Реферат на тему:

Моделі розподіленого лагy

Поняття лагу і лагових змінних

Для багатьох економічних процесів типовим є те, що ефект від впливу
деякого фактора на показник, який характеризує процес, виявляється не
одразу, а поступово, через деякий період часу. Таке явище називається
лагом (запізненням).

Потреба враховувати лаг при кількісному вимірюванні взаємозв’язку між
економічними показниками постає дуже часто. Наприклад, у динамічних
моделях необхідно враховувати лаг при визначенні зв’язку між обсягом
продукції і капітальними вкладеннями, або частину цього лагу —
будівельний.

Кількісне вираження взаємозв’язку між капітальними вкладеннями і
введенням основних фондів, між витратами виробничих ресурсів і обсягом
виробництва, між доходами і витратами тощо має базуватися на врахуванні
впливу запізнення, або лагу. Причому вплив деяких пояснювальних змінних
на залежну може проявлятися не лише через певний період часу, а й
протягом певного часу, тобто лаг може складатись з кількох часових
періодів. У такому разі маємо справу з економетричною моделлю
розподіленого лагу.

Нехай економетрична модель розподіленого лагу визначається так:

(10.1)

— залишки, що розподілені нормально, тобто мають нульове математичне
сподівання і сталу дисперсію.

Означення 10.1. Модель (10.1) називається загальною моделлю нескінченого
розподіленого лагу, якщо для неї справджуються такі умови:

, для будь-яких k, j; (10.2)

, j = 1, 2, 3…; k = 1, 2, 3…; (10.3)

де w — скінченне число; (10.4)

; (10.5)

. (10.6)

— структурою лагу.

— нормованою структурою лагу для моделі (10.1).

, значення яких характеризують поточні умови функціонування економічних
систем у період t.

Узагальнена модель розподіленого лагу задаватиметься рівнянням

(10.7)

.

Взаємна кореляційна функція

. Але практична реалізація такої моделі часто стикається з
непереборними труднощами, що зумовлені великою кількістю факторів,
істотною обмеженістю часових рядів і складністю їх внутрішньої
структури.

, зсунутим один відносно одного на часовий лаг (.

. (10.8)

відбувається протягом певного проміжку часу і в результаті маємо
кілька часових лагів для двох взаємопов’язаних часових рядів. Знайшовши
часові лаги для визначення взаємозв’язку між економічними показниками,
можна побудувати економетричну модель розподіленого лагу.

, використавши (10.8). Будуємо табл. 10.1.

Таблиця 10.1

(У порівняльних цінах 1985 року)

при різних значеннях ( наведені в табл. 10.2.

Таблиця 10.2

0,89 0,86 0,89 0,92 0,92 0,92 0,85 0,75 0,64 0,4 0,55 -0,06 -0,2

 = 0,92. Він відповідає трьом значенням ( = {3,4,5}. Звідси випливає,
що найбільший вплив капітальних вкладень на обсяг чистої продукції треба
очікувати на третьому, четвертому і п’ятому роках.

Графік нормованої кореляційної функції називається корелограмом.

Корелограм взаємної кореляційної функції, побудований для цих часових
рядів, зображений на рис. 10.1.

Рис. 10.1. Корелолеграм

З графіка, зображеного на рис. 10.1, бачимо що найбільше значення
взаємна кореляційна функція набуває на третьому, четвертому і п’ятому
зрушеннях. Між капітальними вкладеннями і чистою продукцією існує
часовий лаг в три, чотири і п’ять років. На даному проміжку часу

слід очікувати найбільшого приросту чистої продукції від початку
інвестування.

Динамічна модель розподіленого лагу в такому разі запишеться так:

, (10.9)

— вагові коефіцієнти лагових змінних;

— чиста продукція в період t;

.

Лаги залежних і незалежних змінних

Лаги незалежних змінних

Наявність мультиколінеарності між лаговими змінними утруднює побудову
економетричної моделі з лаговими змінними.

Один зі способів звільнитись від мультиколінеарності — це ввести такі
коефіцієнти при лагових змінних, які мали б однаковий знак і для них
можна було знайти суму. З врахуванням умов (10.3) — (10.6), модель з
розподіленим лагом набере такого вигляду:

. (10.10)

Л. Койк запропонував вибрати для зображення вагових коефіцієнтів форму
спадної геометричної прогресії

, (10.11)

.

Звідси

(10.12)

Якщо через D позначити оператор зрушення, такий, що Dxt = xt–1,
D2xt = xt–2 і т.д., то вираз (10.11) можна записати так:

З урахуванням цього модель (10.12) матиме вигляд:

.

, тому для геометричного розподілу середній лаг

.

має забезпечити досить добру апроксимацію даної змінної.

При цьому слід зауважити, що не завжди лаги розподілятимуться
обов’язково за законом Койка, який забезпечує найближчому значенню X
найбільшу вагу, а всім наступним — постійно спадні ваги. Якщо можна
припустити, що це не так, то тоді лишається кілька перших вагових
коефіцієнтів вільними, а для всіх інших використовується закон розподілу
Койка.

Наприклад, можна записати

(10.13)

вони спадають геометрично. Використаємо оператор зрушення D для
скороченого запису моделі (10.13).

Рівняння (10.13) можна подати у вигляді

(10.14)

.

Тоді модель розподіленого лагу

.

різними для різних пояснювальних змінних, то до моделі треба ввести
змінні xt, Zt, yt з оператором зрушення Dxt = xt–1, D2xt = xt–2,
DZt = Zt–1, D2Zt = Zt–2, Dyt = yt–1, D2yt = yt–2:

— їх добуток. Аналогічно діють із залишками ut–1 і ut–2.

Лаги залежної змінної

Зі щойно сказаного випливає: коли використовувати схему Койка для
економетричної моделі, яка має лагові пояснювальні змінні, то в правій
частині моделі серед таких змінних з’являється лагова залежна змінна
yt–(. З її появою стають стохастичними пояснювальні змінні моделі.

До появи в правій частині моделі лагових значень залежної змінної
приводять і деякі інші моделі. Добре відомими моделями такого типу є
модель часткового коригування і модель адаптивних сподівань.

Коли відсутнє повне уявлення про об’єкт, його інерційність, то
застосовується метод часткового коригування. Розглянемо його.

Нехай

. (10.15)

розглядається як оптимальне значення yt, яке відповідає xt. Так,
наприклад, якщо xt — дохід, то yt може визначати величину оптимальних
витрат при доході xt. Нехай величина доходу xt різко змінюється
(збільшується чи зменшується). При цьому споживчі витрати yt можуть не
змінитись адекватно доходу з різних причин: певна інерційність,
недостатня інформація, договірні умови і т.ін. Тому в даному разі
використаємо коригуючу функцію:

, (10.16)

. Об’єднавши (10.15) і (10.16), дістанемо модель часткового
коригування:

. (10.17)

Ця залежність дуже схожа на кінцеве рівняння Койка (10.12). Вона
відрізняється від (10.12) лише наявністю вільного члена і простішою
формою залишків.

не завжди визначається лише поточним значенням xt, а й попередніми
значеннями цієї змінної.

. Маємо

, (10.18)

.

.

Загальноприйнятими в такому разі є припущення про адаптивні сподівання,
які можна записати так:

. (10.19)

, які фактично спостерігаються, запишемо:

,

де

.

Використовуючи оператор зрушення D, можна записати:

в (10.19):

дістанемо:

або

Остаточно це рівняння матиме вигляд

Останнє рівняння є простою моделлю адаптивних сподівань. Порівнявши його
з (10.17), побачимо, що воно має такі самі змінні, як і модель
часткового коригування, відрізняється лише формуванням залишків. Модель
адаптивних сподівань відрізняється від схеми Койка лише наявністю
вільного члена.

Остаточні рівняння всіх трьох моделей практично збігаються, бо як у
моделі адаптивних сподівань, так і в моделі часткового коригування
використовуються вагові коефіцієнти, що спадають за геометричною
прогресією.

Методи оцінювання

Коли схема формування вагових коефіцієнтів задовольняє припущення Койка,
модель часткового коригування або модель адаптивних сподівань, то у
правій частині економетричної моделі виникає лагове значення залежної
змінної Y. Це зумовлює певні проблеми при оцінюванні параметрів такої
моделі. Розглянемо ці проблеми.

Нехай економетрична модель має вигляд

(10.20)

.

.

, тобто

.

;

.

.

.

Друга гіпотеза відповідає схемі Койка і моделі адаптивних сподівань. При
цьому розглядаються два варіанти:

незалежні;

описуються авторегресійною моделлю першого порядку.

описується авторегресійною схемою першого порядку (найпростіший
випадок).

Розглянемо особливості оцінки параметрів моделі при різних гіпотезах
відносно залишків.

.

Щоб знайти величину зміщення розглянемо таку модель:

некорельовані.

Для такої моделі оцінка параметрів a на основі 1МНК дає

(10.21)

Альтернативною оцінкою параметра a може слугувати коефіцієнт
автокореляції першого порядку для Y, тобто

(10.22)

Зміщення тоді визначатиметься так:

(10.23)

.

із застосуванням таких прийомів:

а) визначення параметра r;

б) використання параметра r, скоригованого на величину зміщення в
(10.23);

в) застосування 1МНК.

При цьому виявилось, що оцінка параметрів a на основі 1МНК має найменшу
середньоквадратичну помилку. Звідси, якщо залишки рандомізовані, то
найдоцільніше використовувати 1МНК.

буде

. (10.24)

і r збігається, але має протилежні знаки. Зміщення має і критерій
Дарбіна — Уотсона, яке можна записати так:

, (10.25)

.

Коли в економетричній моделі серед пояснювальних змінних є лагове
значення залежної змінної, застосування критерію Дарбіна — Уотсона для
виявлення серійної кореляції залишків приводить до зміщення його оцінок.
Тому Дарбін розробив методи перевірки автокореляції залишків, які можна
застосувати і для моделей з лаговими змінними, що побудовані на базі
великих сукупностей спостережень (n). Цей критерій визначається так:

,

— оцінка параметра в автокореляційній моделі першого порядку:

ut–1+(t ,

можна дістати з такого співвідношення:

.

(1, то його використовувати не можна. Для критерію h виконується така
сама перевірка, як і в разі стандартного нормального відхилення, тобто
коли при рівні значущості ( = 0,05 h > 1,645, то гіпотеза про нульову
автокореляцію відхиляється.

.

для всіх t. А це означає, що для оцінювання параметрів моделі в даному
разі можна використати узагальнений метод найменших квадратів:

.

Оскільки дисперсія залишків пропорційна до величини 1 + (2, тоді як
коваріація для ( = (1 дорівнює –((2, а для ((( ( 2 дорівнює нулю, то
матриця V має вигляд

(10.26)

.

дорівнює (, дійдемо висновку: коли ( відома, модель спрощується і має
вигляд

. (10.27)

. Як бачимо, проблема оцінювання параметрів у цьому випадку зводиться
до знаходження параметра (.

, а звідси і стандартну помилку параметрів. Тобто використовується
поступовий перебір значень ( на певному інтервалі, доки не буде знайдено
той параметр, який забезпечує найкращий розв’язок.

Гіпотеза 2б. Згідно з цією гіпотезою залишки мають вигляд:

;

.

для цієї моделі.

Запишемо економетричну модель (10.27) у вигляді

. (10.28)

. Отже,

.

Перепишемо це рівняння так:

,

.

Оскільки

то

.

:

(10.29)

матиме вигляд:

, які забезпечують мінімальну суму квадратів відхилень.

Як бачимо, процедура оцінювання параметрів при гіпотезах 2а і 2б є
досить громіздкою. Тому використовувати її слід лише тоді, коли є
впевненість, що залишки мають ту специфікацію, яка визначає особливості
прийнятої гіпотези.

Гіпотеза 3. Згідно з цією гіпотезою специфікується модель:

.

Ця гіпотеза не пов’язується ні зі схемою Койка, ні з моделлю адаптивних
сподівань. Ідеться про оцінку параметрів моделі, яка має серед
пояснювальних змінних лагове значення залежної змінної і одночасно має
автокорельовані залишки.

Метод Ейткена

відоме, то можна сформувати матрицю

?

 

Z \ F

H

O

U

/////////////iiiiii/aaaa*

a$gdrue

gdrue

gdrue

$

$

„T`„Ta$gdrue

„T`„Ta$gdrue

j

j

v3?3?3?3,4oo2&

gdrue

DooooiaaaaUUaaIaaaUUUaaIa

gdrue

$a$gdrue

„T`„Ta$gdrue

gdrue

AE

gdrue

„T`„Ta$gdrue

gdrue

$

gdrue

gdrue

jQ

jQ

j„

j„

j?

j?

j3/4

j3/4

?oooooooooocoocoUoUoUooooo

a$gdrue

gdrue

¦^?ooaoOeIoAoAIAoooAoOeIoOeo

gdrue

$

!

„T`„Ta$gdrue

gdrue

a$gdrue

gdrue

$

„T`„Ta$gdrue

$a$gdrue

і оцінити параметри моделі за методом Ейткена:

,

де

Така процедура наближено еквівалентна застосуванню 1МНК до моделі

відносно перетворених даних. У результаті дістаємо обгрунтовані і
асимптотично ефективні оцінки параметрів, але через присутність лагового
значення залежної змінної в правій частині, вони будуть зміщеними для
закінчених вибірок.

невідоме, то можна скористатись процедурою пошуку, запропонованою для
гіпотези 2.

Приклад 10.2. Необхідно побудувати економетричну модель, що характеризує
залежність між чистим доходом і обсягом капітальних вкладень в економіку
Сирії на основі даних, наведених у табл. 10.3.

Таблиця 10.3

Рік Чистий дохід, млн

сирійських лір Обсяг капітальних вкладень,

млн сирійських лір

1976 32432 3858

1977 40325 4686

1978 49334 5515

1979 54717 5209

1980 53818 7522

1981 55968 10390

1982 61517 13678

1983 72165 15976

1984 78743 13880

1985 80381 13949

1986 82204 17006

1987 77833 17352

1988 81412 17838

1989 77484 18878

1990 75443 19090

1991 85038 20016

Вказівка. На основі взаємної кореляційної функції встановлено, що лаг
капітальних вкладень дорівнює трьом (( = 3), тобто через три роки після
інвестування можна одержати найбільший приріст чистого доходу.

Розв’язання.

1. Ідентифікація змінних і специфікація моделі.

Yt — чистий дохід, залежна змінна;

Xt — обсяг капітальних вкладень, пояснювальна змінна.

Економетрична модель має вигляд

Yt = f(Xt);

Yt = a0 + a1Xt–( + ut ;

.

2. Оцінка параметрів моделі.

Залежно від того, яка гіпотеза приймалась відносно залишків,
застосовувались різні методи оцінювання параметрів моделі.

Зауважимо, що оскільки лаг ( = 3, то вихідні дані були скорочені на три
спостереження, причому в часовому ряді чистого доходу було відкинуто
перші три спостереження, а в часовому ряді капіталовкладень — три
останні.

2.1. Оцінка 1МНК.

Вихідна гіпотеза — залишки неавтокорельовані, нормально розподілені.

Економетрична модель має вигляд

t = 32193,64 + 2,63Xt–3.

Коефіцієнт детермінації за цією моделлю: R2 = 0,84.

Критерій Дарбіна — Уотсона: DW = 0,92.

Абсолютний рівень прогнозу: 79270.

Помилка прогнозу: 3461,5.

Коефіцієнт невідповідності Тейла: 0,0223.

Значення коефіцієнта детермінації свідчить про те, що на 84 % варіація
чистого доходу визначається варіацією капітальних вкладень. Величина
критерію Дарбіна — Уотсона свідчить про наявність додатної автокореляції
залишків моделі. Помилка прогнозного рівня чистого доходу згідно з
моделлю становить 4,3 % до абсолютного значення прогнозу. Коефіцієнт
невідповідності Тейла близький до нуля, що свідчить про добру
апроксимацію чистого доходу на основі моделі, та наявність автокореляції
залишків робить оцінки моделі зміщеними і необгрунтованими.

2.2. Оцінювання параметрів за методом Кочрена — Оркатта.

2.2.1. Вихідна гіпотеза — залишки описуються автокореляційною функцією
першого порядку: ut = (ut–1 + (t. Початкове значення ( є фіксованим. У
такому разі економетрична модель має вигляд

t = 86865,148 + 0,01Xt–3;

ut = 0,8421ut–1 + (t .

Коефіцієнт детермінації: R2 = 0,16.

Критерій Дарбіна — Уотсона: DW = 1,02.

Абсолютний рівень прогнозу: 85338.

Помилка прогнозу: 9529.

Коефіцієнт невідповідності Тейла: 0,0591.

Кількість ітерацій: 26.

Як свідчать результати аналізу моделі, оцінки параметрів не усунули
автокореляції залишків*, коефіцієнт детермінації значно знизився, що
пояснюється високим рівнем залишкової дисперсії.

Звідси оцінки параметрів моделі є неефективними, бо також мають велику
дисперсію. Апроксимація моделі в цілому погіршилася. Оцінка прогнозу
становить близько 10% до абсолютного рівня, удвічі вищим став коефіцієнт
невідповідності Тейла.

2.2.2. Вихідна гіпотеза — залишки описуються автокореляційною функцією
другого порядку

ut = (1ut–1 + (2ut–2+(t.

Початкові значення (1 і (2 — стохастичні.

Економетрична модель має вигляд:

t = 31176,20 + 2,78Xt–3;

t = 0,8525ut–1 – 0,7396ut–2 + (t.

Коефіцієнт детермінації: R2 = 0,94.

Критерій Дарбіна — Уотсона: DW = 2,08.

Абсолютний рівень прогнозу: 85447.

Помилка прогнозу: 9638.

Коефіцієнт невідповідності Тейла: 0,0598.

Кількість ітерацій: 8.

Результати обчислень показують, що друга гіпотеза відносно залишків
(вони описуються авторегресійною схемою другого порядку) є для наведеної
вихідної інформації реальнішою, ніж перша.

Коефіцієнт детермінації показує, що на 94 % варіація чистого доходу
залежить від варіації капітальних вкладень. Критерій Дарбіна-Уотсона є
близьким до двох, а це означає відсутність автокореляції залишків.
Якість прогнозу за моделлю на t + 1 періоді характеризується відносною
помилкою, яка становить 11,2 %. Коефіцієнт невідповідності Тейла
залишається таким, що дорівнює 0,059, як і для попередньої гіпотези.

Обчислення, які наведені в цьому прикладі для побудови лагової моделі,
показують, що оцінки параметрів моделі на основі двох методів — 1МНК і
Кочрена — Орката — різні. Більше того, метод Кочрена — Орката для різних
вихідних гіпотез відносно залишків моделі дає істотно різні результати.
Отже, потрібно уважно ставитись до аналізу залишків моделі і прийнятих
гіпотез відносно їх автокореляції, щоб у кожному конкретному випадку для
оцінювання параметрів моделі з лаговими змінними застосувати той метод,
який найбільше відповідає особливостям вихідної інформації і меті
дослідження.

Ітеративний метод

Як альтернативу можна запропонувати ітеративний метод. Розглянемо його.

Перепишемо останнє рівняння у вигляді:

. (10.30)

, то можна знайти умовний мінімум суми квадратів залишків для рівняння
(10.30) почергово відносно кожної множини параметрів. У такому разі
оцінюватимуться лінійні рівняння.

Алгоритм.

, воно підставляється в рівняння (10.30), яке відповідно спрощується.

.

.

.

Процес продовжується доти, поки не буде досягнуто збіжності оцінок
параметрів моделі на двох останніх кроках з вибраною точністю.

Двокрокова процедура

Іноді застосовується альтернативна двокрокова процедура. Розглянемо її
алгоритм.

в ній — гомоскедастичні. При цьому ігноруються нелінійні обмеження,
які необхідно б було враховувати при оцінюванні. Як оцінка параметра (
використовується

,

.

, для якої будується модель (10.30) методом 1МНК.

Інструментальні змінні

Застосовується також процедура, що використовує інструментальні змінні,
бо yt залежить від vt, а yt залежить від yt–1.

, оцінку параметрів моделі

. Після цього застосовується 1МНК для оцінки параметрів a. Ці оцінки
будуть обгрунтованими, бо всі пояснювальні змінні гранично не
корельовані із залишками, але вони будуть не ефективними, оскільки при
оцінюванні параметрів не була врахована автокореляція залишків.

Алгоритм Уоліса. Уоліс запропонував складніший трикроковий метод
оцінювання.

Крок 1. Оцінюються параметри моделі

,

. Таким чином, визначають:

де

.

розраховують коефіцієнт автокореляції першого порядку з урахуванням
поправки на зміщення:

.

Крок 3. За допомогою оцінки, здобутої для (, формують матрицю:

узагальненим методом найменших квадратів:

Проведені Уолісом експерименти показали, що його метод оцінювання
приводить до значно менших величин зміщення і до меншої суми квадратів
залишків, ніж застосування методу Ейткена безпосередньо до моделі
(10.20).

Приклад 10.3. Необхідно побудувати економетричну модель, яка
характеризує залежність між витратами на харчування і доходом сім’ї
згідно з даними, що наведені в табл. 10.4.

Таблиця 10.4

Рік 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Витрати на

харчування 4 5 6 6 8 11 14 14 16 14

Дохід 25 29 34 33 41 50 55 54 56 62

Розв’язання.

1. Ідентифікація змінних та специфікація моделі.

Yt — витрати на харчування в період t, залежна змінна;

Xt — дохід в період t, пояснююча змінна;

Yt–1 — витрати на харчування в період t–1, пояснювальна змінна.

Економетрична модель має вигляд:

Yt = a0 + a1Xt + a2Yt–1 + ut ;

Таким чином, витрати на харчування в період t залежать від доходу в
період t та від витрат на харчування в період t–1.

2. Оцінка параметрів моделі.

Для оцінювання параметрів цієї моделі застосуємо алгоритм Уолліса, який
базується на методах інструментальних змінних і Ейткена.

та X запишуться так:

.

Економетрична модель має вигляд

та дослідимо ці відхилення на наявність автокореляції (табл. 10.5).

Таблиця 10.5

ut – ut–1 (ut – ut–1)2

1 29 21,71 7,29 51,14 — —

2 34 25,33 8,67 75,14 1,38 1,9044

3 33 20,65 12,35 152,42 3,68 13,5424

4 41 36,326 4,684 21,94 -7,616 58,0035

5 50 50,922 -0,922 0,85 -5,606 31,4272

6 55 64,893 -9,893 92,02 -8,971 80,4788

7 54 74,64 -20,64 426,08 -10,747 115,4980

8 56 60,851 -4,85 23,83 15,79 249,3241

9 62 58,98 3,02 9,12 7,87 61,9369

Всього

852,54

610,2109

Обчислимо критерій Дарбіна — Уотсона:

.

Для рівня значущості ( = 0,05, n = 9, m = 3 критичні значення критерію
Дарбіна — Уотсона дорівнюють: DW1 = 0,629; DW2 = 1,699. Звідси
DW1 < DW < DW2, а це означає, що при даній сукупності спостережень важко зробити висновок про наявність чи відсутність автокореляції. Але, взявши до уваги, що значення DW дуже близьке до нижньої критичної межі критерію, ми не можемо відхилити гіпотезу про відсутність автокореляції. Ця величина критерію може свідчити про те, що залишки, які одержані на основі побудованої моделі, мають додатну автокореляцію. Визначимо коефіцієнт автокореляції: 2.3. Складемо матрицю S–1. 2.4. Застосуємо оператор Ейткена для оцінювання параметрів моделі: . Економетрична модель: Yt = 1,1216 + 0,7944Xt + 0,8733Yt–1. 3. Аналіз економетричної моделі. за моделлю та відхилення їх від фактичних наведено в табл.10.6. Таблиця 10.6 )2 1 29 26,920 2,080 4,341 289 2 34 31,203 2,797 7,825 144 3 33 35,568 -2,568 6,593 169 4 41 36,283 4,717 22,250 25 5 50 45,649 4,381 18,935 16 6 55 55,888 -0,888 0,7878 81 7 54 61,841 -7,841 61,475 64 8 56 58,960 -2,960 8,75 100 9 62 61,126 0,874 0,768 256 Разом 131,7338 1144 3.1. Залишкова дисперсія . 3.2. Загальна дисперсія . 3.3. Дисперсії та стандартні помилки оцінок параметрів моделі: ; . ; . 3.4. Коефіцієнти детермінації та кореляції: ; R = 0,92. 3.5. Критерій Фішера (F-критерій) ; F(0,05)крит = 4,46; Fфакт > Fтабл .

Наведені щойно характеристики дисперсійного аналізу економетричної
моделі свідчать про значущість зв’язку між витратами на харчування в
період t і доходом в період t, а також витратами на харчування в період
t – 1 (Fкрит < Fфакт). Коефіцієнт детермінації показує, що на 85 % варіація витрат на харчування визначається варіацією пояснювальних змінних моделі. Коефіцієнт кореляції також показує, що зв’язок є тісним. Оцінки параметрів моделі мають порівняно високі стандартні помилки, що свідчить про їх неефективність. Це пов’язано з варіацією фактичних спостережень змінної Yt в часі та кількістю спостережень. Отже, при оцінці параметрів моделі, яка розглядалась в прикладі 10.3, були порушені дві необхідні умови для застосування методу 1МНК: ; . (застосовується метод Ейткена). Короткі висновки 1. Для багатьох економічних процесів є типовим той факт, що ефект від впливу одного показника на інший виявляється не відразу, а поступово, через деякий період часу. Це явище називається лагом (запізненням). Кількісний вираз взаємозв’язку між капітальними вкладеннями і введенням основних фондів, між затратами виробничих ресурсів і обсягом виробництва, між доходами і витратами і тощо має базуватись на врахуванні запізнення впливу, або лагу. 2. Вимірювання зв’язку між економічними показниками з врахуванням лагу виконується на основі побудови економетричної моделі розподіленого лагу: . , j = 0, 1, 2, 3...} — структурою лагу. 3. Якщо економетрична модель включає не тільки лагові змінні, а й змінні, що характеризують поточні умови функціонування економічних систем, то така модель називається узагальн еною моделлю розподіленого лагу і записується у вигляді виражає сумарний вплив цієї лагової змінної на залежну, де w — скінченне число. за модулем визначає зрушення, або часовий лаг. Якщо таких зрушень кілька, то запізнення впливу змінної xt відбувається протягом певного проміжку часу, що відображає модель розподіленого лагу. 6. Наявність мультиколінеарності між лаговими змінними в економетричній моделі ускладнює її побудову. Щоб звільнитись від мультиколінеарності необхідно ввести такі коефіцієнти при лагових змінних, які б мали однаковий знак і для них можна було б знайти суму, тоді економетрична модель запишеться: Для зображення вагових коефіцієнтів Л. Койк запропонував форму спадної геометричної прогресії, тобто . Тоді економетрична модель запишеться у вигляді тобто в правій частині з’являється лагова змінна yt–1. 8. Лагову змінну в правій частині моделі мають також моделі часткового коригування: і адаптивних сподівань 9. Наявність в економетричній моделі лагової змінної та прийняття гіпотези відносно залишків зумовлюють особливості оцінки параметрів моделі. Ці гіпотези можна визначити так. Гіпотеза 1. Залишки є випадковими величинами і розподіляються нормально. Гіпотеза 2. Залишки описуються авторегресійною схемою першого порядку . Гіпотеза 3. Залишки описуються авторегресійною схемою першого порядку . 10. Якщо відносно залишків приймається перша гіпотеза, то для оцінки параметрів можна застосувати 1МНК. матриця має вигляд: Коли модель yt = a0 + a1xt + ( yt–1 + ut для другої гіпотези можна записати та також застосувати 1МНК для перетворених даних залежної змінної yt на основі параметра (. Параметр ( пропонується вибирати довільно на інтервалі 0 < ( < 1 таким чином, щоб мінімізувати суму квадратів залишків uV –1u. 12. Якщо відносно залишків моделі приймається третя гіпотеза, то для оцінки параметрів моделі можна використовувати: 1) 1МНК, коли вихідні дані перетворені на основі параметрів ( і (; 2) метод Ейткена; 3) ітеративний метод; 4) двокрокову процедуру: ; ; 5) метод інструментальних змінних; 6) алгоритм Уоліса. 13. Щоб застосувати для оцінки параметрів 1МНК, матриця вихідних даних буде мати вигляд: вибираються доти, доки не буде мінімізована сума відхилень. базується на матриці а матриця X дорівнює: Цей метод аналогічний оцінкам 1МНК для моделі відносно перетворених даних. 15. Ітеративний метод є альтернативою методу Ейткена. Його алгоритм має чотири кроки: і підставляється в модель п.14. . . і т.д. 16. Метод інструментальних змінних для оцінки параметрів моделі застосовують тоді, коли залишки не автокорельовані, але існує залежність пояснювальних змінних із залишками. Якщо модель має вигляд: yt = a0 + a1xt + a2 xt–1 + a3yt–1 + ut ,  = f(xt). 17. Оцінка параметрів моделі з лаговою змінною на основі алгоритму Уоліса складається з трьох етапів. На першому етапі оцінка параметрів моделі виконується на основі методу інструментальних змінних, де xt–1 використовується як інструментальна змінна для yt–1. На другому етапі обчислюють коефіцієнт автокореляції першого порядку з врахуванням поправки на зміщення і формують матрицю S. На третьому кроці виконують оцінку параметрів моделі на основі методу Ейткена. ЛІТЕРАТУРА Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980. Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1986. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12. Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое моделирование. –– М., 1975. Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975. Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962. Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып. 1,2. Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975. Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в эконометрии. –– М., 1979. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978. Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд. Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States, 1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964. * Зауважимо, що для рівня значущості ( = 0,05, n = 13 і m = 2 критичні значення критерію Дарбіна -Уотсона DW1 = 1,010, DW2 = 1,340. PAGE

Похожие записи