Реферат на тему:

Методи побудови загальної лінійної моделі

Перша принципова задача, з якою стикається кожний, хто вивчає
економіку, — це задача про встановлення взаємозв’язків між економічними
величинами. Так, попит на деякий товар, що формується на ринку, залежить
від ціни цього товару та ціни конкуруючих товарів, споживчого доходу і
т.ін. Витрати, що пов’язані з виготовленням будь-якої продукції,
залежать від обсягу виробництва,технології, умов, від цін на основні
виробничі ресурси. Можна було б навести ще багато прикладів про
взаємозв’язки між економічними показниками. Адже вони не є ізольованими,
автономними, а мають між собою прямий і навіть зворотний зв’язок.
Звідси, щоб ефективно управляти економічними процесами і явищами, треба
вміти вимірювати цей зв’язок кількісно.

Цю проблему економіки можна вирішити, побудувавши економетричну модель.

Означення 4.1. Економетрична модель — це функція чи система функцій, що
описує кореляційно-регресійний зв’язок між економічними показниками,
один чи кілька з яких є залежною змінною, інші — незалежними.

У загальному вигляді економетрична модель запишеться так:

— незалежні змінні; u — стохастична складова, або

,

, тобто ця економетрична модель складається з k функцій.

Означення 4.2. Незалежні змінні моделі називаються пояснюючими, наперед
заданими змінними. Залежні змінні називаються пояснюваними змінними.

Означення 4.3. Економетрична модель, що будується на основі системи
рівнянь, крім регресійних функцій, може включати тотожності.

Побудова будь-якої економетричної моделі, незалежно від того, на якому
рівні і для яких показників вона будується, здійснюється як
послідовність певних кроків.

Крок 1. Знайомство з економічною теорією, висунення гіпотези
взаємозв’язку. Чітка постановка задачі.

Крок 2. Специфікація моделі. Використовуючи всі ті форми функцій, які
можуть бути застосовані для вивчення взаємозв’язків, необхідно
сформулювати теоретичні уявлення і прийняті гіпотези у вигляді
математичних рівнянь. Ці рівняння встановлюють зв’язки між основними
визначальними змінними за припущення, що всі інші змінні є випадковими.

Крок 3. Формування масивів вихідної інформації згідно з метою та
завданнями дослідження.

Крок 4. Оцінка параметрів економетричної моделі методом найменших
квадратів, що дає змогу проаналізувати залишки і відповісти на
запитання: чи не суперечить специфікація моделі передумовам “класичної”
моделі лінійної регресії?

Крок 5. Якщо деякі передумови моделі не виконуються, то для продовження
аналізу треба замінювати специфікацію або застосовувати інші методи
оцінювання параметрів.

Крок 6. Проведення аналізу вірогідності моделі та визначення прогнозу за
побудованою моделю.

Схематично всі кроки можна зобразити так:

Рис.4.1. Етапи побудови моделі

Специфікація моделі

Економетрична модель базується на єдності двох аспектів — теоретичного,
якісного аналізу взаємозв’язків та емпіричної інформації. Теоретична
інформація знаходить своє відображення в специфікації моделі.

Означення 4.4. Специфікація моделі — це аналітична форма економетричної
моделі. Вона складається з певного виду функції чи функцій, що
використовуються для побудови моделей, має ймовірнісні характеристики,
які притаманні стохастичним залишкам моделі.

З досвіду економетричних досліджень, а також на підставі якісного
теоретичного аналізу взаємозв’язків між економічними показниками можна
навести клас функцій, які можуть описувати ці взаємозв’язки:

1) лінійна функція:

2) степенева функція:

3) гіпербола:

;

4) квадратична функція:

,

.

У цих функціях:

y — залежна (пояснювана) змінна;

— незалежні, або пояснювальні, змінні;

— параметри функцій.

Серед наведених щойно видів функцій три останні є нелінійними. Але за
допомогою перетворення залежної і незалежних змінних ці функції можна
звести до лінійних. Отже, всі записані функції можуть бути реалізовані
на практиці як лінійні.

оскільки лінійні функції найпоширеніші в економетричному моделюванні, то
це твердження може пояснити той факт, що економетричні методи
обгрунтовуються, як правило, на базі лінійних моделей.

Маючи на увазі, що вибір аналітичної форми економетричної моделі не може
розглядатись без конкретного переліку незалежних змінних, специфікація
моделі передбачає добір чинників для економетричного дослідження.

При цьому в процесі такого дослідження можна кілька разів повертатись до
етапу специфікації моделі, уточнюючи перелік незалежних змінних та вид
функції, що застосовується. Адже коли вид функції та її складові не
відповідають реальним залежностям, то йдеться про помилки специфікації.

Помилки специфікації моделі можуть бути трьох видів:

1) ігнорування істотної пояснюючої змінної при побудові економетричної
моделі;

2) введення до моделі незалежної змінної, яка не стосується вимірюваного
зв’язку;

3) використання не відповідних математичних форм залежності.

Перша з цих помилок призводить до зміщення оцінок, причому зміщення буде
тим більшим, чим більша кореляція між введеними та не введеними до
моделі змінними, а напрям зміщення залежить від знака оцінок параметрів
при введених змінних і від характеру кореляції між введеними та не
введеними змінними. Оцінки параметрів також будуть зміщеними (у такому
разі вони вищі), тому застосування способів перевірки їх значущості може
спричинитися до хибних висновків щодо значень параметрів генеральної
сукупності.

Для відшукання цього джерела помилок специфікаціі досить важко
запропонувати які-небудь загальні міркування, оскільки незалежна змінна,
що не враховується (або незалежні змінні), може бути одним із багатьох
можливих пояснень. Про необхідність введення моделі до цих незалежних
змінних можна лише здогадуватись на підставі апріорних міркувань. Проте
відомі й більш формалізовані процедури, які дають змогу з’ясувати,
наскільки істотним є введення до моделі якої-небудь змінної. Так,
наприклад, якщо побудувати економетричну модель на базі покрокової
регресії (метод покрокової регресії розглянемо пізніше), то можна досить
чітко ранжувати пояснювальні змінні за величиною їх впливу на залежну
змінну. Про відсутність основної змінної свідчить зміна поводження
випадкового відхилення у помилково специфікованій моделі.

Друга помилка специфікації. В цьому разі, якщо до моделі вводиться
змінна, яка неістотно впливає на залежну змінну, то (на відміну від
першої помилки специфікації) оцінки параметрів моделі будуть
незміщеними. Причому за допомогою звичайних процедур можна дістати також
незміщені оцінки дисперсій цих параметрів. Але це не означає, що
економетричну модель можна беззастережно розширювати за рахунок
«неістотних» змінних. По-перше, існує ненульова ймовірність того, що в
результаті використання вибіркових даних змінна, яка зовсім не
стосується моделі, покаже істотний зв’язок із залежною змінною. А це
означає, що кількісний зв’язок між змінними буде виміряний неправильно.

Третя помилка специфікації. Припускається, що залежна змінна є лінійною
функцією від деякої пояснювальної змінної, тоді як насправді тут краще
підійшла б квадратична, кубічна чи якась поліноміальна залежність вищого
порядку. У цьому разі наслідки такі самі, як і при першій помилці, тобто
оцінки параметрів моделі матимуть зміщення.

(або нульове значення пояснювальної змінної):

За таких умов найпростішу економетричну модель можна розглядати як
найбільш спрощену характеристику зв’язків між двома змінними та
випадковим відхиленням:

.

Використання квадратичної функції

не лише забезпечує опуклість функції, яка добирається, а може й
розглядатись як найкраща апроксимація розкладу в ряд Тейлора.

Питання про вибір найкращої форми залежності має базуватися на перевірці
ступеня узгодженості виду функції з вихідними даними спостережень.

Адекватність побудованої моделі можна встановити, аналізуючи залишки
моделі. Вони обчислюються як різниці між фактичними значеннями залежної
змінної і обчисленими за моделлю. Щоб перевірити, чи має розподіл
залишків невипадковий характер, можна скористатися критерієм Дарбіна
—Уотсона. Тоді перевірка моделі на існування автокореляції першого
порядку аналогічна перевірці того, наскільки вдало вибрано форму
економетричної моделі.

Передумови застосування методу найменших квадратів (1МНК)

Нехай економетрична модель у матричній формі має вигляд

(4.1)

де Y — вектор значень залежної змінної;

(n — число спостережень, m — кількість незалежних змінних);

A — вектор оцінок параметрів моделі;*

u — вектор залишків.

Щоб застосувати 1МНК для оцінки параметрів моделі, необхідне виконання
таких умов:

1) математичне сподівання залишків дорівнює нулю, тобто

(4.2)

2) значення ui вектора залишків u незалежні між собою і мають постійну
дисперсію, тобто

(4.3)

де Е — одинична матриця;

3) незалежні змінні моделі не пов’язані із залишками:

(4.4)

:

(4.5)

,

.

Перша умова, здавалося б, є очевидною. Адже коли математичне сподівання
залишків не дорівнює нулю, то це означає, що існує систематичний вплив
на залежну змінну, а до модельної специфікації не введено всіх основних
незалежних змінних. Якщо ця передумова не виконується, то йдеться про
помилку специфікації.

зауважимо, що коли економетрична модель має вільний член, то майже
завжди за рахунок його значення можна скоригувати рівняння так, щоб
математичне сподівання залишків дорівнювало нулю. Отже, для таких
моделей перша умова практично виконуватиметься завжди.

Друга умова передбачає наявність сталої дисперсії залишків. Цю
властивість називають гомоскедастичністю. Проте вона може виконуватись
лише тоді, коли залишки u є помилками вимірювання. Якщо залишки
акумулюють загальний вплив змінних, які не враховані в моделі, то
звичайно дисперсія залишків не може бути сталою величиною, вона
змінюється для окремих груп спостережень. У такому разі йдеться про
явище гетероскедастичності, яке впливає на методи оцінювання параметрів.

Третя умова передбачає незалежність між залишками і пояснювальними
змінними, яка порушується насамперед тоді, коли економетрична модель
будується на базі одночасових структурних рівнянь або має лагові змінні.
Тоді для оцінювання параметрів моделі використовуються, як правило, дво-
або трикроковий метод найменших квадратів.

Четверта умова означає, що всі пояснювальні змінні, які входять до
економетричної моделі, мають бути незалежними між собою. Проте очевидно,
що в економіці дуже важко вирізнити такий масив незалежних
(пояснювальних) змінних, які були б зовсім не пов’язані між собою. Тоді
щоразу необхідно з’ясовувати, чи не впливатиме залежність пояснювальних
змінних на оцінку параметрів моделі.

Це явище називають мультиколінеарністю змінних, що призводить до
ненадійності оцінки параметрів моделі, робить їх чутливими до вибраної
специфікації моделі та до конкретного набору даних. Знижується рівень
довіри до результатів верифікації моделей з допомогою 1МНК.Отже, це
явище з усіх точок зору є дуже небажаним. Але воно досить поширене. Далі
розглянемо методи виявлення мультиколінеарності і способи її врахування
з допомогою специфікації моделі чи спеціальних методів оцінювання
параметрів.

Оператор оцінювання 1МНК

Скористаємося моделлю (4.1), для якої виконуються умови (4.2)–(4.5), щоб
оцінити параметри методом 1МНК.

. Тоді суму квадратів залишків u можна записати так:

Продиференціюємо цю умову за А і прирівняємо похідні до нуля:

або

(4.6)

— матриця, транспонована до матриці незалежних змінних X.

Звідси

(4.7)

Рівняння (4.6) дає матричну форму запису системи нормальних рівнянь, а
формула (4.7) показує, що значення вектора А є розв’язком системи таких
рівнянь.

Формули (4.6) і (4.7) можна дістати й інакше.

, дістанемо:

то справджується рівність

.

, отже,

(4.7)

Неважко показати, що оцінки (, обчислені за (4.7), мінімізують суму
квадратів залишків u. При цьому значення вектору ( є розв’язком так
званої системи нормальних рівнянь

.

називають матрицею моментів.

.

Розглянемо приклад оцінювання параметрів моделі 1МНК.

Таблиця 4.1.

№ п/п Витрати на харчування y Загальні витрати x1 Розмір сім’ї x2

1 22 45 1,5

2 34 75 1,6

3 50 125 1,9

4 67 223 1,8

5 47 92 3,4

6 66 146 3,6

7 81 227 3,4

8 106 358 3,5

9 70 135 5,5

10 95 218 5,4

11 119 331 5,4

12 147 490 5,3

13 93 175 8,5

14 133 305 8,3

15 169 468 8,1

16 197 749 7,3

Приклад 4.1. Оцінити параметри економетричної моделі, що характеризує
залежність між тижневими витратами на харчування, загальними витратами
та розміром сім’ї. Вихідні дані наведені в табл. 4.1.

Розв’язання. Запишемо економетричну модель:

— оцінка параметрів моделі.

Оператор оцінювання параметрів моделі за 1МНК має вигляд

— матриця, транспонована до матриці X.

Матриця X крім двох векторів незалежних змінних містить вектор одиниць.
Він дописується в цій матриці ліворуч тоді, коли економетрична модель
має вільний член. не дописуючи такого вектора одиниць, вільний член
можна обчислити, скориставшись рівністю:

.

Згідно з оператором оцінювання знайдемо:

;

Отже, економетрична модель має вигляд

 = 6,97, тобто

.

= 8,8.

Властивості оцінок параметрів

є вибірковими характеристиками і повинні мати такі властивості:

1) незміщеності;

2) обгрунтованості;

3) ефективності;

4) інваріантності.

називається незміщеною, якщо вона задовольняє рівність

(4.12)

. Отже, оцінка параметрів 1МНК є незміщеною.

. Якщо оцінка незміщена, то при багаторазовому повторенні випадкової
вибірки попри те, що для окремих вибірок, можливо, були помилки оцінки,
середнє значення цих помилок дорівнює нулю.

Різниця між математичним сподіванням оцінки і значенням оціненого
параметра

(4.13)

називається зміщенням оцінки.

і є випадковою величиною, а зміщення — величина стала.

Дуже важливою властивістю оцінки є її обгрунтованість.

 > 0 справджується cпіввідношення

- :

< I ? $ $ $ j j $ $ 8{@{H{J{c?9–kdD $ $ $ (4.14) Іншими словами, оцінка обгрунтована, коли вона задовольняє закон великих чисел. Обгрунтованість помилки означає, що чим більші будуються вибірки, тим більша ймовірність того, що помилка оцінки не перевищуватиме достатньо малої величини (. Для обгрунтованості оцінок, здобутих на основі 1МНК, мають виконуватися три умови: , де Q — додатно визначена матриця; де Q — додатно визначена матриця; Третя властивість оцінок ( — ефективність — пов’язана з величиною дисперсії оцінок. Тут доречно сформулювати важливу теорему Гаусса — Маркова, що стосується ефективності оцінки 1МНК. : , , визначених іншими методами. у класичній лінійній моделі є найкращою (мінімально дисперсійною) лінійною незміщеною функцією оцінювання. (Цю властивість називають BLUE). — параметр розподілу випадкової величини А, яка є мірою розсіювання її значень навколо математичного сподівання. параметрів А називається ефективною, коли дисперсія цієї оцінки є найменшою. — деяка інша оцінка цих параметрів. Тоді (4.15) може швидко змінюватися. називається асимптотично ефективною оцінкою. дає ефективну оцінку параметрів А. Ще одна важливість оцінок — їх інваріантність. нового параметра. . Коваріаційна матриця оцінок параметрів моделі також можна вважати випадковою функцією оцінювання параметрів моделі. (j ( k). Істинні (справжні) значення цих параметрів класичної економетричної моделі утворюють дисперсійно-коваріаційну матрицю (4.16) . Отже, , (4.17) — незміщена оцінка дисперсії залишків; . можна записати так: . Звідси маємо альтернативну форму запису дисперсії залишків: обчислюється за формулою: . (4.18) , що містяться за межами головної діагоналі, відповідно такі: . (4.19) . Отже, маємо: ; n = 16; m = 3. Розв’язання. , скориставшись (4.10): ; ; . : = 68,92 ( 0,314 = 21,64; = 68,92 ( 0,00003 = 0,00207; = 68,92 ( 0,0165 = 1,137. 3. Обчислимо коваріації відповідних оцінок параметрів: = 68,92 ( (–0,00017) = –0,0118; = 68,92 ( (–0,0446) = –3,0738; = 68,92 ( (–0,00012) = –0,00827. вказує на те, що збільшення однієї оцінки параметрів приводить до зменшення іншої і навпаки. Отже, дістанемо дисперсійно-коваріаційну матрицю . 4. Запишемо стандартні помилки оцінок параметрів моделі: ; ; ; . : ; ; . Отже, стандартні помилки оцінок параметрів щодо рівня оцінок параметрів становлять відповідно 53 %, 23 % і 15 %, а це свідчить про зміщеність оцінок. Наслідком зміщеності є також те, що M(u) ( 0. У розглянутому прикладі M(u) = 0,22. Це означає, що залишки можуть мати систематичну складову, яка зумовлюється неточною специфікацією моделі. Наприклад, не всі основні чинники, що впливають на тижневі витрати, пов’язані з харчуванням (скажімо, ціни на продукти харчування), внесено до моделі. Прогноз . Наш прогноз може бути точковим або інтервальним. , тобто (4.20) найкращим лінійним незміщеним прогнозом). то незміщена оцінка прогнозу (4.21) , або . Тоді незміщену оцінку прогнозу (4.17) можна обчислити за формулою буде незміщеним лінійним прогнозом лише тоді, коли . (4.22) матиме вигляд . З огляду на сказане можемо записати:  = 1; Згідно з цими умовами побудуємо функцію Лагранжа . , дістанемо: , запишемо звідки знову підставимо в перше рівняння: З третього рівняння маємо Тоді Отже, дисперсія прогнозу (4.23) від відповідного середнього значення вибірки. У матричному вигляді дисперсія прогнозу (4.24) Середньоквадратична помилка прогнозу , -розподілу при n – m ступенях свободи і рівні значущості (. Довірчий інтервал для прогнозних значень або , що лежить за межами базового періоду. . . Отже, інтервальний прогноз індивідуального значення визначається як або (4.25) Приклад 4.3. Необхідно розрахувати для економетричної моделі (приклад 4.1) точковий та інтервальний прогнози математичного сподівання і індивідуального значення залежної змінної, коли для прогнозного періоду відомий вектор . : . ). Знайдемо ): ). При цьому нехай ( = 0,05 і n – m = 13; тоді t0,05 = 2,160. Отже, і 150,62 + 2,160 ( 21,95; 150,62 + 47,412; 198,032. :  481,777+68,92 = 550,697. така: . : ; 150,62 + 2,160(23,467; 150,62 + 50,689; 201,309. Значення t( знаходимо в таблиці при ( = 0,05 і ступені свободи ( = 13. У такому разі t0,05 = 2,160. ) потрапляє в інтервал [103,208; 198,032], а прогноз індивідуального значення в інтервал [99,931; 201,309]. , коли взяти досить велику кількість вибірок і для кожної з них обчислювати інтервальні прогнози. Економічна інтерпретація: якщо в прогнозному періоді загальні витрати мають рівень 500 одиниць, а сім’я складається з шести осіб, то середні витрати на харчування потрапляють в інтервал 198,032. Водночас окреме (індивідуальне) значення цих витрат міститиметься в ширшому інтервалі, а саме 201,309. висновки 1. Економетрична модель дає кількісну оцінку кореляційно-регресійного зв’язку між економічними показниками, один чи кілька з яких є залежними, а решта — незалежними змінними. 2. Побудова економетричної моделі базується на єдності двох аспектів — теоретичного, якісного аналізу та аналізу емпіричної інформації. 3. Щоб побудувати економетричну модель, спочатку необхідно специфікувати її, тобто дібрати пояснювальні змінні та визначити аналітичну форму залежності. При цьому можна кілька разів повертатися до етапу специфікації моделі, уточнюючи перелік пояснювальних змінних та вид застосовуваної функції. 4. Помилки специфікації моделі можуть бути трьох видів: 1) ігнорування істотної пояснювальної змінної при побудові економетричної моделі; 2) внесення до моделі незалежної змінної, яка стосується вимірюваного зв’язку; 3) використання невідповідних форм залежності. 5. Oцінювати параметри економетричної моделі з допомогою 1МНК, можна в тому разі, коли: 1) математичне сподівання залишків дорівнює нулю, тобто М(u) = 0; ; ; . 6. Система нормальних рівнянь за методом 1МНК запишеться так: , а оператор оцінювання параметрів . 7. Якщо виконуються всі необхідні умови для застосування 1МНК, то оцінки параметрів економетричної моделі мають такі властивості: 1) незміщеності; 2) обгрунтованості; 3) ефективності; 4) інваріантності. 8. Оцінки параметрів моделі будуть незміщеними, якщо математичне сподівання їх вибіркових значень, знайдених при багаторазовому повторенні вибірки, не відрізнятиметься від істинного значення, тобто . Про наявність зміщеності оцінки можна стверджувати, коли її стандарна помилка перевищує 10 % від абсолютного значення оцінки. будуть обгрунтованими, якщо при дуже малій величині ( справедливе твердження , тобто оцінки параметрів будуть обгрунтованими, коли відповідають закону великих чисел. параметрів А будуть ефективними тоді, коли їх дисперсії є найменшими. Величина дисперсії оцінок параметрів залежить від кількості спостережень, специфікації моделі та правильності методу оцінювання цих параметрів. Це означає, що припустившись помилки на будь-якому етапі при побудові економетричної моделі, можна дістати неефективні оцінки її параметрів. 11. Властивість інваріантності дає змогу використовувати функції від вибіркових оцінок. Так, наприклад, знаючи вибіркову дисперсію оцінок параметрів, можемо знайти їх стандартну помилку. 12. Одним з важливих завдань економетричного моделювання — оцінити прогнозне значення залежної змінної за умови, що пояснювальні змінні задані на перспективу. 13. На основі економетричної моделі можна отримати точковий та інтервальний прогнози залежної змінної на перспективу. 14. Незміщена оцінка точкового прогнозу запишеться так: , — заданий рівень пояснюючої змінної на перспективу; — точковий прогноз залежної функції на основі економетричної моделі. 15. Дисперсія прогнозу дорівнює: , а стандартна помилка його: . 16. Стандартна похибка інтервального прогнозу включає безпосередню помилку прогнозу та залишкову дисперсію , тоді інтервальний прогноз індивідуального значення визначиться як . ЛІТЕРАТУРА Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980. Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1986. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12. Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое моделирование. –– М., 1975. Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975. Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962. Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып. 1,2. Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975. Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в эконометрии. –– М., 1979. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978. Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд. Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States, 1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964. * Тут і далі «вектор» означає «матриця-вектор», тобто матриця-рядок або матриця-стовпець. * Докладніше про це йдеться в підручниках з математичної статистики. PAGE Aa?eo?eaoe?y iiaeae? Aiae?c caeeoe?a Ioe?iea ia?aiao??a iiaeae? Oi?ioaaiiy aeo?aeii? ?ioi?iaoe?? Niaoeeo?eaoe?y iiaeae? Iinoaiiaea caaea/?

Похожие записи