Реферат на тему:

“Поняття математичної моделі”

1. Поняття математичної моделі

Предметом економетричних досліджень є економічні процеси на різних
рівнях:

— макроекономічному рівні

— рівні господарських комплексів

— рівні областей

— рівні районів

— рівні окремих підприємств

Особливість економетрії – це широке застосування математики до вивчення
економіки. Використання математичних методів підвищує ефективність
економічного аналізу за рахунок постановки і розв’язку багатовимірних,
багатофакторних задач, які традиційними методами обробки економічної
інформації не розв’язуються.

Моделювання – це науковий метод, заснований на розробці і дослідженні
моделей явищ різної природи.

Модель – це матеріальний або уявний об’єкт, який в процесі дослідження
замінює об’єкт-оригінал. Модель повинна відтворювати найбільш характерні
ознаки досліджуваної системи, в ній відображаються як елементи системи
так і зв’язки між ними.

Моделі можуть бути представлені у вигляді макетів, механічних пристроїв,
рисунків, графіків, формул.

Для вивчення економічних систем використовуються економіко-математичні
моделі, тобто системи математичних співвідношень, що описують
досліджуваний процес чи явище. Вони й називаються економетричними, а
процес їх побудови – економетричне моделювання.

В ході моделювання виділяють етапи:

1) Вивчення та опис економічної суті задачі.

2) Розробка математичної моделі і одержання на її основі відповідного
рішення.

3) Перевірка адекватності розробленої моделі реальній дійсності.

4) Коректування моделі в разі недостатньої відповідності реальній.
дійсності

5) Реалізація рішення.

Особливості економічних моделей:

· Від моменту розробки економічної моделі до моменту перевірки
адекватності мусить пройти значний час.

· складність визначення критерію оптимальності в ряді економічних задач;

· динамічний характер економічних процесів;

· складність вимірювання багатьох економічних явищ і одержання
достовірної інформації для наповнення розроблених моделей;

· на економічні процеси діє багато суб’єктивних факторів і коли
моделюються економічні процеси, то ці фактори впливають на поведінку
трудових ресурсів.

Всі економічно-математичні моделі можна поділити на:

— детерміновані

— стохастичні

Детерміновані – описують строгу залежність показників від факторів, що
на них впливають. Ця залежність є повною і визначеною, тобто така модель
являє собою формулу, підставивши в яку значення факторів одержимо
конкретне значення узагальнюючого показника, що аналізується. Прикладом
детермінованої моделі може бути закон Ома.

Стохастичні – описують залежність, що носить ймовірнісний характер. Вона
проявляється взагалі та в середньому, лише при великій кількості
спостережень і може не виконуватись в кожному конкретному випадку.
Приклад стохастичної моделі – залежність продуктивності праці від
електроозброєнності працівника. Ця модель не бере до уваги всіх
факторів, що можуть впливати на продуктивність праці.

Етапи проведення економетричного аналізу

У стислому вигляді економетричний аналіз складається з таких етапів.

1. Формулювання теорії чи гіпотези.

2. Розробка економетричної моделі для перевірки цієї теорії.

3. Оцінка параметрів обраної моделі.

4. Перевірка моделі, статистичні висновки.

5. Прогнозування на основі отриманої моделі.

6. Застосування моделі (для контролю тощо).

Розглянемо більш детально деякі з цих етапів окремо на прикладі відомої
кейнсіанської теорії споживання.

Формулювання теорії

Кейнс стверджував: «Фундаментальний психологічний закон…полягає в
тому, що особа, як правило, збільшує споживання при зростанні доходів,
але не на ту ж саму величину, на яку збільшується її доход». Коротше
кажучи, Кейнс вважав, що гранична схильність до споживання (МРС) є
величиною зміни доходу (від 0 до 1) при зміні споживання на одиницю
(скажімо, на 1 долар).

Розробка моделі

Хоча Кейнс підкреслював позитивну залежність між споживанням та доходом,
він не визначив чіткого функціонального зв’язку між цими двома
параметрами. Для спрощення економетрист може запропонувати таку форму
кейнсіанської функції споживання:

 (тангенс кута нахилу) дорівнює граничній схильності до споживання МРС.

Модель (1), що показує лінійну залежність споживання від доходу, є
прикладом економетричної моделі. Якщо модель складається лише з одного
рівняння, як у попередньому прикладі, то вона називається простою, або
моделлю з одним рівнянням, а якщо модель містить більше одного рівняння,
то ми маємо справу зі складною моделлю, або моделлю багатьох рівнянь.

Використання моделі для аналізу

Припустимо, що економіст-урядовець оцінює кейнсіанську функцію
споживання і отримує такі результати:

У = 5.0 + 0.7х

де y – витрати на споживання; x – доход у мільярдах гривень. Припустимо,
уряд вважає, що витрати на суму 1060 мільярдів гривень утримують
безробіття на низькому рівні, скажімо, 5%. Який рівень доходу
гарантуватиме саме таку кількість витрат на споживання? Припускаємо, що
модель (3) дійсна, тоді нескладні арифметичні підрахунки покажуть:

1060 = 5.0 + 0.7x  чи  x = 1055/0.7 = 1507.

Тобто доход на суму 1507 мільярдів гривень при даній МРС = 0.7 спонукає
до витрат на суму 1060 мільярдів гривень.

Як показують обчислення на найпростішому умовному рівні, досліджувана
модель може використовуватись для аналізу та досягнення різних
політичних цілей. Завдяки відповідній податковій чи кредитно-грошовій
політиці уряд може контролювати змінну х чи маніпулювати нею, щоб
створити бажаний рівень доходу y.

Можна виділити 5 основних принципів економетричного моделювання.

По-перше, модель має бути специфікована, тобто треба, щоб усі
функціональні зв’язки входили до неї у явному вигляді. До цього
економетрика може дійти шляхом від простого до складного: почавши з
найпростіших функцій, вводити та перевіряти різні гіпотези і поступово
ускладнювати характер функціональних зв’язків виходячи з реальних даних.

По-друге, завданням економетрики є вибір означення та виміру змінних,
які входять до моделі.

По-третє, необхідно оцінити всі невідомі параметри моделей та
розрахувати інтервали довіри (інтервали, до яких із заданим ступенем
імовірності потраплятиме обчислювана величина).

По-четверте, необхідно оцінити якість побудованих моделей за допомогою
різних тестів та критеріїв. Це допомагає остаточно вирішити питання, чи
треба змінювати початкове обрану модель, та деякі теоретичні припущення.
Якщо така зміна необхідна, то треба проводити нові розрахунки і нове
тестування.

По-п’яте, маючи остаточну модель, необхідно провести глибокий аналіз
результатів, які планується використовувати на практиці для прийняття
рішень.

Система. Системний підхід в економетричному моделюванні

Об’єктами економіко-математичних досліджень є виробничі господарства,
соціально-економічні системи в яких протікають процеси перетворення
матеріальних та інформаційних потоків.

Система – це сукупність взаємопов’язаних елементів, що утворюють єдине
ціле, спрямоване на досягнення єдиної мети.

Будь-яка система існує в певному середовищі. Дія цього середовища на
систему здійснюється через деякі фактори – екзогенні величини.

Елементи системи, через які діють зовнішні фактори називають входами
системи.

Система не є нейтрального по відношенню до середовища. Її дія на
зовнішнє середовище характеризується значенням вихідних або ендогенних
величин.

Будь-який виробничий процес можна розглядати як систему, елементами якої
є люди, верстати, документація.

Вхідними величинами є сировина, матеріали, енергія, а вихідними – готова
продукція, відходи.

Дослідження великої системи проводять за допомогою декомпозиції, тобто
розбиття системи на підсистеми, які в свою чергу є повноцінними і при
потребі знову можуть бути розбиті на системи нижчого рівня. Таким чином
утворюється ієрархія систем.

Для вивчення системи потрібно з’ясувати її найважливіші характеристики:
функцію, мету або призначення і структуру.

Функція системи – дія системи, яка виражається через зміну її можливих
станів. Функція виробничого процесу полягає у виробництві продукції
шляхом перетворення матеріальних і енергетичних потоків, що надходять із
зовнішнього середовища. Виконання функцій (функціонування) означає
еволюційний перехід з одного в інший можливий стан.

Множина можливих станів системи визначається кількістю її елементів, її
властивостями і різноманітністю зв’язків між ними.

Призначення системи або мета – це певне бажане, задане зовні чи
встановлене самою системою значення функції цієї системи.

Структура системи залежить від величини і складності.

Величина системи характеризується кількістю елементів і зв’язків між
ними.

Складність – різноманітністю властивостей елементів та зв’язків між
ними. Великим складним системам властиві: цілісність та емерджентність.

Емерджентність – це здатність системи мати такі властивості, яких не має
жоден із елементів, з яких вона складається.

Науковою основою для аналізу і ефективного управління системами є
системний підхід. Він являє собою сукупність методологічних принципів і
положень, що дозволяють розглядати систему як єдине ціле. Він передбачає
вивчення кожного елемента системи, його взаємозв’язку і взаємодії з
іншими, дозволяє виявити специфічні системні емерджентні властивості.

Стосовно економічних процесів системний підхід полягає в тому, що кожна
виробнича організація є системою, яка складається з підсистем, кожна з
яких має свою мету, але досягти спільної мети можна лише тоді, коли
підпорядкувати мету кожної підсистеми одній спільній меті системи.

2. Багатофакторні економетричні моделі

та їх специфікація

У багатьох дослідженнях виявляється, що деяка результативна ознака
змінюється під впливом не одного, а кількох факторів. Зокрема,
аналізуючи економічну діяльність підприємства та прогнозуючи його
подальший розвиток, досліджують такі функції:

1) виробничу функцію, що визначає залежність між обсягом виробленої
продукції та витраченими для цього ресурсами, наприклад основним
капіталом і працею;

2) функцію ціни, що дає змогу дослідити, як зміниться ціна товару, якщо
зміниться обсяг поставок та ціни конкуруючих товарів;

3) функцію попиту, що дає змогу встановити, як зміниться попит на
продукцію, якщо змінюватимуться ціна товару, ціни товарів-конкурентів і
доходи споживачів;

4) функцію витрат, що описує залежність середніх витрат на виробництві
від ціни та кількості виробничих ресурсів;

5) функцію чутливості ринку, яка визначає залежність обсягу збуту
продукції від витрат на рекламу та індексу “чистоти” виробленої
продукції (“екологічного індикатора”);

6) рівняння стратегії підприємства, у якому відображається залежність
рентабельності підприємства від питомої ваги на ринку товарів, подібних
до тих, які виробляє підприємство, а також від якості товарів, витрат на
маркетинг і наукові дослідження, від інвестиційних витрат тощо.

Розглянемо детальніше першу з цих функцій.

Будь-яка виробнича система характеризується залежністю між кількістю
виробленої в ній продукції та спожитими для цього ресурсами. Причому
певні показники цієї залежності мають деякі випадкові коливання.
Залежність між ними, формалізовану у відповідний спосіб у вигляді
регресійного рівняння, називають виробничою функцією.

Якщо виробнича функція відома, то за кількістю спожитих системою
ресурсів можна передбачити кількість виробленої продукції і, навпаки, за
заданою кількістю виробленої продукції можна розрахувати необхідну
кількість відповідних ресурсів.

У реальних системах неможливо врахувати всі можливі фактори, що
впливають на обсяги продукції. Тому розглядають найвизначніші з них і на
підставі спостережень за цими факторами та результатом виробничої
діяльності будують так звану емпіричну виробничу функцію.

Отже, виробнича функція – це економетрична модель, яка кількісно описує
зв’язок основних результативних показників виробничо-господарської
діяльності з факторами, що визначають ці показники.

Виробничі функції можуть мати різні галузі застосування, оскільки
принцип “витрати — випуск”, покладений в основу залежності, може бути
реалізований як на мікроекономічному, так і на макроекономічному рівні.

На мікроекономічному рівні за допомогою таких функцій, наприклад,
описують зв’язок між величиною використаного ресурсу протягом року та
річним обсягом випуску продукції одного підприємства, однієї галузі чи
міжгалузевого виробничого комплексу. Якщо виробничою системою є регіон
чи країна загалом, то маємо виробничу функцію для макроекономічного
рівня.

Приклад. Нехай виробничу функцію задано у вигляді f ( x) = axb, де x —
величина витраченого ресурсу (наприклад, робочого часу), f ( x) — обсяг
випущеної продукції (наприклад, кількість готових виробів). Величини a
та b — параметри виробничої функції f ( x) . Причому a та b — додатні
числа, а b ? 1 . Задана функція f ( x) за малих значень аргументу дає
значний приріст, якщо x збільшується на одиницю; за великих значень
аргументу таке саме збільшення аргументу зумовлює значно менший приріст
функції. Ця властивість f ( x) відбиває фундаментальне положення
економічної теорії, яке називається законом спадної ефективності, а сама
функція є типовим представником однофакторних виробничих функцій.

У реальних ситуаціях обсяг випуску продукції визначається, як правило,
не одним, а багатьма факторами, тому частіше застосовують багаторесурсні
або багатофакторні виробничі функції. Найпошире-нішою серед них є
виробнича функція Кобба — Дугласа, яка описує залежність між обсягом
виробленої продукції Y і витратами праці L та капіталу . :

Y = a. ? L?.

Множник a і показники степеня ? та ? — параметри цієї моделі.

Задана в такому вигляді виробнича функція є мультиплікативною
(нелінійною відносно параметрів). Логарифмуванням її можна звести до
адитивного (лінійного відносно параметрів) вигляду:

ln Y = a + ? ln . + ? ln L .

Зазначена функція має такі властивості:

1) коефіцієнт ? показує, на скільки відсотків зміниться обсяг випуску
продукції, якщо витрати праці зміняться на 1 %, а витрати капіталу
залишаться незмінними. Такий показник називається коефіцієнтом
еластичності випуску за витратами праці;

2) коефіцієнт ? є коефіцієнтом еластичності випуску за витратами
капіталу;

3) сума параметрів ? + ? описує масштаб виробництва.

Якщо ця сума дорівнює одиниці, маємо постійний масштаб виробництва. А це
означає, що зі збільшенням обох виробничих ресурсів на одиницю обсяг
продукції також зросте на одиницю. Якщо сума менша одиниці, то масштаб
виробництва спадний, тобто темпи зростання обсягу продукції нижчі за
темпи зростання обсягу ресурсів.

Якщо сума перевищує одиницю, маємо зростаючий масштаб: темпи зростання
обсягу продукції перевищують темпи зростання обсягу виробничих ресурсів.

Параметр a у функції Кобба — Дугласа залежить від одиниць вимірювання Y,
. та L і також визначається ефективністю виробничого процесу.

Отже, економетрична модель виробничої функції дає змогу про-аналізувати
виробничу діяльність, щоб визначити шляхи підвищення її ефективності.
Обгрунтованість такого аналізу цілковито залежить від достовірності
моделі та її адекватності відповідному реальному процесу.

Вплив багатьох чинників на результативну змінну може бути описаний
лінійною моделлю

y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + … + am xm + u, (3.1)

де y — досліджувана (залежна, пояснювана) змінна, або регресанд;

x1, x2 , …, xm — незалежні, пояснюючі змінні, або регресори;

a1 , a2 , …, am — параметри моделі; u — випадкова складова регресійно-
го рівняння.

Функція (3.1) є лінійною відносно незалежних змінних і параметрів
моделі, але саме лінійність за параметрами є більш суттєвою, оскільки це
пов’язано з методами оцінювання параметрів. Випадкова складова u є
результативною дією всіх неконтрольованих випадкових факторів, що
зумовлюють відхилення реальних значень досліджуваного показника y від
аналітичних (обчислених на підставі обраної регресійної залежності).

Зрозуміло, що лінійні зв’язки не вичерпують усіх можливих форм
залежності між показниками. Тому при дослідженні конкретного
економічного явища першочерговим завданням є пошук найточнішої
аналітичної форми опису статистичного зв’язку між його показниками.
Певна форма залежності повинна мати відповідне економічне обгрунтування.
Якщо вигляд залежності встановити важко, то за перше наближення до
моделі все ж обирають лінійну залежність.

Звичайним математичним підходом до розв’язання задач є виокремлення
специфічних класів задач або зведення задач до деякого класу і
застосування відповідних методів розв’язування. Оскільки дослідження
лінійних функцій має незаперечні переваги перед іншими класами функцій,
то нелінійні функції намагаються передусім звести до лінійних.

Список використаної літератури

Грубер И. Экономентрия. Т.1. Введение в эконометрию. -К., 1996. — 400с.

Кулініч О.І. Економетрія. Навчальний посібник. Хм.: Видавництво
“Поділля”,1997.

Лук’яненко І.Г., Краснікова Л.І. Економетрика: Підручник. – Тов.
„Знання”, КОО, 1998. – 494 с.

Толбатов Ю.А. Эконометрика: Підручник.-К.: Четверта хвиля, 1997.

Похожие записи