Реферат на тему:

Автокореляція

Причини виникнення автокореляції

в економетричних моделях

Поняття автокореляції

Означення 8.1. Автокореляція — це взаємозв’язок послідовних елементів
часового чи просторового ряду даних.

В економетричних моделях особливе значення має автокореляція залишків.
Звернемось знову до другої необхідної умови лінійної моделі:

Це означає, що коваріації між залишками економетричної моделі відсутні,
а дисперсія є сталою для всіх спостережень. Ці умови були названі в
розд. 7 явищем гомоскедастичності. У цьому самому розділі було показано,
що за відсутності коваріації залишків дисперсія може змінюватися для
груп спостережень чи для кожного спостереження. Ці умови були названі
явищем гетероскедастичності.

В економетричних дослідженнях часто виникають і такі ситуації, коли
дисперсія залишків стала, але спостерігається їх коваріація. Це явище
називають автокореляцією залишків.

Автокореляція залишків найчастіше спостерігається тоді, коли
економетрична модель будується на основі часових рядів. Якщо існує
кореляція між послідовними значеннями деякої незалежної змінної, то
спостерігатиметься і кореляція послідовних значень залишків.

Автокореляція може бути також наслідком помилкової специфікації
економетричної моделі. Крім того, наявність автокореляції залишків може
означати, що необхідно ввести до моделі нову незалежну змінну.

У загальному випадку ми вводимо до моделі лише деякі з істотних змінних,
а вплив змінних, які виключені з моделі, має позначитися на зміні
залишків. Існування кореляції між послідовними значеннями виключеної з
розгляду змінної не обов’язково має тягти за собою відповідну кореляцію
залишків, бо вплив різних змінних може взаємно погашатися. Якщо
кореляція послідовних значень виключених з моделі змінних
спостерігається, то загроза виникнення автокореляції залишків стає
реальністю.

Проілюструємо проблему автокореляції залишків на прикладі економетричної
моделі з двома змінними. Нехай

, (8.1)

задовольняють схему авторегресії першого порядку, тобто залежать
тільки від залишків попереднього періоду:

(8.2)

мають такі властивості:

Величина ( характеризує рівень взаємозв’язку кожного наступного значення
з попереднім, тобто коваріацію залишків.

Специфікація моделі (8.1) на відміну від моделей, які розглядались у
розд. 7, має індекс t, що свідчить про її динамічний характер, тобто t —
період часу, для якого будується така модель на основі динамічних
(часових) рядів вихідних даних.

Розглянемо залишки моделі ut, враховуючи (8.2):

Звідси

(8.3)

.

.

незалежні, запишемо

Тоді

(8.4)

Коваріація послідовних значень залишків запишеться у вигляді

і в загальному випадку

(8.5)

тобто для моделі (8.1) не задовольняється гіпотеза про незалежність
послідовних значень залишків.

Вираз (8.5) можна записати так:

. (8.6)

Це означає, що за наявності автокореляції залишків друга необхідна умова
подається у вигляді:

, або

тобто

. (8.7)

Порівнявши матрицю, яку маємо в даному разі, з матрицею за наявності
гетероскедастичності, побачимо, що вони істотно відрізняються одна від
одної. Це пов’язано з тим, як порушується друга умова для застосування
методу 1МНК при явищі гетероскедастичності та автокореляції.

для автокореляційних залишків ми стикаємося з другою формою порушення
цієї гіпотези.

Наслідки автокореляції залишків

Якщо знехтувати автокореляцією залишків і оцінити параметри моделі 1МНК,
то дійдемо таких трьох наслідків.

можуть бути невиправдано великими.

2. Оскільки вибіркові дисперсії обчислюються не за уточненими формулами,
то статистичні критерії t- і F-cтатистики, які знайдено для лінійної
моделі, практично не можуть бути використані в дисперсійному аналізі.

3. Неефективність оцінок параметрів економетричної моделі призводить, як
правило, до неефективних прогнозів, тобто прогнозів з дуже великою
вибірковою дисперсією.

така:

(8.8)

Припустимо, що незалежні змінні і залишки можна подати у вигляді
стаціонарних марковських процесів першого порядку, тобто:

(8.9)

Якщо коефіцієнти ( і ( додатні, то говорять про додатну автокореляцію.
Від’ємна автокореляція в економетричних моделях спостерігається дуже
рідко.

:

. (8.10)

, тобто істинне значення дисперсії у чотири з половиною рази
перевищуватиме те, яке дістали при застосуванні 1МНК.

підлягають однаковій схемі авторегресії, знайдемо:

(8.11)

, тобто недооцінка дисперсії залишків становить близько 4 %, а при
( = ( = 0,8; n = 20 ця недооцінка дорівнюватиме приблизно 20 %.

.

Перевірка наявності автокореляції

Критерій Дарбіна — Уотсона

Для перевірки наявності автокореляції залишків найчастіше застосовується
критерій Дарбіна — Уотсона (DW):

(8.12)

.

є випадковими величинами, нормально розподіленими, а не
автокорельованими, то значення DW містяться поблизу 2. При додатній
автокореляції DW < 2, при від’ємній — DW > 2. Фактичні значення критерію
порівнюються з критичними (табличними) при різному числі спостережень n
і числі незалежних змінних m для вибраного рівня значущості (. Табличні
значення мають нижню межу DW1 і верхню — DW2.

Коли DWфакт < DW1, то залишки мають автокореляцію. Якщо Dwфакт > DW2, то
приймається гіпотеза про відсутність автокореляції. Коли DW1  2 часто наближається до нуля, то матриця, обернена до матриці
S, матиме такий вигляд:

(8.22)

Таку матрицю іноді пропонується використовувати при оцінюванні
параметрів моделі з автокорельованими залишками за методом Ейткена.

Покажемо, як використовується циклічний коефіцієнт кореляції для
обчислення (.

,

або

де ut — величина залишків у період t; ut–1 — величина залишків у період
t – 1; n — число спостережень.

.

) має зміщення. Тому, використовуючи такий параметр для формування
матриці S, необхідно скоригувати його на величину зміщення

— величина зміщення (m — кількість незалежних змінних), або

— залишкова дисперсія, що визначається за формулою

— вектор, транспонований до вектора залишків u; n – m – 1 — число
ступенів свободи.

Дисперсія залишків з урахуванням зміщення обчислюється так:

Величину ( можна обчислити методом 1МНК з допомогою авторегресійного
рівняння xt = ( xt–1 + (t. У такому разі

,

де xt взято як відхилення від свого середнього значення.

При реалізації алгоритму Ейткена для оцінки параметрів моделі
застосовують такі п’ять кроків.

Крок 1. Оцінка параметрів моделі за методом 1МНК.

Крок 2. Дослідження залишків на наявність автокореляції.

Крок 3. Формування матриці коваріації залишків V або S.

Крок 4. Обернення матриці V або S.

Крок 5. Оцінка параметрів методом Ейткена, тобто згідно з (8.18),
(8.19).

Приклад 8.1. З допомогою двох взаємопов’язаних часових рядів про
роздрібний товарообіг та доходи населення побудувати економетричну
модель, що характеризує залежність роздрібного товарообігу від доходу.
Вихідні дані наведено в табл. 8.1.

Таблиця 8.1

Рік 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Роздрібний товарообіг 24,0 25,0 25,7 27,0 28,8 30,8 33,8 38,1 43,4 45,5

Дохід 27,1 28,2 29,3 31,3 34,0 36,0 38,7 43,2 50,0 52,1

Розв’язання.

1. Ідентифікуємо змінні моделі:

Yt — роздрібний товарообіг у період t, залежна змінна;

Xt — дохід у період t, пояснювальна змінна;

звідси

Yt = f(Xt , ut),

де ut — стохастична складова, залишки.

2. Специфікуємо економетричну модель у лінійній формі:

Yt = a0 + a1Xt + ut ;

.

за методом найменших квадратів, припускаючи що залишки ut не
корельовані:

— матриця, транспонована до X.

Економетрична модель має вигляд

і визначимо залишки ut (табл. 8.2).

Таблиця 8.2

ut — ut–1 (ut — ut–1)2 ut ut–1

1 24,0 23,612 0,388 0,150 — — —

2 25,0 24,564 0,436 0,190 0,049 0,0024 0,1691

3 25,7 25,515 0,485 0,034 -0,252 0,0632 0,0806

4 27,0 27,245 -0,245 0,060 -0,430 0,1848 -0,045

5 28,8 29,581 -0,779 0,609 -0,535 0,2866 0,1913

6 30,8 31,310 -0,510 0,261 0,270 0,0729 0,3984

7 33,8 33,646 0,154 0,023 0,665 0,4417 -0,0787

8 38,1 37,971 0,129 0,017 -0,025 0,0006 0,0199

9 43,4 43,420 -0,020 0,0002 -0,149 0,0222 -0,003

10 45,5 45,236 0,264 0,070 0,284 0,0804 -0,005

( 322,1

1,4152

1,1550 0,7276

Знайдемо оцінку критерію Дарбіна — Уотсона:

Порівняємо значення критерію DW з табличним для ( = 0,05 і n = 10.
Критичні значення критерію DW у цьому разі такі:

DW1 = 0,879 — нижня межа;

DW2 = 1,320 — верхня межа.

Оскільки критерій DWфакт < DW1, то можна стверджувати, що залишки ut мають додатну автокореляцію. Наявність чи відсутність автокореляції залишків можна також визначити згідно з критерієм фон Неймана. , то існує додатна автокореляція залишків. 6. Використаємо метод Ейткена для оцінювання параметрів економетричної моделі з автокорельованими залишками. Оператор оцінювання запишеться так: або — матриця, обернена до матриці V. Матриця S — матриця коваріацій залишків, яка має вигляд . ///////////////iii//OeE $ $ $ $ $ $ $ $ $ O $ $ ? 0,3.

 < 0,3, то зниження ефективності оцінок 1МНК порівняно зі складнішими процедурами невелике. Висновок 3. Метод Дарбіна забезпечує найкращу оцінку для ширшого кола параметрів порівняно з іншими методами. Висновок 4. Нелінійний метод оцінювання параметрів не дає відчутних переваг порівняно з двокроковою процедурою Дарбіна. Теоретичні дослідження прогнозу в разі порушення умови (4.3) було розглянуто в розд. 7. яка побудована для n спостережень. . Формула дає найкращий незміщений прогноз: — оцінка параметрів моделі згідно з методом Ейткена, і можна записати: . . Формула прогнозу має вигляд (8.29) Приклад 8.4. Використовуючи економетричну модель, яку побудовано на підставі даних про роздрібний товарообіг та дохід (приклад 8.2), визначити прогнозний рівень товарообігу, коли дохід становитиме xn+1 = 55. Розв’язання. 1. Запишемо співвідношення, яке визначатиме прогнозний рівень залежної змінної +(en , — оцінка прогнозної величини; ( en — залишки прогнозу. 2. Скористаємося економетричною моделлю роздрібного товарообігу (приклад 8.2, формула 1) для обчислення прогнозу: = 0,442 + 0,861xn+1 = 0,442 + 0,861 55 = 0,442 + 47,35 = 47,8; 3. Знайдемо оцінку залишків прогнозу ( en, де ( — коефіцієнт коваріації залишків; en — залишки за моделлю для t = 10. en = 0,18; ( en = 0,77 ( 0,18 ( 0,14. 4. Визначимо прогнозний рівень роздрібного товарообігу на одинадцятий рік (n + 1):  = 47,8 + 0,14 = 47,94. висновки де матриця S (n ( n) характеризує коваріації між залишками, а дисперсія лишається сталою. Це явище спостерігається насамперед тоді, коли економетрична модель будується на основі часових рядів і називається автокореляцією залишків. 2. Виникнення автокореляції залишків пов’язане ось із чим: 1) автокореляцією послідовних елементів векторів залежної і незалежних змінних; 2) автокореляцією послідовних значень змінної (змінних), які не ввійшли до економетричної моделі; 3) помилковою специфікацією економетричної моделі. 3. Оскільки коваріація послідовних значень залишків подається у вигляді , то друга з необхідних умов записується так: . 4. За наявності автокореляції залишків оцінювання параметрів моделі 1МНК може мати такі результати: 1) оцінки параметрів моделі будуть зміщеними; 2) статистичні критерії Стьюдента (t-критерій) і Фішера (F-критерій) не можуть бути використані в дисперсійному аналізі економетричної моделі; 3) неефективність оцінок параметрів економетричної моделі призводить до неефективних прогнозів. 5. Наявність автокореляції перевіряється за такими критеріями: 1) Дарбіна — Уотсона — DW (d); 2) фон Неймана — Q; 3) нециклічного коефіцієнта автокореляції r*; 4) циклічного коефіцієнта автокореляції r. 6. Для оцінювання параметрів моделі з автокорельованими залишками можна застосувати такі методи: 1) Ейткена; 2) перетворення вихідної інформації; 3) Кочрена — Оркатта; 4) Дарбіна. Перші два методи використовуються тоді, коли залишки задовольняють авторегресійну модель першого порядку, третій і четвертий можна застосувати і тоді, коли залишки описуються авторегресійною моделлю вищого порядку. 7. Метод Ейткена базується на скоригованій вихідній інформації з урахуванням коваріації залишків. Система рівнянь для оцінювання параметрів моделі запишеться так: або . Звідси оператор оцінювання за методом Ейткена має вигляд або Матриця S у цьому операторі: Оскільки коваріація залишків (s при s > 2 часто наближається до нуля, то
матрицю, обернену до S, іноді доцільно подавати у вигляді

.

8. Метод перетворення вихідної інформації дає альтернативний підхід до
пошуку оцінок параметрів моделі за допомогою двокрокової процедури:

1) перетворення вихідної інформації з допомогою параметра (;

2) застосування 1МНК для оцінок параметрів згідно з перетвореними
даними.

, тому перетворення вихідної інформації виконується з допомогою матриці

.

розміром n ( n.

Іноді для перетворення вихідної інформації використовується матриця T2
розміром (n – 1) ( n, яка утворюється з матриці T1 викреслюванням
першого рядка:

9. Метод Кочрена — Оркатта є ітеративним методом оцінювання параметрів
економетричної моделі, коли мінімізується сума квадратів залишків, яка
для моделі

визначається так:

Для мінімізації цієї функції використовується наведений далі алгоритм.

.

, підставимо їх у співвідношення, яке визначає суму квадратів залишків,
та обчислимо ( = r2.

.

і ( практично не відрізнятимуться від попередніх або відрізнятимуться
на задану величину.

10. Метод Дарбіна також є ітеративним методом, який складається з
двокрокової процедури. На першому кроці визначаються 1МНК оцінки
параметрів моделі

,

де ut = (ut–1+(t, або ut = (1ut–1+(2ut–2+(t і т.д.

На другому кроці 1МНК застосовується для перетворених даних з допомогою
параметра (, який визначено на першому кроці, тобто змінні наберуть
вигляду (yt – (yt–1), (xtj – (xtj–1).

Коефіцієнт при xtj – (xtj–1 є оцінкою параметра aj, а вільний член,
поділений на (, — оцінкою параметра a0.

11. Оцінку прогнозного рівня залежної змінної можна дістати,
скориставшись співвідношенням:

, то формула найкращого незміщеного прогнозу запишеться у вигляді:

ЛІТЕРАТУРА

Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980.

Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и
статистика, 1986.

Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12.

Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое
моделирование. –– М., 1975.

Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975.

Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964.

Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971.

Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы
математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962.

Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып.
1,2.

Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975.

Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в
эконометрии. –– М., 1979.

Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964.

Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978.

Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд.

Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States,
1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964.

PAGE

Похожие записи