Реферат на тему:

Статистичні моделі та методи

Зміст

1. Основні статистики

2. Методи статистичного аналізу

3. Прикладні статистичні моделі та методи в економіці

Список використаної літератури

Основні статистики

Математична статистика вивчає методи обробки дослідних даних. Основою
статистичного моделювання є класичний апарат теорії ймовірностей і
математичної статистики.

Економіко-статистична модель складається з кількох етапів: теоретичний
аналіз, висунення гіпотези, абстрагування предмета моделювання, вибір
типу моделі. Економіко-статистичну модель можна одержати у вигляді
групування, ряду розподілу, рівняння, графіка тощо.
Економіко-статистичні моделі повинні задовольняти основним вимогам: 1)
виражатись статистичними категоріями; 2) піддаватись перевірці на основі
статистичних критеріїв (t, Стьюдента, F, Фішера, Х-квадрат); 3)
ґрунтуватися на великій кількості вірогідних даних для реального
відбиття існуючих взаємозв’язків і закономірностей.

Економіко-статистичні моделі класифікують залежно від обраного критерію.

1. За ступенем агрегування соціально-економічного явища:
макроекономічні, міжгалузеві, галузеві та мікроекономічні.

2. За ступенем охоплення території: світові, національні, регіональні.

3. За розмірністю залежно від кількості чинникових ознак: сублокальні
(до 3), локальні (від 4 до 14), субглобальні (від 15 до 99), глобальні
(понад 100).

4. За характером відображення часу: моментні та інтервальні. Труднощі,
які виникають у процесі побудови економіко-статистичних моделей,
пов’язані з протиріччям між неперервним характером соціальних і
виробничих процесів і дискретним характером моделей, тобто у наявності
часових лагів. Незбігання у часі пов’язаних між собою
соціально-економічних явищ призводить до ймовірнісного характеру
зв’язків, які відображаються у моделях.

Економіко-статистичні моделі можна поділити на три групи: моделі
структури, моделі взаємозв’язку та моделі динаміки. До моделей структури
належать групування та криві розподілу. Моделі взаємозв’язку задаються
рівняннями регресії на основі методу найменших квадратів. До моделей
динаміки належать трендові моделі, моделі періодичних коливань та криві
росту.

Основною специфічною рисою статистики є те, що вона розглядає не окреме
явище, а їх сукупність. Статистикою називається будь-який параметр, що
залежить від х1, х2, …, хn.

Середнє значення від результату N спостережень: х = (1/N)Щ.

Приклад. Запропонована вибірка обсягів продажу телевізорів за6 днів:

{xi} = {2, 5, 3, 7, 4, 1}.

Визначте середнє значення обсягів продажу за 1 день.

х = (1/N)Хxi = (2 + 5 + 3 + 7 + 4 + 1)/6 = 22/5 = 4,4.

Якщо враховувати частоту виникнення відповідних значень у ви-борці, то:

х = (1/N)Хxiwi ,

де wi — частота виникнення значення у виборці.

Математичне очікування випадкової величини визначається як зважена сума
всіх можливих реалізацій випадкової величини х. Терезами у сумі
виступають ймовірності цих реалізацій. Сума терез дорівнює одиниці.

Властивості математичного очікування для У a, b, c.

Mc = c; M(x + b) = Mx + b; M(aх) = aMx; M(ax + b) = aMx + b.

Математичне очікування використовується при порівнянні витрат і переваг
дії з випадковою подією, наприклад, виграш у лотерею або дохід, що
очікується від ризикових цінних паперів.

Дисперсія — середній квадрат відхилення випадкової величини від
середнього значення.

Середнє квадратичне відхилення випадкової величини о — міра розкиду
випадкової величини навколо середнього значення, визначається як корінь
квадратний з дисперсії випадкової величини: ох = Dx.

Методи статистичного аналізу

Перший метод статистичного аналізу — це дисперсійний аналіз,

або метод статистичної обробки спостережень. Застосовується для
оцінювання впливу на величину, що спостерігається за різних чинникових
ознак, від яких ця величина залежить.

Кожне вимірювання залежить від певної кількості параметрів, які можуть
набувати або дискретні, або неперервні значення. Залежність розглядають
у вигляді лінійної комбінації параметрів з коефіцієнтами:

де хн — параметри; Ь- — коефіцієнти; є- — випадкова похибка вимірювання,
і — \,т.

Коефіцієнти b називають чинниками. Рівняння називають лінійною
багаточинниковою моделлю.

У дисперсійному аналізі параметри х— зазвичай беруть рівними нулю або
одиниці, що вказує на те, які з чинників враховують за такого аналізу.

Однією з проблем в економічному моделюванні є проблема вивчення
взаємозв’язку економічних показників. Другий метод статистичного аналізу
— це регресійний аналіз.

Розглянемо залежність двох змінних: х та у. Припустімо, що є ряди
значень змінних і відповідні їм точки нанесені на графік.

Для дослідних даних за емпіричну формулу можна прийняти лінійну
залежність у — ах + Ь. Наприклад, у кейнсіанській функції споживання
існує лінійна пряма залежність споживання від доходу, функція інвестицій
також лінійно відображає обернену залежність відсоткової ставки від
обсягу інвестицій.

Отже, ми повинні оцінити рівняння регресії j —fix) — формулу
статистичного зв’язку між змінними. Якщо ця формула лінійна, йдеться про
лінійну регресію. Формула статистичного зв’язку двох змінних називається
парною регресією, а від кількох змінних — множинною регресією.

Для оцінювання невідомих параметрів за результатами вимірювань
використовують метод найменших квадратів. За його допомогою спочатку
визначають функціональну залежність представлення даних дослідження, а
потім для цієї залежності добирають параметри. Для дослідних даних (рис.
7.2) за емпіричну формулу краще прийняти квадратичну у — ах2 + Ьх + с
Для дослідних даних (рис. 7.3.) за емпіричну формулу краще прийняти
гіперболічну: у — а + ЬІх. Наприклад, крива Філіпса для
короткострокового періоду відображає гіперболічну залежність між темпами
інфляції та рівнем безробіття.

За методом найменших квадратів потрібно мінімізувати суму:

де Хр уі — значення дослідних даних; у(х •) — значення функції,
обчислене за емпіричною залежністю у точці д: ?; і— І, п.

Якщо залежність визначена як лінійна, сума набуває вигляду:

Для квадратичної залежності:

Мінімум функції досягається у точці, в якій похідна суми за параметрами
дорівнює нулю. Для лінійної залежності система рівнянь, утворена з
похідних, набуває вигляду

Для визначення параметрів розв’язуємо систему двох рівнянь з двома
невідомими a та b.

Приклад. Дослідні дані про значення X та Y наведені у таблиці.

Аналіз дослідних даних засвідчив, що за емпіричну залежність можна
використати лінійну: y = ax + b. Визначимо за методом най-менших
квадратів значення а та b.

Проміжні результати запишемо в таблицю.

За обчисленими даними система лінійних рівнянь набуває вигляду:

Розв’язавши її, одержимо a = -2,8; b = 14,46.Емпірична формула має
вигляд: y = -2,8x + 14,46.

Прикладні статистичні моделі та методи в економіці

Розглянемо мікроекономічну модель «попит-пропозиція».

Приклад. Запишіть рівняння регресії для дослідних даних попиту та
пропозиції методом найменших квадратів. Визначте рівноважну ціну та
кількість.

Розв’язання. Для визначення параметрів розв’язуємо систему двох рівнянь
з двома невідомими a та Ь.

Для функції пропозиції замість х беремо дані у рядку ціни, замість у —
дані у рядку пропозиції.

Для функції попиту: замість х — дані у рядку ціни, замість у —дані у
рядку попиту.

Проміжні дані для функції пропозиції записуємо в таблицю.

Проміжні дані для функції попиту також записуємо в таблицю.

Розв’язуємо дві системи рівнянь.

Одержуємо такі рівняння функцій пропозиції та попиту: у = 1,55л:+ 4,03;
у = -2,77х + 9,56.

Оскільки рівноважна ціна та кількість визначається як координати точки
перетину прямих попиту та пропозиції, то розв’язуємо ще одну систему
лінійних рівнянь:

Одержимо: х = 1,28, у = 6,014.

Відповідь. Рівноважна ціна становить 1,28 гр. од., рівноважна кількість
— 6,014 од.

У 1971 р. Ральф Хасбі шляхом емпіричних досліджень одержав просту
нелінійну функцію споживання другого ступеня [4]:

С = 506 + 0,92у- 0,000014/.

Гранична схильність до споживання такої функції дорівнює:

МРС = 0,92 — 0,0028j/.

Тобто, МРС сама є лінійною функцією за доходом і при зростанні доходу
МРС знижується. Тим самим доводиться одна з гіпотез Кейнса про обернену
залежність між доходом і граничною схильністю до споживання.

Функція споживання у цьому випадку має такий вигляд:

Рис. 4. Функція споживання Р. Хасбі

Модель, або гіпотеза Т. Брауна висунута 1952 року і має назву “гіпотеза
збереження звичок” [4]. У ній припускається, що поточне споживання
залежить від поточного доходу і споживання у минулому.

Функція споживання має вигляд:

Ct = a + byt + dCt-1 + ut,де Ct — поточне споживання; yt — поточний
дохід; Ct-1 — споживання у минулому, ut — ймовірнісна помилка, яка
виникає внаслідок стохастичних відхилень. У моделі застосовувався метод
найменших квадратів.

Для Росії 1985-1990 pp. залежність була такою: C = 80,35 + 0,62y,для
1992-1995 pp. залежність набула вигляду: C = 66,0 + 0,67j/.

Для Федеративної Республіки Німеччини періоду 1961-1975 pp.функція
споживання мала вигляд:

Ct = 5,78 + 0,57y t + 0,32Ct-1 ± 1,84.

Розглянемо модель поведінки споживача в умовах невизначеності з точки
зору схильності споживача до ризику.

Припустімо, споживач вирішує, купувати чи не купувати лотерею за 10 грн,
якщо з ймовірністю 50 % він одержить дохід у 5 грн або з ймовірністю 50
% програє 5 грн. Очікуване значення його капіталу дорівнює 10 грн, а
очікувана корисність: 1/2U(15) + 1/2U(5)(див. рис. 5).

Очікувана корисність є середньою двох чисел: F/(15) та F/(5). Якщо
очікувана корисність капіталу менша за корисність очікуваного значення,
значить споживач не схильний до ризику.

Для споживача, який не схильний до ризику, функція корисності опукла
(рис 7.5). Для споживача, який схильний до ризику, функція корисності
увігнута (рис. 7.6). Отже, кривизна функції корисності відбиває
відношення споживача до ризику. Якщо очікувана корисність капіталу
дорівнює корисності його очікуваного значення, то споживач є нейтральним
до ризику.

Найчастіше показником ефективності фінансового рішення є прибуток.

У моделюванні ризикових ситуацій найпоширенішою мірою ризику деякого
бізнесового рішення є середнє квадратичне відхилення значення показника
ефективності цього рішення. Чим менший роз-

кид (дисперсія) результату рішення, тим менший ризик. Якщо дисперсія
дорівнює нулю, ризик відсутній. Наприклад, в умовах стабільної економіки
операції з державними цінними паперами вважаються безризиковими.

Приклад. Є два інвестиційні проекти. Перший з ймовірністю 0,6забезпечує
прибуток 15 млн гр. од., однак з ймовірністю 0,4 може призвести до
втрати 5,5 млн гр. од. Для другого проекту з ймовірні-стю 0,8 можна
одержати прибуток 10 млн гр. од. і з ймовірністю 0,2втратити 6 млн гр.
од. Який проект обрати?

Розрахуємо середню прибутковість для першого та другого проектів.

Математичне очікування для першого проекту становить

0,6×15+0,4х(-5,5)=6,8.

Математичне очікування для другого проекту становить

0,8×10 + 0,2х(-6) = 6,8.

Оскільки математичні сподівання збігаються, знайдемо середніквадратичні
відхилення для першого та другого проектів.

Середнє квадратичне відхилення для першого проекту становить

Середнє квадратичне відхилення для другого проекту становить

Другий проект має перевагу як менш ризикований, оскільки
середнєквадратичне відхилення для нього менше, ніж для першого проекту.

Для порівняння співвідношення ризику і доходу різних інвестицій слід
визначити відносний базис порівняння цих величин. Таку функцію виконує
коефіцієнт варіації.

Чим нижчий коефіцієнт варіації, тим сприятливіше вкладати гроші у цей
проект з точки зору співвідношення ризику і доходу.

Наступна модель ризик портфеля інвестицій.

У вищенаведеній моделі ризик і доходи розглядаються стосовно кожного
окремого проекту. Проте компанії мають на своїх балансах різні активи та
пасиви, а інвестори у своїх портфелях — різноманітні цінні папери. Кошти
інвестуються, аби одержати максимальний дохід з найменшим ризиком.
Визначення ризику і доходу всього портфеля потрібно розпочинати з
підрахування стандартних відхилень та очікуваного доходу від окремих
активів портфеля. Потім слід розподілити ризик на кілька активів або
цінних паперів, аби зменшити загальний ризик. Для цього є два способи.
По-перше, можна додатково вкласти гроші в різноманітні цінні папери
портфеля. По-друге, можна придбати цінні папери, доходи від яких мають
іншу амплітуду коливань, ніж ті, що є у портфелі. Диверсифікація —
зменшення ризику шляхом інвестування у різні види цінних паперів. Чим
більше коливаються у різних напрямах активи у портфелі, тим менший
рівень ризику.

Для пошуку цінних паперів з різною амплітудою коливань користуються
критерієм коваріації. Коваріація — це статистичний метод, який
застосовується для порівняння напрямів змін двох змінних або активів у
портфелі (рис. 7.7). Коефіцієнт кореляції, який змінюється у межах від
-1,0 до +1,0, визначає границі та напрями, за якими доходи змінюються.
Коефіцієнт -1,0 означає, що напрями змін доходів протилежні, і нові
активи реагують так само, як і весь портфель інвестицій і не зменшують
ризику. Коефіцієнт +1,0 означає, що на прями змін доходів однакові і
ризик портфеля зменшується.

Використовуючи метод коваріації для підрахунку коефіцієнтів кореляції
різних активів портфеля, можна визначити та вибрати активи, що зводять
ризик портфеля до мінімуму.

Список використаної літератури

1. ВэрианХ. Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный
подход: Учеб. для вузов / Пер. с англ. под ред.Н. Л. Фроловой. — М.:
ЮНИТИ, 1997.

2. Дубров А. М., Лагоша Б. А., Хрустаже Е. Ю. Моделирование рисковых
ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пособие. —М.: Финансы и
статистика, 2000.

3. Нікбахт К, Гроппеллі А. Фінанси: Пер. з англ. — К.: Основи, 1993.

4. СелищевА. С. Макроэкономика. —СПб.: Питер, 2000.

Похожие записи