Реферат на тему:

Метод інструментальних змінних

Властивості оцінок моделі при стохастичних змінних

У попередніх розділах, розглядаючи модель

, і що всі ці змінні розподілені незалежно від залишків u, переважна
більшість цих результатів виконуватиметься і для тих економетричних
моделей, які мають стохастичну матрицю пояснювальних змінних X.

— оцінка скалярного параметра a. Верхній його індекс вказує на розмір
вибіркової сукупності, на основі якої оцінені ці параметри.

спостережень називається послідовністю оцінок:

.

.

називається асимпотичною дисперсією

.

Визначимо асимптотичні властивості оцінок 1МНК у загальній лінійній
моделі зі стохастичними пояснювальними змінними:

де X — незалежна щодо всіх і кожного з елементів вектора u, тобто:

(9.1а)

(9.1б)

. (9.1в)

Крім того, припустимо, що виконуються такі рівності:

; (9.2а)

; (9.2б)

. (9.2в)

Припущення (9.2а) означає: дисперсія стала для всіх залишків.

.

Припущення (9.2в) має такий зміст: границя за ймовірністю коваріацій між
змінними X і залишками u дорівнює нулю.

Оцінка параметрів a 1МНК подається у вигляді

.

Звідси

.

, здобута з допомогою 1МНК, є обгрунтованою.

така:

,

або

(9.3)

Оскільки

,

(9.4)

,

то 1МНК забезпечує обгрунтовану оцінку асимптотичних дисперсій і
коваріацій помилок, коли в моделі пояснювальні змінні є стохастичними.

Дуже часто на практиці змінні X не можуть бути повністю незалежними від
u, як це припускалося раніше. Наприклад, однією з пояснювальних змінних
може бути лагове значення залежної змінної Y, що може призвести до
зміщення оцінки 1МНК для кінцевих вибіркових сукупностей.

Розглянемо модель

, (9.5)

.

, може бути відсутня. Як ми бачили, обгрунтованість оцінки 1МНК
залежить від двох припущень:

Для (9.5) друга умова має вигляд

. А це означає, що для моделі, яка містить лагові значення залежної
змінної, можна чекати, що оцінка 1МНК буде обгрунтованою.

Метод інструментальних змінних

Якщо одна чи більше зі змінних Х гранично корелює із залишками, тобто

,

, ми можемо дістати всі елементи векторa ( необгрунтованими.

Кореляція між пояснювальними змінними і залишками є досить серйозною
перепоною для застосування 1МНК. Така кореляція може виникнути з різних
причин, але основними є три:

1) помилки вимірювання пояснювальних змінних;

2) побудова економетричної моделі за системою одночасових рівнянь;

3) наявність в економетричній моделі лагових змінних.

, то ця змінна входить до переліку пояснювальних змінних моделі, які в
такому разі стають стохастичними. Вони включають лагову залежну змінну,
яка є стохастичною і має зв’язок із залишками.

При існуванні кореляції між пояснювальними змінними і залишками можна
застосувати поширений альтернативний метод оцінювання, який називається
методом інструментальних змінних.

Розглянемо модель

, (9.6)

для якої

.

Припустимо, що існує матриця Z порядку n ( m, яка має такі властивості:

; (9.7)

, (9.8)

— невироджена і, крім того, існує границя

(9.9)

Отже, припускається, що змінні Z гранично некорельовані із залишками u,
а їх перехресні моменти зі змінними X не всі дорівнюють нулю і створюють
невироджену матрицю. Якщо деякі зі змінних X не корелюють із залишками
u, то їх можна використовувати для формування стовпців матриці Z і
знаходити додаткові інструментальні змінні лише для тих стовпців, що
залишилися.

Оператор оцінювання вектора a з допомогою інструментальних змінних можна
записати так:

(9.10)

:

(9.11)

, то

Звідси дістаємо оператор оцінювання (9.10), який забезпечує визначення
обгрунтованої оцінки, у чому можна переконатися, підставивши (9.6) у
(9.10). маємо:

;

Асимптотична матриця коваріацій

(9.12)

На практиці (9.12) обчислюють так:

(9.13)

.

Реальна трудність застосування цього методу полягає в знаходженні
змінних, які можна використовувати як інструментальні. Істиний розподіл
їх встановити практично неможливо, а тому важко переконатися, що вибрані
інструментальні змінні справді не корелюють із залишками. Водночас ці
змінні повинні мати досить високу кореляцію зі змінними X, бо в
противному разі вибіркові дисперсії для оцінок, здобутих за допомогою
інструментальних змінних, будуть дуже великими.

Коротко вимоги до інструментальних змінних Z можна сформулювати так:

1) Z тісно пов’язані з X;

2) Z зовсім не пов’язані із залишками u.

Визначення інструментальних змінних

Розглядаючи способи визначення інструментальних змінних, скористаємося
найпростішими економетричними моделями, які використовувались в різних
операторах оцінок.

9.3.1. Оператор оцінювання Вальда

Нехай економетрична модель має вигляд

(9.14)

У такому разі, якщо вибіркова сукупність містить парне число
спостережень, то матриця інструментальних змінних Z запишеться так:

Щоб визначити другий рядок цієї матриці, необхідно виконати такі дії

1. знайти відхилення кожного елемента вектора X від медіани.

Матриця пояснювальних змінних для цієї моделі запишеться у вигляді:

Матриця інструментальних змінних на основі даної матриці замість рядка
пояснювальної змінної міститиме рядок інструментальної.

2. величини відхилень, що мають знак «плюс», замінюються на одиниці,
величини відхилень, що мають знак «мінус», — на одиниці з цим знаком.

Використовуючи оператор оцінювання

,

маємо:

(9.15)

. Звідси

(9.16)

у моделі (9.14) подається у вигляді:

(9.17)

причому

Коли вибіркова сукупність містить непарне число спостережень, то перш
ніж розпочинати обчислення, необхідно відкинути середнє спостереження.

При загальних припущеннях оцінка, яка здобута методом Вальда, є
обгрунтованою, але її вибіркова дисперсія може бути досить великою,
тобто оцінка є неефективною.

Особливості оцінювання методом Бaртлета

Бартлет показав, що ефективність оцінки можна збільшити, якщо розбити
впорядковані значення змінної X на три групи однакового розміру. Перша з
них містить найменші значення X, друга — середні, а третя — найбільші.
Вилучивши середню группу — n/3 cпостережень, дістанемо оцінку для
параметра :

(9.19)

— середні величини для спостережень, які потрапили в дві крайні групи.
Вільний член оцінюється так само, як і в (9.18).

Поділ вибіркової сукупності спостережень на три рівні групи має
задовольняти вимоги прикладних досліджень, оскільки немає змоги дістати
точну інформацію про закон розподілу значень X.

Оператор оцінювання Дарбіна

Дарбін запропонував упорядковувати значення вектора X в порядку
зростання і ввів як інструментальну змінну порядковий номер (ранг),
тобто числа 1, 2, 3, 4, … n. Учений показав, що для великих вибіркових
сукупностей ефективність застосування такого методу оцінювання досягає
майже 96 % від ефективності оцінок 1МНК, а для сукупностей n = 20
ефективність застосування такого методу оцінювання становить близько
86 %.

Модель Дарбіна не має вільного члена. Щоб застосувати його метод для
оцінювання всіх параметрів моделі, у тому числі й для вільного члена,
матриці змінних подамо у вигляді:

, які впорядковуються за зростанням.

Оператор оцінювання

, (9.20)

, де і — порядковий номер.

Дисперсія оцінок параметрів

. (9.21)

Метод Дарбіна можна застосовувати і тоді, коли модель містить кілька
пояснювальних змінних. У такому разі спочатку знаходяться відхилення
значень кожної змінної од відповідного середнього значення. Потім ці
відхилення упорядковуються за зростанням і кожному з них присвоюється
порядковий номер.

Помилки вимірювання змінних

Раніше ми припускали, що змінні вимірюються без помилок, і лише
відхилення u — це єдина припустима форма помилок. Останнє було пов’язане
з наміром врахувати вплив різних пояснювальних змінних, які не входять
до економетричної моделі в явному вигляді.

Проте досить часто при вимірюванні змінних, які належать до
економетричної моделі, припускаються помилок. Тоді постає запитання, як
наявність помилок змінних може вплинути на оцінку параметрів моделі?

,

.

®

°

D F ? ? »

$

gd$.A

gd$.A

$

*

,

R

T

V

X

¤

¦

E

E

gd$.A

gd$.A

???????????A

j

j

+\,?,>-?-oe0V2z2A2O2oocossssssssssoc*oooooooE?

gd$.A

gd$.A

gd$.A

:N;?;°;?;iaOOaAaa¶a¶a?a??a

gd$.A

$

gd$.A

APAcA¤AiA.CrC3/4CthCE0E?E4F1/4FiFiaiaOaaaEEaEa?aaaa

$

gd$.A

$

gd$.A

gd$.A

gd$.A

\V\E\]D]’_E_AaRcBANA’A~A¬AUeAaeA(A’AAeA2AoccUOcUcEccccUcc?OUc?c

gd$.A

a$gd$.A

gd$.A

$, елементи якої містять помилки.

Нехай

(9.22)

— матриця розміром n ( m справжніх (фактичних) значень, а V — матриця
помилок вимірювання.

Тоді модель має вигляд

або

(9.23)

Оцінка параметрів для цієї моделі 1МНК матиме вигляд

,

— величина зміщення оцінки.

Обгрунтованість цієї оцінки залежить від того, чи дорівнює нулю

.

Запишемо

За припущення, що залишки u не корелюють гранично зі змінними X (як зі
справжніми значеннями, так і з їх помилками), можна стверджувати таке:

.

Проте

Отже, навіть тоді, коли помилки вимірювання змінних X не корелюють зі
справжніми значеннями цих змінних і перший доданок у правій частині
дорівнює нулю, другий доданок, який характеризує матрицю коваріацій
помилок, здебільшого не дорівнює нулю. А це означає, що за наявності
помилок вимірювання змінних оцінка параметрів моделей 1МНК є
необгрунтованою і асимпотичне зміщення визначається формулою

Наприклад, якщо ми оцінюємо параметри моделі з двома змінними 1МНК, то
зміщення

або

(9.24)

— дисперсія справжніх значень X, причому припускаємо, що помилки
вимірювання не корелюють із цими значеннями X.

відрізнятиметься від справжнього значення також майже на 10 %, тобто
за наявності помилок вимірювання змінних збільшення сукупності
спостережень не компенсує зміщення.

Тому при оцінюванні параметрів економетричної моделі, коли трапляються
помилки вимірювання змінних, доцільно застосувати метод інструментальних
змінних, який ми розглянули раніше.

Приклад 9.1. побудувати економетричну модель, яка характеризує
залежність між зайнятістю населення і виробництвом продукції,
скориставшись даними, наведеними в табл. 9.1. Ці дані можуть мати
помилки вимірювання.

Таблиця 9.1

Рік 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Виробництво 130 128 194 157 195 205 142 225 168 133

Зайнятість 114 96 134 112 113 144 105 150 109 110

Розв’язання.

1. Ідентифікація змінних і специфікація моделі.

Нехай X — виробництво продукції, незалежна (пояснювальна) змінна, Y —
зайнятість населення, залежна змінна.

Економетрична модель має вигляд

Yt = a0 + a1Xt + ut ;

.

2. Оцінка параметрів моделі.

Оскільки вихідні дані можуть мати помилки вимірювання, то для оцінювання
параметрів моделі застосуємо метод інструментальних змінних.

2.1. Оператор оцінювання за методом інструментальних змінних

,

де Z — матриця інструментальних змінних; X — матриця пояснювальних
змінних.

2.2. Визначимо матрицю інструментальних змінних за методом Дарбіна. Для
цього впорядкуємо значення вектора X від меншого до більшого і надамо
кожному елементу цього вектора порядковий номер. Запишемо ці дані в
табл. 9.2.

Таблиця 9.2

Y X Інструментальна

.

Оскільки економетрична модель має вільний член, перший рядок матриці
інструментальних змінних складається з одиниць, а другий є
інструментальною змінною замість вектора пояснювальної змінної X.

Матриця X має вигляд

.

2.3. Знайдемо оцінки параметрів моделі

де і — інструментальна змінна, порядковий номер,

.

Звідси економетрична модель запишеться так:

.

). Ці значення і відхилення їх від фактичних наведено в табл. 9.2.

3. Визначимо коваріаційну матрицю оцінок параметрів моделі:

.

.

.

.

.

.

.

.

4. Знайдемо стандартні помилки оцінок параметрів моделі

;

.

становить близько 17 %, а стандартна помилка вільного члена перевищує
його абсолютну величину в кілька разів, то можна стверджувати про
наявність зміщення цих оцінок параметрів моделі та їх неефективність.

висновки

1. В економетричній моделі Y = XA + u пояснювальні змінні X можуть бути
як детермінованими, що набувають своїх значень з деякої множини
фіксованих чисел, так і стохастичними, які набувають своїх значень з
певним рівнем імовірності.

та змінні X розподілені незалежно від залишків u, то основна частина
висновків про перевірку значущості моделі та її параметрів, побудову
довірчих інтервалів справджуватиметься й тоді, коли X — стохастичні
величини.

3. У загальній лінійній моделі зі стохастичними пояснювальними змінними
асимптотичні властивості оцінок 1МНК визначаються так:

.

До того ж висуваються такі припущення:

;

;

.

У такому разі 1МНК забезпечує обгрунтовану оцінку асимптотичних
дисперсій і коваріацій помилок, коли в моделі пояснювальні змінні є
стохастичними.

, тобто границя за ймовірністю коваріацій між змінними X і залишками u
не дорівнює нулю, то оцінки 1МНК для скінченних вибіркових сукупностей
можуть мати зміщення.

5. Кореляція між змінними X і залишками u може виникати з різних причин;
основними з них є три:

1) помилки вимірювання пояснювальних змінних;

2) наявність у моделях лагових змінних;

3) побудова економетричної моделі на основі системи одночасових
структурних рівнянь.

6. У разі існування кореляції між пояснювальними змінними та залишками
для оцінювання параметрів моделі можна застосувати альтернативний метод,
який називається методом інструментальних змінних.

за допомогою інструментальних змінних запишеться так:

Цей вектор забезпечує визначення обгрунтованної оцінки параметрів
моделі. Асимптотична матриця коваріацій:

.

7. Застосування методу інструментальних змінних пов’язане зі
знаходженням змінних, які можна використовувати як інструментальні.
Вимоги до інструментальних змінних коротко можна сформулювати так:

1) інструментальні змінні Z мають бути тісно пов’язані з X;

2) Z зовсім не пов’язані із залишками u.

8. В економетричних дослідженнях пропонуються три методи визначення
інструментальних змінних, на основі яких знайдено оператори оцінювання
параметрів моделі:

1) оператор оцінювання Вальда;

2) оператор оцінювання Бартлета;

3) оператор оцінювання Дарбіна.

9. Оператори оцінювання Вальда і Бартлета застосовуються тоді, коли
економетрична модель характеризує зв’язок двох змінних, тобто модель має
вигляд Yt = a0 + a1xt + ut, а оператор оцінювання Дарбіна може бути
застосований і тоді, коли економетрична модель має більш як одну
пояснювальну змінну.

10. В операторі оцінювання Вальда інструментальні змінні визначаються
так:

1) знаходиться відхилення кожного елемента пояснювальної змінної від
медіани;

2) величини, що мають знак «плюс», замінюються одиницями, а величини, що
мають знак «мінус» — одиницями з цим знаком.

, дістаємо оцінки Вальда:

.

11. В операторі оцінювання Бартлета інструментальні змінні визначаються
як і в операторі Вальда. Але Бартлет запропонував розбити упорядковані
значення змінної X на три групи однакового розміру і вилучити середню
групу спостережень з розрахунку. Оператор оцінювання параметрів
Бартлета:

— середні значення змінних для спостережень третьої і першої груп.

12. В операторі оцінювання Дарбіна інструментальні змінні визначаються
так:

1) значення вектора X упорядковуються в порядку зростання;

2) упорядковані значення X замінюються порядковим номером (рангом),
тобто числами 1, 2, 3, 4, … , n.

Оператор оцінювання має вигляд

,

де i — порядковий номер (інструментальна змінна).

Якщо оператор оцінювання Дарбіна застосовується тоді, коли економетрична
модель має кілька пояснювальних змінних, то спочатку відшукуються
відхилення значень кожної змінної від її середнього значення, потім вони
упорядковуються за зростанням і кожному присвоюється порядковий номер.

Часто при вимірюванні змінних, які входять до економетричної моделі,
припускаються помилок. У такому разі оцінка параметрів 1МНК матиме
зміщення, яке можна записати так:

— дисперсія справжніх значень X;

— дисперсія помилки вимірювання X.

Цього зміщення можна уникнути, якщо для оцінювання параметрів моделі
скористатися методом інструментальних змінних.

ЛІТЕРАТУРА

Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980.

Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и
статистика, 1986.

Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12.

Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое
моделирование. –– М., 1975.

Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975.

Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964.

Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971.

Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы
математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962.

Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып.
1,2.

Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975.

Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в
эконометрии. –– М., 1979.

Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964.

Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978.

Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд.

Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States,
1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964.

PAGE

Похожие записи