Реферат на тему:

Гетероскедастичність

Передумови, які висуваються при оцінці параметрів моделі за методом
1МНК на практиці часто можуть порушуватись. Однією з таких передумов є
незмінність дисперсії залишків для всіх спостережень вихідної
сукупності. Це явище називається гомоскедастичністю. В практичних
дослідженнях воно часто порушується. Наприклад, в економетричній моделі,
що характеризує залежність витрат на споживання від доходу, дисперcія
залишків може змінюватись для спостережень, які відносяться до різних
груп населення за розміром доходів.

Якщо дисперсія залишків в економетричному моделюванні змінюється для
кожного спостереження або для груп спостережень, то це явище називається
гетероскедастичністю.

Наявність гетероскедастичності спричиняє порушення властивостей оцінок
параметрів моделі при розрахунку їх за методом 1МНК. Тому завжди виникає
необхідність вивчати це явище, і, якщо воно існує, для оцінки параметрів
моделі використовувати узагальнений метод найменших квадратів (метод
Ейткена).

Для визначення гетероскедастичності застосовуються чотири критерії:

1) Fкритерій (;

2) параметричний тест Гольдфельда—Квандта;

3) непараметричний тест Гольдфельда—Квандта;

4) тест Глейсера.

1. Критерій (

Цей метод застосовується в тих випадках, коли вихідна сукупність
спостережень досить велика. Розглянемо цей алгоритм.

згідно із зміною рівня величини Y.

Крок 2. По кожній групі даних розраховується сума квадратів відхилень:

.

Крок 3. Розраховується сума квадратів відхилень у цілому по всій
сукупності спостережень:

.

Крок 4. Обчислюється параметр (:

,

де n — загальна сукупність спостережень;

nr — кількість спостережень r-ї групи.

:

,

менше табличного значення X2 при вибраному рівні довіри і ступені
свободи k – 1, то явище гетероскедастичності відсутнє.

2. Параметричний тест Гольдфельда—Квандта

Коли сукупність спостережень невелика, то розглянутий метод 1
застосовувати неможливо.

, тобто дисперсія залишків зростає пропорційно квадрату однієї із
незалежних змінних моделі:

.

Вони запропонували для виявлення наявності гетероскедастичності
параметричний тест, в якому треба виконати наступні кроки.

Крок 1. Упорядкувати спостереження згідно з величиною елементів вектора
xj.

— кількість елементів вектора xj.

.

перевищує кількість змінних m.

Крок 4. Знайти суму квадратів залишків за першою (1) і другою (2)
моделях S1 і S2.

— залишки по моделі (1) ;

— залишки по моделі (2).

Крок 5. Розрахувати критерій R:

,

табл , то гетероскедастичність відсутня.

3. Непараметричний тест Гольдфельда—Квандта

Гольфельд і Квандт запропонували також для оцінки наявності
гетероскедастичності непараметричний тест. Цей тест базується на числі
піків у величині залишків після упорядкування спостережень по xij.

4. Тест Глейсера

. Для цього використовуються такі види функцій:

;

;

і т.п.

. Нагадаємо, що:

.

Якщо при економетричному моделюванні для певних вихідних даних буде
виявлено явище гетероскедастичності, то оцінку параметрів моделі треба
виконувати на основі узагальненого методу найменших квадратів. Оператор
оцінювання цим методом запишеться:

,

де

.

В даній матриці залежно від висунутої гіпотези:

;

;

.

Прогноз на основі економетричної моделі, в якій оцінка параметрів
виконана узагальненим методом найменших квадратів, можна отримати на
основі такого співвідношення:

,

де u — вектор залишків, який відповідає оцінці параметрів моделі на
основі 1МНК;

— транспонований вектор коваріацій поточних і прогнозних значень
залишків;

.

Застосування параметричного тесту

Гольдфельда—Квандта для визначення

гетероскедастичності

Приклад 5.1. Нехай треба побудувати економетричну модель, яка
характеризує залежність заощаджень від доходів населення. Для побудови
цієї моделі використовується вихідна сукупність даних, яка включає 18
спостережень. Ці дані та розрахунки на основі їх наведені в табл. 5.1.
Виходячи із сутності взаємозв’язку величини заощаджень та доходу
населення, можна припустити, що дисперсія залишків не є постійною для
кожного спостереження, тобто тут може існувати явище
гетероскедастичності. Тому, щоб правильно вибрати метод для оцінки
параметрів моделі, необхідно перевірити, чи властива
гетероскедастичність для наведених вихідних даних.

Таблиця 5.1

Рік Заощадження

Дохід*

l ?

~ > oooooooooooocccccccccoccco

`„7

d8`„7a$

??????

Ff?

0,7884

7,0357

* В таблиці дані впорядковані за величиною доходу, починаючи від меншого
до більшого значення.

Розв’язання

1. Ідентифікація змінних:

,

Y — залежна змінна (заощадження);

Х — незалежна змінна (дохід);

u — стохастична складова.

2. Специфікація моделі:

3. Визначимо наявність гетероскедастичності. Для цього застосуємо
алгоритм Гольдфельда—Квандта. Дану сукупність спостережень впорядкуємо
по X від меншого до більшого значення. Відшукуємо C спостережень, які
знаходяться в середині сукупності:

.

.

.

Оцінимо кількісно параметри моделі на основі 1МНК.

— перша економетрична модель.

На оcнові моделі можна зробити висновок: і якщо дохід виросте на 1, то
заощадження збільшаться на 0,0069 одиниці.

Оцінимо кількісно параметри моделі на основі 1МНК.

— друга економетрична модель.

На основі моделі можна зробити висновок: і якщо дохід виросте на 1, то
заощадження збільшаться на 0,1649 одиниці для даної сукупності
спостережень.

3.3. Для кожної моделі знайдемо суму квадратів залишків:

;

;

3.4. Знаходимо критерій R:

.

табл.

Оцінка параметрів моделі на основі узагальненого

методу найменших квадратів (методу Ейткена)

Приклад 5.2. Необхідно оцінити параметри економетричної моделі, яка
характеризує залежність витрат на харчування від загальних затрат на
основі даних, що наведені в табл. 5.2.

Таблиця 5.2

Номер

1 2 3 4 5 6

1 2,30 15 2,16 0,14 0,020

2 2,20 15 2,16 0,04 0,002

3 2,08 16 2,20 –0,12 0,015

4 2,20 17 2,25 –0,05 0,002

5 2,10 17 2,25 –0,15 0,022

6 2,32 18 2,29 0,26 0,0007

7 2,45 19 2,34 0,11 0,012

Закінчення табл. 5.2

1 2 3 4 5 6

8 2,50 20

9 2,20 20

10 2,50 22

11 3,10 64

12 2,40 68 2,37 0,13 0,016

13 2,82 72 2,52 0,29 0,085

14 3,04 80 2,68 0,36 0,128

15 2,70 85 2,99 –0,29 0,084

16 3,91 90 3,18 0,76 0,573

17 3,10 95 3,38 –0,28 0,076

18 3,99 100 3,57 0,42 0,178

Виходячи з особливостей вихідної інформації, можна припустити, що
порушується гіпотеза про незмінність дисперсії.

Розв’язання

1. Ідентифікуємо змінні моделі:

— витрати на харчування, залежна змінна;

— загальні затрати, незалежна змінна;

.

2. Перевіримо наявність гетероскедастичності для наведених вихідних
даних на основі параметричного тесту Гольдфельда—Квандта.

2.1. Впорядкуємо значення незалежної змінної X від меншого до більшого і
відкинемо C значень, які знаходяться всередині впорядкованого ряду:

.

2.2. На основі отриманих двох сукупностей спостережень (від першого до
сьомого включно і від одинадцятого до вісімнадцятого значення) побудуємо
дві економетричні моделі за методом 1 МНК.

;

X.

2.3. Визначимо залишки по цих двох моделях:

;

.

Залишки та квадрати залишків наведені в табл. 5.2.

:

.

крит, вихідні дані мають гетероскедастичність.

3. При наявності гетероскедастичності оцінку параметрів моделі виконаємо
методом Ейткена:

.

3.1. Запишемо матриці змінних, які входять в оператор Ейткена:

.

, тобто

Визначимо добутки матриць:

;

3.3. Знайдемо обернену матрицю:

;

і вектор:

.

3.4. Обчислимо вектор оцінок параметрів моделі:

.

;

.

Економетрична модель витрат на харчування запишеться так:

.

4. Економічний аналіз характеристик економетричної моделі.

. Це означає, що на 72,2% варіація витрат на харчування залежить від
варіації загальних затрат.

свідчить про досить тісний зв’язок витрат на харчування і загальних
затрат.

показує, що розрахункові значення витрат на харчування дуже близькі до
фактичних.

свідчить про те, що збільшення загальних затрат на одиницю сприятиме
граничному зростанню витрат на харчування на 0,014 одиниць.

5. Розрахуємо матрицю коваріацій оцінок параметрів моделі:

Діагональні елементи цієї матриці є дисперсіями оцінок параметрів
моделі, інші елементи характеризують коваріацію між оцінками.

6. Визначимо стандартні помилки оцінок параметрів і знайдемо їх довірчі
інтервали

Для побудови довірчих інтервалів оцінок параметрів моделі знайдемо
t-критерій при ступенях свободи n – m = 12 і рівні довіри

.

Довірчі інтервали оцінок:

Рівень стандартних помилок та довірчі інтервали оцінок параметрів моделі
свідчать про те, що отримані оцінки є неефективними та зміщеними.

ЛІТЕРАТУРА

Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980.

Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и
статистика, 1986.

Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12.

Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое
моделирование. –– М., 1975.

Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975.

Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964.

Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971.

Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы
математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962.

Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып.
1,2.

Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975.

Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в
эконометрии. –– М., 1979.

Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964.

Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978.

Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд.

Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States,
1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964.

PAGE

PAGE

Похожие записи