’язково співпадають з моментами виплат членів ренти. Однак
розрахунки помітно спрощуються, якщо два вказаних моменти збігаються.
За ймовірністю виплат ренти поділяються на безспірні (certain) та умовні
(contingent). Безспірні ренти підлягають безумовній сплаті; число членів
такої ренти завчасно відоме. В свою чергу, сплата умовної ренти
ставиться у залежність від настання певного випадку; число її членів
завчасно невідоме. За кількістю членів розрізняють ренти з кінцевим
числом членів, або обмежені ренти (їх термін завчасно обумовлено), та
безкінечні, або вічні ренти (perpetuity). З вічною рентою стикаються на
практиці в низці довгострокових операцій, коли передбачається, що період
функціонування аналізованої системи або строк операції вельми тривалий і
не оговорений конкретними датами. В якості вічної ренти іноді логічно
розглядати й сплату роялті за більшістю концесійних угод і договорів
типу ВОТ, з огляду на їх довгостроковий характер.
За співвідношенням початку строку ренти і деякого моменту часу, що
попереджує початок ренти (наприклад, початок дії контракту або дата його
укладення), ренти поділяють на негайні та відстрочені (deferred).
Приклад відстроченої ренти: погашення боргу в розстрочку після
пільгового періоду. Дуже важливою є відмінність за моментом сплати
платежів у межах періоду ренти. Якщо платежі здійснюються наприкінці цих
періодів, то відповідні ренти називають звичайними або постнумерандо;
якщо платежі проводяться на початку періодів, їх відповідно називають
пренумерандо. Іноді контракти передбачають платежі і надходження коштів
у середині періодів.
Для нарахування відсотків можна застосовувати постійну базу нарахування
та послідовно змінювану (прості і складні відсоткові ставки). Важливим є
вибір принципу розрахунку відсоткових коштів: від сучасного до
майбутнього і, навпаки, від майбутнього до сучасного (ставки нарощування
і дисконтні ставки). У фінансовій літературі відсотки, одержані за
ставкою нарощування, прийнято називати декурсивними, за обліковою
ставкою – антисипативними. Ставки можна також розділити на фіксовані та
плаваючі (floating).
У практичних розрахунках застосовують, так звані, дискретні відсотки,
тобто відсотки, що нараховуються за фіксовані інтервали часу (рік,
півріччя і т.п.). Інакше кажучи, час розглядається як дискретна змінна.
В деяких випадках – у доказах і аналітичних фінансових розрахунках,
пов’язаних з процесами, котрі можна розглядати як неперервні, у
загальних теоретичних розробках і значно рідше на практиці – виникає
необхідність у застосуванні неперервних відсотків (continuous interest),
коли нарощування або дисконтування проводиться безперервно, за
безкінечно малі проміжки часу.
У переважній кількості практичних випадків аналіз потоку платежів
передбачає розрахунок однієї з двох узагальнюючих характеристик:
нарощеної суми або сучасної вартості потоку. Нарощена сума (amount of
cash flows) – сума всіх членів потоку платежів із нарахованими на них до
кінця строку відсотками. Під сучасною вартістю потоку платежів (present
value of cash flows) розуміють суму всіх його членів, дисконтова них на
початок строку ренти або деяких попередній момент часу. (В старій
російській фінансовій літературі аналогічний за змістом показник
називався справжньою ціною платежів.)
Нарощена сума може представляти собою загальну суму накопленої
заборгованості до кінця терміну, кінцевий об’єм інвестицій, накоплений
грошовий резерв і т. ін.. У свою чергу, сучасна вартість характеризує
приведені до початку здійснення проекту інвестиційні витрати, сумарний
капіталізований дохід або чистий приведений прибуток від реалізації
проекту тощо.
Як було показано вище, фінансова рента описується набором основних
параметрів: R – член ренти, n – строк дії угоди, і – відсоткова ставка,
– та додатковими параметрами p, m. Однак, при розробці контрактів і умов
операції можуть виникнути випадки, коли задається одна з двох
узагальнюючих характеристик: S – нарощена сума грошових потоків (сума в
кінці строку), або A – сучасна вартість майбутніх потоків коштів, – і
необхідно розрахувати значення невідомого параметру.
Розглянемо загальну постановку задачі. Припустимо, є ряд платежів Rt,
які сплачуються через час nt після деякого початкового моменту.
Загальний строк виплат – п років. Необхідно визначити нарощену на кінець
строку потоку платежів суму. Якщо відсотки нараховуються раз на рік за
складною ставкою і, то, позначивши величину, яку шукаємо, через S,
одержимо:
Сучасну вартість такого потоку також знаходимо прямим рахунком як суму
дисконтова них платежів:
,
– дисконтний множник за ставкою і.
Також поширеною задачею є визначення розміру члена ренти. Якщо рента
річна, постнумерандо, з щорічним нарахуванням відсотків, то:
Не науч
Нехай тепер умовами договору задано сучасну вартість ренти. Якщо рента
річна (m=1), то випливає, що:
yt?/?
Відомо, що принц Чарльз при розлученні з Діаною сплатив останній 17
млн. ф. ст.. Як повідомляли, ця сума було визначена у розрахунку на те,
що принцеса проживе ще 50 років (нажаль, це не збулось). Вказану суму
можна розглядати як сучасну вартість постійної ренти. Визначимо розмір
члена цієї ренти за умови, що відсоткова ставка дорівнює 10%, а виплати
проводяться щомісячно.
За умовами задачі, А = 17000 тис. ф. ст., n = 50, р = 12, і = 10%. Для
ренти постнумерандо зі вказаними параметрами можна записати наступну
рівність:
тис. ф. ст.
Дещо іншого вигляду набудуть вказані залежності, якщо розглядати „вічну
ренту”, під якою розуміють ряд платежів, кількість яких не обмежено –
теоретично вона сплачується на протязі нескінченної кількості років. На
практиці іноді стикаються з випадками, коли є сенс удатися до такої
абстракції, наприклад, якщо припущено, що строк потоку платежів дуже
великий і конкретно не оговорений. Очевидно, що нарощена вартість вічної
ренти дорівнює нескінченно великій величині. На перший погляд видається
нонсенсом і визначення сучасної вартості такої ренти. Однак сучасна
вартість вічної ренти є кінцевою величиною.
При n?? лімітом для коефіцієнта приведення є величина:
Звідси для вічної ренти сучасна вартість залежить тільки від розміру
члена ренти і відсоткової ставки. З (2.7) випливає:
Нехай необхідно викупити вічну ренту, член якої рівний 5 млн. грн., що
сплачуються в кінці кожного півріччя. Капіталізована вартість такої
ренти за умови, що для її визначення застосовано річну ставку 25%,
складе:
млн. грн..
При розробці умов контракту іноді виникає необхідність у визначенні
строку ренти, і, відповідно, кількості членів ренти. Визначено наступні
формули для розрахунку строку постійних рент:
Таблиця 1.
Порядок розрахунку термінів постійних рент постнумерандо
Який необхідний строк для накоплення 100 млн. грн., за умови, що
щомісяця вноситься по 1 млн. грн., а на накопичення нараховуються
відсотки за ставкою 25% річних?
Маємо р = 12, і = 25%. Отже:
роки
В аналізі виробничих фінансових проектів іноді зустрічаються ренти,
члени яких сплачуються з інтервалами, що перевищують рік. Визначимо
нарощену суму і сучасну вартість таких рент.
Нехай r – часовий інтервал між двома членами ренти, відсотки
нараховуються раз на рік. В цьому випадку сучасна вартість першого
платежу складе на початок ренти величину Tvr, другого – Tv2r, останнього
– Tvп, де Т – величина члена ренти, п – строк ренти, кратний r.
Послідовність дисконтованих платежів представляє собою геометричну
прогресію з першим членом Tvr, знаменником vr і кількістю членів п/р.
Сума членів такої прогресії за умови, що Т = 1, дорівнює:
Звісно, вказане у формулі співвідношення коефіцієнтів приведення і
нарощення можна використовувати у випадках, коли r – ціла кількість
років.
Порівнюються два варіанти будівництва деякого об’єкта. Перший потребує
разових вкладень у сумі 6 млн. грн. і капітального ремонту вартістю 0,8
млн. грн. кожні 5 років. Для другого витрати на створення рівні 7 млн.
грн., на капітальний ремонт – 0,4 млн. грн. кожні 10 років. Часовий
горизонт, що враховується у розрахунку, – 50 років.
Капіталізована сума витрат за умови, що і = 10%, оцінюється для кожного
варіанта у наступних розмірах:
млн. грн.,
млн. грн..
Таким чином, у фінансовому відношенні варіанти виявляються рівноцінними
при прийнятому рівні відсоткової ставки. Чим ставка вища, тим менше
впливають на результат витрати на ремонт. Так, якщо порівняння
проводиться за ставкою 20%, то одержимо А1 = 6,39; А2 = 7,05.
3. Методи урахування податків і інфляції
У розглянутих вище методах визначення нарощеної суми не враховувались
такі важливі моменти як податки й інфляція. Розглянемо цю проблему.
У ряді країн одержані (юридичними, а іноді й фізичними особами) відсотки
обкладаються податком, що, природно, зменшує реальну нарощену суму і
доходність операції.
Позначимо нарощену суму до сплати податків через S, а з урахуванням їх
сплати як S/. Нехай ставка податку на відсотки дорівнює g, а загальна
сума податку G.
При нарахуванні простих відсотків за весь рік знаходимо:
. Розмір податку пропорційний строку. Перейдемо до довгострокових
операцій зі складними відсотками:
Нехай ставка податку на відсотки дорівнює 10%. Відсоткова ставка – 30%
річних, строк нарахування відсотків – 3 роки. Першочергова сума позики
1000 тис. грн.. Визначимо розміри податку при нарахуванні простих і
складних відсотків.
При нарахуванні простих відсотків одержимо наступні показники:
1900 тис. грн. без сплати податку,
S/ = 1000(1+3(1-0,1)0,3) = 1810 тис. грн. з урахуванням сплати податку.
Нарахуємо тепер складні відсотки:
2197 тис. грн. без сплати податку,
S/ = 1000((1-0,1)(1+0,3)3+0,1) = 2077,3 тис. рн.. з урахуванням сплати
податку.
У розглянутих вище методах нарощення всі грошові величини вимірювались
за номіналом. Інакше кажучи, не приймалось до уваги зниження реальної
купівельної спроможності грошей за період, який охоплює операція. Однак
у сучасних умовах інфляція у грошових відносинах відіграє помітну роль,
і без її урахування кінцеві результати часто представляють собою умовну
величину.
Інфляцію необхідно враховувати по крайній мірі в двох випадках: при
розрахунку нарощеної суми грошей і при зміні реальної ефективності
(доходності) фінансової операції.
Неважко зв’язати індекс цін і темп інфляції. Під темпом інфляції h
розуміють відносний приріст цін за період (звичайно він вимірюється у
відсотках):
,
– індекс цін.
Інфляція є ланцюговим процесом. Отже, індекс цін за декілька періодів
рівний добутку ланцюгових індексів цін:
,
– темп інфляції в періоді t.
Нехай тепер мова йде про майбутнє. Якщо h – постійний очікуваний (або
прогнозований) темп інфляції за один період, то за п таких періодів
отримаємо:
.
Грубою помилкою, яка, нажаль, зустрічається у вітчизняній практиці, є
сумування темпів інфляції окремих періодів для одержання узагальнюючого
показника інфляції за весь термін. Що, відмітимо, суттєво занижує
величину одержаного показника.
Постійний темп інфляції на рівні 5% на місяць призводить до зростання
цін за рік у розмірі 1,0512=1,796.
Таким чином, дійсний річний темп інфляції рівний 79,6%, а не 60% як при
сумуванні.
Продовжимо приклад. Нехай прирости цін за 3 місяці склали: 1,5; 1,2 та
0,5%.
Індекс цін за три місяці рівний 1,015*1,012*1,005=1,0323.
Темп інфляції за три місяці – 3,23%.
Повернемось до проблеми знецінення грошей при їх нарощенні. Якщо
нарощення відбувається за простою ставкою, то нарощена сума з
урахуванням купівельної спроможності рівна:
.
На суму 1,5 млн. грн. на протязі трьох місяців нараховуються прості
відсотки за ставкою 28% річних, нарощена сума, отже, рівна 1,605 млн.
грн.. Щомісячна інфляція характеризується темпами 2,5; 2,0 і 1,8%.
Індекс цін рівний 1,025*1,02*1,018=1,06432.
З урахуванням знецінення нарощена сума складе: 1,605/1,06432=1,508 млн.
грн..
Звернемось тепер до нарощення за складними відсотками. Нарощена сума з
урахуванням інфляційного знецінення знаходиться як:
.
Очевидно, що при нарахуванні простих відсотків ставка, яка компенсує
вплив інфляції, відповідає величині:
.
Ставку, що перевищує критичне значення і/ (при нарахуванні складних
відсотків i/=h), називають позитивною ставкою відсотку.
Власники коштів, звісно, не можуть змиритись із їх інфляційним
знеціненням і здійснюють різні спроби компенсації втрат.
Найбільш розповсюдженим є коригування ставки відсотку, за яким
відбувається нарощення, тобто збільшення ставки на величину так званої
інфляційної премії. Підсумкову величину можна назвати брутто-ставкою.
4. Криві доходності інвестицій
Як ми вже зазначали, відсоткова ставка є вимірником доходності
фінансової операції. Її значення залежить від багатьох факторів. Для
практика важливо уявити собі закономірність зміни величини доходності
(або відсоткових ставок, що використовуються в однорідних за складом
операціях), в залежності від деяких фундаментальних факторів. Імовірно,
найбільш важливим з них є ризик неповернення вкладених коштів. Очевидно
також, що подібного роду ризик суттєво залежить від строку позики. Так,
при інших рівних умовах позика на 5 років більш ризикована, ніж,
скажімо, на 2 роки. Компенсувати ризик власникові коштів може підвищення
очікуваної доходності, договірної відсоткової ставки. Таким чином,
залежність «доходність-ризик» приблизьмо можна охарактеризувати за
допомогою залежності «доходність-строк», одержати яку для практичних
цілей суттєво простіше.
Таку залежність, представлену у вигляді графіку, називають кривою
доходності інвестицій (yield curve). На графіці по вертикалі відкладають
доходність (Y), по горизонталі – строк (n). Якщо графік охоплює широкий
діапазон строків (як короткострокові, так і довгострокові операції), що
теж практикується, то для виміру строку застосовують логарифмічну шкалу.
Рис. 5. Приклади кривої доходності інвестицій
Криві доходності звичайно будують окремо для коротко-, середньо- та
довгострокових операцій і однорідних фінансових інструментів. Значення
доходності, що спостерігаються, звичайно знаходяться близько кривої або
безпосередньо на ній. Конкретна крива доходності відповідає реальній
ситуації, що склалася на фінансовому ринку, і характерна для короткого
часового періоду. Зміна ситуації змінює форму кривої та її положення на
графіку. У ряді західних періодичних фінансових видань регулярно
наводяться такі криві.
Для нормальних економічних умов крива доходності інвестицій має форму
кривої А: доходність тут зростає по мірі збільшення строку. Причому
кожна наступна одиниця приросту строку дає все менше збільшення
доходності. Таку криву називають позитивною, або нормальною кривою
доходності. Нормальна форма кривої спостерігається в умовах, коли
інвестори в своїй масі враховують такі фактори, як зростання
невизначеності фінансових результатів (ризику) при збільшенні строку.
Крива доходності, близька до горизонтальної прямої (лінія Б), вказує на
те, що інвестори не приймають до уваги або в малому ступені враховують
ризик, пов’язаний зі строком.
Іноді зустрічаються «негативні» (В) і «згорблені» (Г) криві доходності
інвестицій. Перша з названих кривих відповідає зменшенню доходності
фінансового інструмента по мірі зростання строку (висока нестабільність
ринку, очікування підвищення відсоткових ставок), друга – падінню
доходності після деякого її зростання.
Існують декілька конкуруючих або, скоріше, доповнюючи теорій, що
пояснюють закономірності «поведінки» кривих доходності. Зупинимося на
двох з них: теорії ліквідності і теорії очікувань. Згідно з першою,
зміни доходності пов’язуються зі збільшенням ризику ліквідності
інвестицій у відносно короткі строки. Друга зі згаданих теорій
стверджує, що форма кривої може розглядатись як узагальнена
характеристика очікувань інвесторів, точніше, їх поведінки в поточний
момент у зв’язку з очікуваннями змін відсоткових ставок у майбутньому.
Однак інтерпретація форми кривої в цьому плані неоднозначна, та й не
може бути іншою, оскільки доводиться приймати до уваги по крайній мірі
дію двох факторів: ризик і очікування зміни ставок. Наприклад, позитивна
крива може інтерпретуватись як вказівка на те, що інвестори очікують
зростання ставок у майбутньому. Іноді ця ж форма кривої вважається
симптомом відносної стабільності фінансового ринку.
Криві доходності одержали широке розповсюдження як інструмент аналізу,
що допомагає при вирішення низки фінансових проблем, а саме, при
порівнянні доходності декількох фінансових інструментів, коригуванні
портфелю активів тощо.
Cartledge P. Financial arithmetic. А practioners guide. Euromoney
Books, 1993
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
