Реферат на тему:

Системи лінійних рівнянь

Запишемо систему рівнянь у матричному вигляді

АХ = В, (3.32)

де

Матриця А є квадратною порядку n; вектор-стовпець Х має розмір n ( 1;
вектор-стовпець В — порядок n ( 1.

, то система лінійних рівнянь (3.32) має єдиний розв’язок виду

(3.33)

Приклад 3.5. Знайти розв’язок системи

У матричному виді:

AX = B;

отже,

.

= –2 – 15 = –17 — матриця невироджена.

.

.

Отже,

= 3.

Розглянемо однорідну систему лінійних рівнянь:

АХ = 0 (3.34)

Нехай А — квадратна матриця n-го порядку; Х — вектор-стовпець розміру
n ( 1.

. Нетривіальний розв’язок може існувати лише за умови, що визначник
матриці А дорівнює нулю:

Коли це так, то система матиме безліч розв’язків. Їх можна нормувати,
вимагаючи, наприклад, щоб виконувалася рівність

(3.35)

Приклад 3.6. Знайти нетривіальні розв’язки однорідної системи рівнянь.

(3.36)

, це означає, що задана система має нетривіальні розв’язки.

Матрицю А можна записати як систему трьох векторів:

:

(3.37)

:

(3.38)

Характеристичні (власні) корені

і власні вектори матриць

Розглянемо систему рівнянь

(3.39)

— скаляр; А — квадратна матриця порядку n, X — розміром n ( 1.

Систему (3.39) запишемо у вигляді

або

(3.40)

Остання система n рівнянь з n невідомими має нетривіальний розв’язок,
коли

(3.41)

називають характеристичним рівнянням матриці А.

Корені цього рівняння ( є характеристичними коренями (характеристичними
числами, власними значеннями) матриці А.

характеристичного рівняння (3.41) і підставимо в систему рівнянь
(3.40). Дістанемо рівняння

(3.42)

.

.

Якщо матриця А має n різних характеристичних коренів, то припускатимемо,
що вона має і n різних власних векторів (задачі, які мають кратні
характеристичні корені, в економіці зустрічаються рідко).

Власні вектори визначаються з точністю до множення на скаляр. Це не
завжди зручно. Тому часто розглядають нормовані власні вектори, тобто
такі що:

.

), а Х — матриця, кожний стовпець якої є власним вектором цієї матриці,
то добуток

(3.43)

перетворює матрицю А на діагональну матрицю, яка має характеристичні
корені ( на головній діагоналі.

Приклад 3.7. Знайти характеристичні корені матриці А.

або

(3.44)

для системи (3.44):

(3.45)

Отже,

. (3.46)

і характеристичні корені цієї матриці

. (3.47)

в систему (3.44), знайдемо власні вектори X1, X2 матриці А.

і власні вектори X1, X2 матриці А:

.

застосуємо (3.47):

систему рівнянь (3.44).

тоді

(3.48)

, зводячи його довжину до 1, тобто:

(3.49)

Підставимо (3.48) в (3.49):

Власний вектор

(3.50)

.

Система (3.44) запишеться у вигляді

(3.51)

, звівши його довжину до 1, тобто:

(3.52)

Підставивши (3.52) у (3.51), дістанемо:

Власний вектор

(3.53)

, то власні вектори X1 і X2 ортогональні, тобто лінійно незалежні:

Перевіримо, чи виконується (3.43):

. Це підтверджує правильність наведених обчислень.

Квадратичні форми

Означення квадратичної форми

називається сума, кожний доданок якої є квадратом одного з цих
невідомих або добутком двох різних невідомих:

(3.54)

:

, A — симетрична матриця.

Розглянемо, наприклад, два випадки.

. Тоді квадратична форма

2. Матриця А діагональна, тобто

У такому разі

— вагова сума квадратів.

.

для всіх Х.

Запам’ятайте важливу властивість додатно визначених матриць.

додатні, а саме:

(3.55)

Рівняння (3.55) можемо пристосувати для знаходження іншого результату,
який корисний при вивченні узагальненого методу найменших квадратів.

додатні, можемо задати діагональну матрицю D такого виду:

(3.56)

Неважко побачити, що добуток (3.55) на матрицю D ліворуч і праворуч дає
одиничну матрицю:

(3.57)

Нехай Z = XD, тоді

(3.58)

Оскільки матриці Х і D — невироджені, то Z — також невироджена.
Виконавши відповідні перетворення, дістанемо:

(3.59)

.

Випадкові квадратичні форми

Нехай d — випадковий вектор, А — детермінована симетрична матриця.

і математичне сподівання M (d) = 0.

, дістанемо:

(3.60)

де tr (A) — слід матриці А.

Наведемо властивості випадкової квадратичної форми.

) і rgA = trA = k .

— незалежні.

— симетрична матриця, то слід матриці А є сумою її власних значень

4. Усі власні значення ідемпотентної матриці А дорівнюють нулю або
одиниці, а саме:

.

) — квадратна симетрична невироджена матриця.

;

,

— невироджена.

.

Визначимо нову матрицю А так:

.

. Зауважимо, що ранг матриці А дорівнює 1.

 = 0 кратності 2, що ілюструє виконання властивості 4.

Диференціювання функції багатьох змінних

(градієнт функціі f (x) )

^

 

i

gdUYO

?????Т??i

B R a i

?

$

gdUYO

$

$

„T`„Ta$gdUYO

gdUYO

gdUYO

$

gdUYO

$

$

AE

$

a$gdUYO

gdUYO

???????????O

@[email protected]

gdUYO

$

$

$

$a$gdUYO

$

gdUYO

„T`„Ta$gdUYO

$

gdUYO

„T`„Ta$gdUYO

.

) називається вектор, який складається з частинних похідних функції
f (x) за x1, x2 … xn:

(3.61)

.

Тоді

.

Отже, градієнт функції

. (3.62)

, градієнт можна визначити як

. (3.63)

— n-вимірна матриця-стовпець. Функцію такого типу визначають як
квадратичну форму (див.підрозділ. 3.9).

як скалярний добуток:

(3.64)

.

Знайдемо компоненти вектора-градієнта.

Перший компонент

.

другий компонент:

n-й компонент:

має вигляд

(3.65)

Отже, скорочено

(3.66)

висновки

1. Матрицею називається таблиця чисел, яка складається з m рядків і n
стовпців:

2. Кількість рядків і стовпців матриці визначає її розміпр m ( n.

, то матриця — прямокутна; якщо m = n — матриця квадратна порядку n
(або m ).

4. Якщо матриця має один стовпець або рядок, то її називають відповідно:
матрицею-стовпцем або матрицею-рядком. Загалом такі матриці називають
векторами, а саме:

5. Якщо матриця А має всі нульові елементи, то вона є нульовою:

6. Квадратна матриця, усі елементи якої, крім елементів головної
діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною:

7. Якщо в діагональній матриці по головній діагоналі стоять одиниці, а
саме

то така матриця називається одиничною n-го порядку.

поміняти місцями елементи рядків на відповідні елементи стовпців (або
навпаки), то дістанемо транспоновану матрицю

.

.

11. Матриця будь-якого порядку А може бути помножена на скаляр (:

При множенні матриці А на скаляр виконуються такі закони:

і-го рядка на відповідні елементи j-го стовпця:

13. При множенні матриць справджуються такі закони:

;

б) (АВ)С = А(ВС);

в) (А + В)С = АС + ВС;

г) С(А + В) = СА + СВ;

е) АE = EA = A;

дає скаляр

, то

і

, називається ідемпотентною.

16. Кожна матриця має скалярну характеристику — ранг матриці. Рангом
називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів-стовпців
(рядків) матриці А. Існує й інше означення: найвищий порядок мінора
матриці А, який відрізняється від нуля:

m, n – кількість відповідно рядків і стовпців матриці А.

17. Якщо rgA = min(m,n), то матриця А має повний ранг. Для рангу
виконуються такі співвідношення:

;

A = rgA;

min(rgA, rgB).

= n .

18. Для квадратної матриці існують також скалярні характеристики: слід
матриці і її визначник (детермінант).

Слідом матриці розмірности (n ( n) є сума елементів, що містяться на її
головній діагоналі, тобто

Для сліду виконуються такі співвідношення:

(А і В — матриці однакового порядку);

в) tr(AB) = tr(BA);

(коли А — симетрична);

19. Детермінантом (визначником) квадратної матриці А n-го порядку
називається алгебраїчна сума членів, кожний з яких містить n
співмножників, узятих по одному і лише по одному з кожного рядка
(стовпця) визначника. Позначається:

.

.

, де і — номер рядка,

, називається алгебраїчним доповненням цього елемента, а саме:

22. Визначник дорівнює сумі попарних добутків елементів будь-якого
стовпця (рядка) на їх відповідні алгебраїчні доповнення:

, називається невиродженою. Кожна невироджена матриця має єдину
обернену матрицю, для якої виконується:

Обернена матриця знаходиться з виразу

де J — приєднaна матриця.

24. Основні властивості оберненої матриці:

;

;

;

;

;

.

, називається ортогональною.

26. Матриці, в яких елементами є окремі підматриці, називаються
блоковими:

Розбиваючи матрицю на підматриці, слід додержувати таких правил:

— повинні мати однакову кількість рядків;

— повинні мати однакову кількість стовпців.

27. При додаванні (відніманні) блокових матриць, має насамперед
виконуватись умова, що порядок відповідних матриць-доданків однаковий.

При множенні двох блокових матриць кількість стовпців першої матриці має
дорівнювати кількості рядків другої матриці. З блоковими матрицями
операцію множення виконують за тими самими правилами, що й зі звичайними
матрицями.

.

.

29. Обернену блокову матрицю знаходимо за формулою Фробеніуса:

, (3.27)

30. Детермінант блокової матриці А

31. Система лінійних рівнянь в матричному вигляді записується АХ = В, дe

Якщо А — невироджена матриця, то розв’язок системи АХ = В знаходиться як

.

Останнє рівняння називають характеристичним рівнянням матриці А.

є характеристичними коренями (характеристичними числами, власними
значеннями) матриці А.

, називаються власними векторами матриці А. Добуток

де Х — матриця власних векторів А;

— характеристичні корені матриці А.

записується у вигляді:

У векторно-матричному запису квадратичну форму можна подати так:

,

, А — симетрична матриця.

— називається випадковою квадратичною формою. Для випадкової
квадратичної форми

— симетрична матриця, то слід матриці А є сумою її власних значень:

є ідемпотентна, причому ранг її дорівнює 1.

38. Градієнтом функції f (x), коли x = (x1, x2 … xn) є вектор

.

, то градієнт її

.

.

ЛІТЕРАТУРА

Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980.

Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и
статистика, 1986.

Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12.

Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое
моделирование. –– М., 1975.

Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975.

Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964.

Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971.

Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы
математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962.

Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып.
1,2.

Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975.

Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в
эконометрии. –– М., 1979.

Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964.

Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978.

Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд.

Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States,
1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964.

PAGE

Похожие записи