Реферат на тему:

Дисперсійний аналіз економетричної моделі

Між оцінками параметрів економетричної моделі та коефіцієнтом
кореляції, що характеризує тісноту зв’язку, існує зв’язок. Для простої
економетричної моделі його можна записати так:

,

— коефіцієнт парної кореляції;

— середньоквадратичне відхилення відповідно залежної і незалежної
змінної.

Це співвідношення було покладено в основу алгоритму визначення
альтернативної оцінки параметрів моделі за методом 1МНК. Алгоритм має
назву покрокової регресії і наступні кроки:

Крок 1. Стандартизація (нормалізація) всіх змінних моделі:

, елементи якої розраховуються таким чином:

. Будується економетрична модель:

.

, то ця змінна вводиться в побудовану раніше економетричну модель; в
результаті дістанемо:

і т.д.

Процес продовжується до тих пір, поки всі незалежні змінні поступово
будуть включені в модель. Якщо є обмеження, яке вказує на недоцільність
розширення економетричної моделі за рахунок змінних, що залишилися, то
процес розрахунку закінчується раніше. Таким обмеженням може бути
співвідношення між коефіцієнтом кореляції чи детермінації, виправленими
й невиправленими на число ступеней свободи.

Система нормальних рівнянь у даному алгоритмі:

, тоді система рівнянь у матричному вигляді матиме такий вигляд:

.

, тобто отримаємо альтернативний оператор оцінювання параметрів моделі
за методом 1МНК.

відносяться до стандарти-зованих змінних, то щоб перейти до оцінок
параметрів моделі, в якій змінні мають свій початковий вимір, необхідно:

Множинний коефіцієнт детермінації, який визначає рівень варіації
залежної змінної за рахунок незалежних, розраховується таким чином:

, чи

.

Коефіцієнт детермінації без урахування числа ступеней свободи:

.

Співвідношення між ними дорівнюватиме:

.

характеризує тісноту зв’язку між залежною і незалежними змінними.
Множинний коефіцієнт детермінації і кореляції знаходяться на множині

Якщо оцінка параметрів моделі отримана на основі покрокової регресії, то
для визначення коефіцієнта детермінації можна використати такі
співвідношення:

;

.

-критерію:

.

табл , то гіпотеза про суттєвість зв’язку між залежною і незалежними
змінними економетричної моделі підтверджується, в протилежному випадку —
відкидається.

— критерію через коефіцієнт детермінації:

.

— критерію:

.

табл , то відповідний параметр економетричної моделі є достовірним.

:

.

Прогноз залежної змінної на основі економетричної моделі при заданих
залежних змінних можна виконати на основі такого співвідношення:

.

є стандартною помилкою прогнозу:

,

— прогнозні значення незалежних змінних.

Приклад дисперсійного аналізу економетричної

моделі та прогноз

Приклад 3.1. Визначити коефіцієнти детермінації та кореляції для
економетичної моделі, яка побудована в прикладі 2.1. Перевірити гіпотезу
про суттєвість зв’язку на основі F- і t- критеріїв. Виконати прогноз
витрат на харчування, якщо загальні затрати становитимуть 900 одиниць, а
середній склад сім’ї – 8,5.

Розв’язання

Економетрична модель має вигляд:

.

1. Визначимо коефіцієнт детеpмінації на основі співвідношення:

,

— відповідно залишкова й загальна дисперсії.

.

Це значення коефіцієнта детермінації свідчить про те, що варіація витрат
на харчування на 96,09% визначається варіацією загальних затрат і складу
сім’ї.

. Оскільки коефіцієнт кореляції наближається до одиниці, то це
свідчить, що зв’язок між витратами на харчування, загальними затратами і
складом сім’ї є дуже тісним.

3. Визначимо F- критерій (критерій Фішера):

.

Оскільки Fфакт > Fтабл, то гіпотеза про значущість зв’язку, який
описується економетричною моделлю, підтверджується.

4. Розрахуємо t- критерії:

дорівнює 2,16. Враховуючи, що

. У цьому випадку tтабл = 1,77. А це означає, що 10-процентний рівень
довіри підтверджує значущість вільного члена моделі.

5. Побудуємо довірчі інтервали для оцінок параметрів моделі:

Розрахуємо прогнозне значення витрат на харчування на основі еконо-

метричної моделі.

6.1. Визначимо точковий прогноз витрат на харчування на основі моделі:

6.2. Знайдемо дисперсію прогнозу:

.

6.3. Стандартна помилка прогнозу:

6.4. Визначимо довірчі інтервали прогнозного рівня витрат на харчування:

.

.

Таким чином, точковий прогноз витрат на харчування дорівнює 233,1678
одиниць, а інтервальний буде знаходитись у межах від 211,8896 до
254,4455 одиниць.

Приклад 3.2. Побудувати економетричну модель, яка характеризує
залежність між продуктивністю праці, фондомісткістю продукції та
плинністю робочої сили, на основі покрокової регресії. Перевірити
достовірність моделі та її параметрів. Дати змістовне тлумачення
параметрів моделі. Вихідні дані наведені в табл. 3.1.

Таблиця 3.1

№ п / п Продуктивність

праці Фондомісткість продукції Плинність робочої сили

1 32 1,0 20

2 29 0,5 16

3 30 0,8 14

4 31 0,7 10

5 25 0,6 24

6 34 0,6 13

7 29 0,8 18

8 24 0,5 15

9 20 0,6 15

10 33 1,0 8

Розв’язання

1. Ідентифікуємо змінні моделі:

Y — продуктивність праці, залежна змінна;

X1 — фондомісткість продукції, незалежна змінна;

X2— плинність робочої сили, незалежна змінна.

У загальному вигляді економетрична модель:

.

hS

jQ hS

hS

hS

j hS

hS

j hS

hS

hS

hS

hS

hS

hS

hS

~

a V

?

gdS

a i V

X

x

z

|

?

 

c

¤

¦

?

o

u

hS

hS

j3/4 hS

hS

— hS

hS

hS

hS

j hS

hS

hS

hS

hS

??

UeIUeIkZUeIJIUeI- hS

j hS

hS

hS

hS

hS

hS

hS

j hS

hS

hS

hS

hS

hS

hS

hS

hS

j hS

j` hS

hS

&/eesseesseessessssessessessess/eesse

d8`„7a$

hS

hS

j hS

hS

hS

hS

hS

hS

j hS

hS

hS

j”9 hS

hS

jY7 hS

hS

jk4 hS

hS

hS

j hS

je1 hS

hS

hS

hS

jYA hS

jbI hS

hS

jEF hS

hS

j E hS

hS

hS

j hS

j]C hS

hS

hS

jaN hS

hS

j hS

hS

j/L hS

hS

hS

j hS

K hS

hS

hS

T hS

hS

jNR hS

hS

hS

hS

hS

j hS

j?P hS

hS

jssZ hS

hS

jUX hS

hS

hS

j hS

j?V hS

j?c hS

hS

juea hS

j~m hS

hS

j{k hS

hS

j?h hS

hS

hS

j hS

j!e hS

hS

hS

jTr hS

hS

^„o `„7

jHy hS

hS

jUw hS

hS

hS

j hS

jot hS

hS

hS

ja‚ hS

hS

hS

j hS

je? hS

hS

hS

hS

hS

hS

j»? hS

hS

jE? hS

hS

hS

j hS

jE? hS

hS

hS

hS

hS

hS

jd  hS

hS

hS

hS

jN? hS

hS

hS

j hS

j?— hS

j‰¬ hS

hS

j°© hS

hS

jS¦ hS

hS

hS

hS

hS

j hS

jrF hS

`„7a$

&

gdS

hS

jo? hS

hS

j?? hS

hS

jI? hS

hS

hS

hS

j hS

jA hS

hS

hS

hS

IlIlcc[OOO

Специфікуємо модель в лінійній формі:

Оскільки оцінка параметрів моделі за методом 1МНК виконуватиметься на
основі покрокової регресії, то спочатку буде побудована економетрична
модель виду:

,

де

3. Нормалізуємо змінні моделі. Розрахунки представимо в табл. 3.2.

Таблиця 3.2

1 32 1 20 3,3000 0,2900

4,7000 10.8900 0,0841 22,0900

2 29 0,5 16 0,3000 –0,2100

0,7000 0,0900 0,0441 0,4900

3 30 0,8 14 1,3000 0,0900

–1,3000 1,6900 0,0081 1,6900

4 31 0,7 10 2,3000 –0,0100

–5,3000 5,2900 0,0001 28,0900

5 25 0,6 24 –3,7000 –0,1100

8,7000 13,6900 0,0121 75,6900

6 34 0,6 13 5,3000 –0,1100

–2,3000 28,0900 0,0121 5,2900

7 29 0,8 18 0,3000 0,0900

2,7000 0,0900 0,0081 7,2900

Продовження табл. 3.2.

8 24 0,5 15 –4,7000 –0,2100

–0,3000 22,0900 0,0441 0,0900

9 20 0,6 15 –8,7000 –0,1100

–0,3000 75,6900 0,0121 0,0900

10 33 1 8 4,3000 0,2900

287 7,1 153

176,1 0,309 194,1

Продовження табл. 3.2

1 0,7864 1,6489 1,0668

2 0,0715 –1,1946 0,1589

3 0,3098 0,5120 –0,2951

4 0,5481 –0,0569 –1,2030

5 –0,8817 –0,6258 1,9747

6 1,2630 –0,6258 –0,5221

7 0,0715 0,5120 0,6128

8 –1,1200 –1,1946 –0,0681

9 –2,0732 –0,6258 –0,0681

10 1,0247 1,6498 –1,6570

Середні значення:

.

Дисперсія:

Середньоквадратичні відхилення:

;

4. Побудуємо кореляційну матрицю (матрицю парних коефіцієнтів
кореляції):

.

Розрахунок елементів кореляційної матриці наведено в табл. 3.3.

Таблиця 3.3

0,6184 2,7217 1,1381 1,2973 0,8389 1,7600

0,0051 1,4272 0,0252 –0,0854 0,0114 –0,1898

0,0960 0,2621 0,0871 0,1586 –0,0914 –0,1511

0,3004 0,0032 1,4472 –0,0312 –0,6593 0,0684

0,7774 0,3916 3,8995 0,5517 –1,7411 –1,2357

1,5951 0,3916 0,2725 –0,7903 –0,6593 0,3267

0,0051 0,2621 0,3756 0,0366 0,0438 0,3138

1,2544 1,4272 0,0046 1,3380 0,0763 0,0813

4,2981 0,3916 0,0046 1,2973 0,1412 0,0426

1,0500 2,7217 2,7455 1,6905 –1,6978 –2,7336

Всього

10,0000 10,0000 10,0000 5,4632 –3,7375 –1,7174

Звідси кореляційна матриця:

.

5. Враховуючи, що

,

то на першому етапі треба побудувати економетричну модель виду:

.

має вигляд:

Запишемо модель:

,

, в результаті модель набуде такого вигляду:

.

Система рівнянь для визначення параметрів цієї моделі:

Розв’язавши систему рівнянь, отримаємо:

Економетрична модель має вигляд:

.

7. Розрахуємо коефіцієнти детермінації та кореляції:

Це значення коефіцієнта детермінації свідчить про те, що варіація
продуктивності праці лише на 37,9% визначається варіацією фондомісткості
продукції та плинності робочої сили.

Коефіцієнт кореляції характеризує не тісний зв’язок факторів із
продуктивністю праці.

8. Оцінимо достовірність моделі та її параметрів на основі критеріїв
Фішера та Стьюдента.

Fтабл = 19,36. Оскільки Fфакт < Fтабл, то нульова гіпотеза відносно суттєвості зв’язку, який вимірюється на основі економетричної моделі, відхиляється. Це означає, що економетрична модель є недостовірною, тому перевірка значущості оцінок параметрів моделі є недоцільною. 9. Виконаємо перехід до економетричної моделі, в якій змінні виражені в абсолютних значеннях (вони наведені в табл. 3.1) . 10. Наведемо розраховані економетричні моделі в даному прикладі і дамо змістовне тлумачення параметрів цих моделей. ; . це свідчить, що фондомісткість продукції сильніше впливає на продуктивність праці, ніж плинність робочої сили. В другій економетричній моделі, яка характеризує зв’язок продуктивності праці з фондомісткістю продукції та плинністю робочої сили, коли кожний економічний показник має свою початкову одиницю виміру, є вільний член. Його рівень залежить від початку відрахунку змінних, а також від одиниць виміру кожної змінної моделі. та співвідношення середніх значень продуктивності праці і кожного із факторів зокрема, знайдемо коефіцієнти еластичності: = – 0,15, а це означає, що граничне збільшення продуктивності праці при зниженні плинності робочої сили на 1% складатиме 0,15%. ЛІТЕРАТУРА Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980. Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1986. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12. Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое моделирование. –– М., 1975. Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975. Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962. Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып. 1,2. Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975. Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в эконометрии. –– М., 1979. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978. Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд. Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States, 1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964.

Похожие записи