Реферат на тему:

Метод інструментальних змінних

Автокореляція елементів часового ряду може бути описана на основі
авторегресійної функції певного порядку. Але коли йдеться про
моделювання взаємозв’язків на основі багатомірних часових рядів, де
необхідно кількісно описати залежність однієї змінної від інших і
врахувати автокореляцію залежної змінної, то економетрична модель буде
мати лагову змінну Y, що входить до пояснюючих змінних, тобто:

.

Наведемо економічні приклади :

Приклад 1. Нехай потрібно побудувати економетричну модель, яка
характеризує залежність обсягу інвестицій від технічного рівня об’єкта
інвестування та ефективності економічної діяльності. В цьому випадку
вихідна інформація повинна мати три часових ряди, один з яких буде
характеризувати обсяг зміни капітальних вкладень у часі, другий —
технічний рівень об’єкта інвестування, а третій — ефективність
економічної діяльності. При цьому кожне наступне значення часового ряду
буде знаходитись у певній залежності від попереднього. Наприклад, якщо в
попередньому році в даний об’єкт було вкладено велику частину
інвестицій, то, очевидно, що в наступному році їх рівень може значно
зменшитись через економічну та технічну недоцільність. А це означає, що
економетрична модель наведеної залежності у загальному вигляді:

,

— обсяг інвестицій у періоді t – 1; X1t — фондомісткість основних
фондів у періоді t; X2 t — рентабельність економічної діяльності в
періоді t; ut — стохастична складова, залишки.

Приклад 2. Нехай треба побудувати економетричну модель, яка характеризує
залежність між рівнем експорту певної продукції та обсягом її
виробництва. Будуючи цю економетричну модель на основі двох часових
рядів, потрібно також урахувати той факт, що рівень експорту в період t,
як правило, корелює з його рівнем в період t – 1. Тому економетрична
модель матиме загальний вигляд:

,

;

;

;

— залишки.

). В цьому випадку вони стають стохастичними змінними.

навіть тоді, коли послідовні значення залишків є незалежними.

(всі оцінки моделі) необгрунтованими.

, є наявність помилок у вихідній інформації.

— це єдина форма помилок, яка допускається. Але дуже часто при
вимірюванні змінних, які включаються в економетричну модель,
допускаються помилки. Наявність цих помилок впливає на оцінку параметрів
моделi. Так, якщо матриця пояснюючих змінних X має помилки, то її можна
записати як суму двох матриць

,

— матриця дійсних значень пояснюючих змінних;

— матриця помилок.

Звідси економетрична модель матиме вигляд:

.

, тобто:

.

, у свою чергу, можна записати так:

Якщо в цих співвідношеннях допустити, що матрицю X (як її дійсні
значення, так і помилки) гранично не корелюють із залишками, тобто:

,

то матриця коваріації помилок частіше всього не дорівнює нулю,

, а це означає, що за наявності помилок виміру змінних оцінка
параметрів моделі за методом 1МНК є необгрунтованою і асимптотично
зміщеною.

Кореляція між пояснюючими змінними і залишками є серйозною перешкодою
для застосування методу 1МНК.

Метод інструментальних змінних

У цьому випадку для оцінки параметрів моделі використовується метод
інструментальних змінних, оператор оцінювання якого запишеться так:

,

— матриця інструментальних змінних;

;

— матриця пояснюючих змінних;

— вектор залежної змінної.

Способи визначення інструментальних змінних

Оператор оцінювання Вальда застосовується для моделі з двома змінними:

.

У цьому операторі інструментальні змінні визначаються так:

від своєї медіани;

2) ті відхилення, які мають додатній знак, замінюються одиницями, а ті,
які мають від’ємний знак, — мінус одиницями.

Оцінки параметрів моделі розраховуються так:

,

,

— середні значення відхилень від медіани вверх і вниз;

— середні значення залежної змінної, що відповідають

.

Приклад 7.1. На основі даних, які наведені в табл. 7.1, побудувати
економетричну модель, яка кількісно описує залежність продуктивності
праці від затрат на прикладні дослідження, причому наведені дані за
затратами на прикладні дослідження можуть мати помилки виміру.

Таблиця 7.1

Рік Продуктив-ність праці

Затрати на прикладні дослід-ження

0,2220 2,6040

Розв’язання

1. Ідентифікуємо змінні моделі:

— продуктивність праці, залежна змінна;

— затрати на прикладні дослідження, незалежна змінна.

2. Специфікуємо економетричну модель у лінійному вигляді:

;

.

може мати помилки виміру, а це означає, що вона може корелювати із
залишками, то замінимо її інструментальною змінною.

Для визначення інструментальної змінної за методом Вальда:

:

.

. Ці відхилення наведені у табл. 7.1.

3.3. Від’ємні відхилення замінимо на –1, а додатні — на + 1. Сукупність
цих одиниць є інструментальною змінною (див. табл. 7.1).

4. Щоб оцінити параметри економетричної моделі, на основі оператора
Вальда визначимо:

від медіани:

;

.

.

;

;

5. Розрахуємо оцінки параметрів моделі:

;

;

;

.

Звідси економетрична модель:

.

6. Визначимо загальну дисперсію та дисперсію залишків:

;

.

7. Розрахуємо коефіцієнти детермінації та кореляції:

;

.

8. Аналіз економетричної моделі.

визначає граничну зміну продуктивності праці, якщо затрати на
прикладні дослідження зміняться на одиницю.

показує, що збільшення затрат на прикладні дослідження на 1% сприятиме
збільшенню продуктивності праці на 0,49%.

Оператор оцінювання Бартлета

Бартлет довів: якщо розбити впорядковані значення змінної X на три
групи, а потім виключити з розрахунку середню групу, то можна збільшити
ефективність оцінки. Оцінки парaметрів моделі у цьому випадку будуть
визначатись таким чином:

,

–– середні значення залежної змінної по третій та першій групах;

.

Приклад 7.2. Нехай треба побудувати економетричну модель продуктивності
праці залежно від затрат на прикладні дослідження, маючи на увазі, що
останні можуть мати помилки виміру. Для побудови моделі використати
оператор оцінювання Бартлета. Вихідні дані наведені у табл. 7.2.

Таблиця 7.2

Рік Продук-тивність праці

Затрати на прикладні дослідження

128,4 375 375

1,1040

7,6160

Розв’язання

1. Ідентифікуємо змінні моделі:

— продуктивність праці, залежна змінна;

— затрати на прикладні дослідження, незалежна змінна.

2. Специфікуємо економетричну модель у лінійній формі:

;

.

3. Оцінка параметрів моделі на основі оператора оцінювання Бартлета.

, впорядкуємо залежну змінну Y.

< >

1/4

3/4

A

A

? ? »

$

?

AE

gdb i

j1

j1

j

j

^„o `„?

< < < Ff? ?=AE=I=I=N=O=O=Ue=a=a=e=o=u=u=$>&>(>*>,>.>0>>>L>N>P>oeoenoeoeoeoeoeoeoeo
eoeioeoeoeoeoeoeoeoeoecU

d8^„o `„?

gdb i

[

]-]&].]0]2]@]B]P]R]T]V]oenoeoeoeoeoeoeoeoeoeioeoeoeoeoeoeoeoeoecUU

V]n]p]°]0^I^:_l_?_(`Ra`O’OAeOoOOODO–OEOuOueOFO?O?OocccccTHTHcccooococOOc
cEc

d8`„

dh`„

???????????????????Т??едіани для 1 і 3 груп та середні цих відхилень:

;

;

:

.

3.4. Визначимо оцінки параметрів моделі:

;

.

Економетрична модель запишеться так:

(2)

Порівняємо оцінки параметрів цієї моделі з оцінками моделі на основі
оператора Вальда:

(1)

збільшилась на 0,05 одиниці.

Щоб визначити якість цієї моделі, розрахуємо дисперсії:

;

.

5. Визначимо коефіцієнти кореляції і детермінації:

;

.

6. Аналіз економетричної моделі.

визначає граничну зміну продуктивності праці, якщо затрати на
прикладні дослідження зміняться на одиницю.

Оператор оцінювання Дарбіна

у порядку зростання і ввів як інструментальну змінну порядковий номер
(ранг), тобто числа 1, 2, 3, 4 … n. Метод Дарбіна можна застосовувати
й тоді, коли модель містить декілька пояснюючих змінних. У цьому випадку
спочатку знаходять відхилення значень кожної змінної від свого
середнього значення, потім ці відхилення впорядковуються в порядку
зростання і кожному з них присвоюється порядковий номер.

Приклад 7.3. На основі даних, які наведені у табл. 7.3, необхідно
побудувати економетричну модель, що характеризує залежність витрат на
харчування від загальних затрат.

Таблиця 7.3

45 92 75 125 146 223 227 368

Витрати

на харчування Y 21,8 47,3 33,4 50,3 66,0 66,9 81,0 106,0

Вказівка: Зважаючи на те, що вихідні дані базуються на соціологічних
бюджетних дослідженнях, вони можуть мати помилки виміру.

Розв’язання

1. Ідентифікуємо змінні.

Y — витрати на харчування, залежна змінна;

X — загальні затрати, незалежна змінна.

2. Специфікуємо модель у лінійній формі:

;

.

3. Оцінимо параметри моделі методом інструментальних змінних,
використавши оператор Дарбіна для моделі з двома змінними

,

— інструментальна змінна;

.

у порядку зростання (табл. 7.4):

Таблиця 7.4

1 2 3 4 5 6 7 8

3.2. Розрахуємо оцінки параметрів моделі на основі оператора Дарбіна:

;

;

.

4. Економетрична модель має вигляд:

.

) свідчить про те, що існують інші чинники, крім доходу, які можуть
певною мірою формувати витрати на харчування.

5. Розглянемо оцінку параметрів економетричної моделі з декількома
пояснюючими змінними на основі методу інструментальних змінних.

Приклад 7.4. Нехай треба побудувати економетричну модель продуктивності
праці на основі даних, які наведені у табл. 7.5

Таблиця 7.5

Номер спостере-ження Продук-тивність праці

Фондо-міст-кість

Затрати на прикладні дослід-ження

1 2 3 4 5 6 7 8

1 5,3 8,5 20 5,5045 –1,26 0,0418 1,5876

2 5,5 8,8 21 5,6855 –1,06 0,0344 1,1236

3 5,7 8,9 21 5,7376 –0,86 0,0014 0,7396

4 5,9 9,1 23 5,8910 –0,86 0,00008 0,4356

5 6,2 9,3 25 6,0445 –0,66 0,0242 0,1296

6 6,4 9,5 26 6,1733 –0,36 0,0514 0,0256

7 6,6 9,7 27 6,3022 –0,16 0,0886 0,0016

Закінчення табл. 7.5

98,4 154,1 380

0,4318 7,616

Розв’язання

1. Ідентифікуємо змінні:

— продуктивність праці, залежна змінна;

— фондомісткість, незалежна змінна;

— затрати на прикладні дослідження.

2. Специфікуємо економетричну модель у лінійній формі:

;

.

3. Визначимо інструментальні змінні.

3.1. Розрахуємо середні значення пояснюючих змінних:

;

3.2. Знайдемо відхилення кожної пояснюючої змінної від свого середнього
значення та впорядкуємо ці відхилення в порядку зростання.

Таблиця 7.6

1 –1,8 –5,3 1 –5,3 1 1 1

2 –1,5 –4,3 2 –4,3 2 2 2

3 –1,4 –4,3 3 –4,3 3 3 3

4 –1,2 –2,3 4 –2,3 4 4 4

5 –1,0 –0,3 5 –0,3 5 5 5

6 –0,8 0,7 6 0,7 6 6 6

7 –0,6 1,7 7 0,7 7 7 8

8 –0,2 1,7 8 1,7 8 8 9

9 0,1 2,7 9 1,7 9 9 14

10 0,3 2,7 10 1,7 10 10 15

11 1,0 1,7 11 1,7 11 11 10

12 1,4 0,7 12 1,7 12 12 7

13 1,5 1,7 13 1,7 13 13 11

14 1,6 1,7 14 2,7 14 14 12

15 2,2 1,7 15 2,7 15 15 13

.

, використовуючи оператор інструментальних змінних:

,

— матриця інструментальних змінних;

;

— вектор залежної змінної;

— матриця пояснюючих змінних.

:

4.2. Знайдемо добуток

4.4. Знайдемо добуток матриць:

4.5. Визначимо оцінки параметрів моделі:

.

Економетрична модель у даному випадку:

.

5. Знайдемо розрахункові значення продуктивності праці (залежної
змінної) на основі моделі, визначимо залишки та їх дисперсію (див.
табл. 7.5).

.

.

6. Визначимо коефіцієнти детермінації і кореляції:

;

.

7. Розрахуємо матрицю коваріацій оцінок параметрів моделі

.

8. Визначимо стандартні помилки оцінок параметрів моделі:

.

9. Аналіз економетричної моделі.

у 1,5 раза перевищує цю оцінку. Звідси можна зробити висновок, що
незважаючи на тісний зв’язок між змінними моделі, необхідно продовжити
дослідження, перш за все збільшивши сукупність спостережень.

ЛІТЕРАТУРА

Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980.

Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и
статистика, 1986.

Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12.

Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое
моделирование. –– М., 1975.

Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975.

Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964.

Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971.

Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы
математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962.

Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып.
1,2.

Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975.

Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в
эконометрии. –– М., 1979.

Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964.

Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978.

Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд.

Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States,
1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964.

PAGE

PAGE

Похожие записи