Реферат на тему:

Системи одночасних рівнянь

Поняття про системи одночасних рівнянь

Багато економічних взаємозв’язків допускають моделювання одним
рівнянням. Однак деякі економічні процеси моделюються не од-ним, а
кількома рівняннями. Співвідношення між економічними по-казниками можуть
мати стохастичний і детермінований характер. Стохастичні зв’язки між
змінними описуються регресійними рівнян-нями, а детерміновані
визначаються тотожностями й не містять не-відомих параметрів.

У системах рівнянь через наявність прямих і зворотних зв’язків залежна
змінна одного рівняння може бути незалежною змінною в інших рівняннях .
Змінні, що стоять у лівій частині рівнянь, назива-ються ендогенними,
причому їх кількість не перевищує загальної кількості всіх рівнянь. Інші
змінні, що входять до моделі, називаються екзогенними.

Наприклад, повна кейнсіанська модель доходу складається з двох
співвідношень:

де Ct — витрати на споживання; Yt — дохід; a0, a1 — невідомі параметри;
ut — залишки моделі; Zt — неспоживчі витрати (інвестиції).

Перше співвідношення — це регресійна функція споживання, а друге —
тотожність доходу. Величина доходу Yt для першого рівнян-ня є незалежною
змінною, для другого — залежною, а величина Ct — навпаки: у першому
рівнянні вона є залежною змінною, у другому -незалежною. Для системи
загалом змінні Yt і Ct є ендогенними, а змінна Zt — екзогенною.

Означення 8.1. Для систем одночасних рівнянь усі змінні, що можуть бути
визначені із системи рівнянь, називаються ендогенними, причому їх
кількість не перевищує загальної кількості рівнянь.

Означення 8.2. Для систем одночасних рівнянь усі змінні, які задаються
за межами моделі або є заздалегідь відомими, називаються відповідно
екзогенними або предетермінованими.

У розглянутій кейнсіанській моделі доходу величини Ct і Yt є ендогенними
змінними, що визначаються всередині моделі. Змінна Zt задається
(визначається) поза моделлю, отже, вона є екзогенною.

Із першого співвідношення цієї моделі видно, що змінна Ct залежить від
доходу Yt і від залишків ut, а з другого співвідношення очевидна
залежність доходу Yt від споживчих Ct і неспоживчих витрат Zt. Неважко
помітити, що обидві змінні Ct і Yt можуть бути виражені через Zt і
залишки ut.

Приклади систем одночасних рівнянь

1. Модель “попит — пропозиція”.

Одна з найпростіших систем одночасних рівнянь, що використовується при
моделюванні попиту та пропозиції в ринковій економіці, має вигляд

Припускається, що обсяг попиту qD і обсяг пропозиції qS певного товару в
момент часу t є лінійними регресійними функціями від ціни цього товару
pt у цей самий момент часу. Останнє співвідношення в цій моделі —
функція рівноваги — є тотожністю.

Наявність випадкових відхилень ut і ut у даній моделі пов’язана
передусім з відсутністю ряду важливих пояснюючих змінних (прибутку
споживачів, цін на супутні товари, цін на ресурси, податків тощо).

Зміна одного з цих факторів може відбитися на моделі. Наприк-лад,
зростання прибутку споживачів може зсунути лінію попиту вго-ру (рис.) Це
призведе до зміни рівноважної ціни та рівноважної кількості.

Модель “попит — пропозиція” можна вдосконалити. Наприклад, якщо до
функції попиту додати прибуток споживачів yt, дістанемо систему

2. Модель рівноваги на ринку товарів (модель IS).

Однією з можливих нестохастичних форм моделі IS (рівноваги на ринку
товарів) є така модель:

де ct, yt, ?t, it, gt, rt, y (d) t — відповідно значення в момент часу t
споживання (ct), національного доходу (yt), обсягу податків (?t),
бажа-ного обсягу чистих інвестицій (it), процентної ставки (rt ),
розміще-ного прибутку (y(d)t), державних витрат (gt), у даному разі
gt=gt= const.

Щоб отримати в явному вигляді співвідношення між процентною ставкою й
рівнем прибутку при якому ринок товарів перебуває у ста-ні рівноваги.
Підставивши отримане співвідношення, дістанемо

3. Модель рівноваги на ринку грошей (модель LM).

Рівновага на ринку грошей задається таким співвідношення між процентною
ставкою та рівнем доходу, при якому попит на гроші дорівнює їх
пропозиції. Наведемо одну із нестохастичних форм та-кої моделі:

Співвідношення можна записати у вигляді

Співвідношення відоме як рівняння LM. Спільну модель IS-LM зображено на
рис.

Точка перетину ліній IS і LM визначає співвідношення між процентною
ставкою й рівнем доходу, при якому обидва ринки перебу-вають у стані
рівноваги. Ця точка визначається як розв’язок системи рівнянь

Структурна та зведена (прогнозна) форми системи рівнянь

1. Структурна форма економетричної моделі.

Структурна форма економетричної моделі описує одно- та бага-тосторонні
стохастичні причинні співвідношення між економічними величинами в їх
безпосередньому вигляді. Вона містить усю суттєву інформацію про
залежності між економічними явищами та процеса-ми. Кожне співвідношення
такої системи (рівняння чи тотожність) має певну економічну
інтерпретацію. Структурні рівняння системи описують окремо економічні
явища з урахуванням економічних, тех-нологічних, демографічних,
соціологічних та інших факторів, що спричинюють змінювання залежних
змінних. Характерною особли-вістю структурних рівнянь є їх певна
автономність щодо визначених змінних, оскільки зміна останніх в одному
структурному рівнянні не обов’язково зумовлює зміну залежних змінних в
інших рівняннях.

Для адекватного відображення реальної дійсності та повного охоп-лення
економічних показників одночасними співвідношеннями в си-стемах
застосовують також тотожності — детерміновані залежності економічних
величин. Тотожності не містять випадкових складових, а параметри їх
заздалегідь відомі (найчастіше вони дорівнюють оди-ниці), тому вони не
підлягають оцінюванню. Отже, справедливим буде таке означення.

де yt — вектор залежних (ендогенних ) змінних; xt — вектор незалеж-них
(екзогенних ) змінних; ut — вектор залишків, t = 1,2,…, T.

2. Повна економетрична модель. Економетрична модель називається повною,
якщо:

а) вона охоплює змінні, що суттєво впливають на спільно за-лежні змінні,
а вектор залишків має випадковий характер;

б) містить стільки рівнянь, скільки в ній є спільно залежних змінних,
тобто кожна залежна змінна пояснюється окремим рівнянням;

в) система рівнянь має однозначний розв’язок відносно спільно залежних
змінних, тобто матриця A в моделі (8.14) невироджена (має відмінний від
нуля визначник): detA?0.

Повна модель застосовується у випадках, коли необхідно кількісно описати
економічне явище чи процес або спрогнозувати їх розвиток.

3. Зведена форма економетричної моделі.

Якщо економетрична модель застосовується не для аналізу сис-теми, а для
передбачення чи оцінювання параметрів, структурна фор-ма моделі
неприйнятна. Алгебраїчними перетвореннями систему структурних рівнянь
зводять до форми, у якій кожне рівняння містить лише одну ендогенну
змінну, яка є функцією від екзогенних змінних. Така форма рівнянь
називається зведеною.

Зведену форму рівнянь можна назвати скороченою. Це пов’язано з тим, що
при певних перетвореннях багато окремих економічних за-лежностей можуть
бути виключені з розгляду, а отже, загальна кількість рівнянь може
скоротитися.

Внаслідок таких перетворень зведена форма рівнянь, на відміну від
структурної, не має ні безпосередньої, ні будь-якої економічної
інтерпретації. Рівняння у зведеній формі дають змогу передбачити, як
зміниться значення ендогенної змінної, якщо змінюватимуться значення
екзогенних змінних, однак на підставі цих рівнянь немож-ливо пояснити,
як і чому це відбувається. Саме через це зведену фор-му рівнянь
називають також прогнозною.

Отже, коли виникає питання про консультації чи практичні по-ради,
системи рівнянь у зведеній формі особливо корисні, оскільки дають змогу
формальну модель звести до мінімальної кількості співвідношень.
Звичайно, зведена модель матиме цінність, якщо пра-вильною є початкова
структурна модель.

При таких перетвореннях параметри зведеної форми стають функціями від
параметрів вихідних структурних рівнянь і залишки та-кої моделі,
очевидно, є лінійною комбінацією залишків структурної моделі.

У такій системі кожна залежна змінна визначається через неза-лежні
змінні моделі, тобто система (8.16) є зведеною формою еконо-метричної
моделі.

Поняття ідентифікації (ототожнення) системи рівнянь

Маючи дві форми системи одночасних рівнянь, необхідно визна-чити, яка з
них краще підходить для оцінювання параметрів моделі. Передусім
необхідно дослідити можливості застосування звичайного МНК до окремих
рівнянь системи.

Як зазначалося (тема 3), для отримання незміщених і обгрунто-ваних
оцінок параметрів регресійного рівняння за звичайним МНК необхідно
виконати ряд передумов: залишки моделі мають бути ви-падковими
величинами з нульовим математичним сподіванням, зі сталими дисперсіями,
некорельованими між собою та незалежними відносно ендогенних змінних
моделі.

Нехай залишки моделі ut є випадковими, з нульовим матема-тичним
сподіванням, некорельовані між собою, мають однакові дис-персії для всіх
спостережень, тобто задовольняють перші дві передумови застосування МНК.
Перевіримо передумову відносно неза-лежності ендогенних змінних і
залишків моделі, тобто переконаємося, що cov(Yt,ut) = 0 для будь-яких
відхилень.

Підставивши значення Q з першого рівняння моделі в друге, отримаємо
співвідношення

розв’язавши яке відносно Yt, матимемо

Зазначимо, що коефіцієнт — в останньому співвідношенні * 1-а1 У

є грошовим мультиплікатором, що визначає, на яку величину зростає

сукупний прибуток зі збільшенням обсягу інвестицій на одиницю.

Наявність коефіцієнта — при ut свідчить про залежність між змінною Yt і
залишками моделі. Дійсно, з маємо

В останньому співвідношенні враховано те, що М(ut) = 0, а також те, що
змінна є екзогенною (незалежною) для даної моделі. Тоді різниця між
становить

Отже,

Тут ми скористалися твердженням економічної теорії про те, що гранична
схильність до споживання at перебуває в межах 0<а1 <1. Отже, залишки моделі корелюють із залежною змінною, тому застосування звичайного МНК дасть зміщені та необгрунтовані оцінки параметрів моделі. В останньому можна переконатися, проаналізувавши оцінку ах параметра а^ рівняння (8.1), отриману за МНК. Щоб забезпечити необхідну якість оцінок параметрів (незміщеність, ефективність і обґрунтованість), намагаються на підставі оцінених параметрів скороченої (зведеної) форми системи рівнянь отримати оцінки параметрів структурної форми. Однак тут виникає проблема однозначних залежностей між параметрами: при поверненні від скороченої форми моделі до структурної (обернені перетворення) можна отримати єдине значення шуканого параметра чи кілька різних значень або взагалі не мати змоги отримати жодного. Щоб передбачити можливі варіанти розв'язання задачі оцінювання параметрів системи одночасних рівнянь, необхідно попередньо дослідити модель, а саме перевірити ідентифікованість системи. Під проблемою ідентифікації розуміють можливість чисельної оцінки параметрів структурних рівнянь за оцінками коефіцієнтів зведених рівнянь. Означення 8.4. Економетрична модель, задана системою одночасних рівнянь, називається точно (строго) ідентифікованою (ототожненою), якщо однозначно можна отримати оцінки її параметрів на основі оцінених параметрів зведеної моделі. Означення 8.5. Надідентифікованою (переототожненою) називається така модель, що для деяких її параметрів можна отримати кілька кількісних значень на підставі параметрів зведеної форми. Крім того, модель може бути неідентифікованою (неототожне-ною). Це трапляється в тому разі, якщо кількість невідомих параметрів набагато перевищує кількість рівнянь, через які їх треба оцінити. Отже, перехід від структурної до зведеної форми системи рівнянь хоча й дає змогу усунути проблему корельованості пояснюючої змінної та випадкового відхилення, однак призводить до іншої не менш серйозної проблеми — проблеми ідентифікоеаності. Щоб зрозуміти проблему ідентифікованості, необхідно усвідомити суть принципових розбіжностей між структурними та зведеними рівняннями. Наприклад, у моделі “попит - пропозиція” оцінки коефіцієнтів поведінкових рівнянь визначають функції попиту та пропозиції. Оцінюючи коефіцієнти зведених рівнянь, ми визначаємо точку перетину кривих попиту та пропозиції, тобто рівно-важну ціну товару та його рівноважну кількість. Очевидно, обчисливши ці значення, неможливо відновити функції попиту та пропозиції, тому що через одну точку на площині можна провести нескінченно багато ліній. Побудуємо зведені рівняння для цієї моделі. Використавши умо-ву рівноваги, отримаємо Останнє рівняння, розв’язане відносно pt, має вигляд випадкова складова. Підставляючи знайдене значення pt у початкові рівняння, отри- випадковий член. Рівняння утворять систему зведених рівнянь. Однак система структурних рівнянь має чотири невідомих коефіцієнти. З курсу алгебри відомо, що для однозначного виз-начення k невідомих необхідно мати щонайменше k (незалежних) рівнянь. Отже, ми не зможемо однозначно визначити чотири коефі-цієнти, маючи лише систему з двох рівнянь: Неважко помітити, що, відкинувши випадкові залишки у зведених рівняннях, можна встановити значення pt = ?0 та qt = X,, яке фактично визначає точку перетину кривих попиту та пропозиції (точку ринкової рівноваги). Але через одну точку можна провести як завгодно багато ліній (рис. . Тому для визначення конкретних прямих необхідна додаткова інформація, яку можна от-римати за рахунок екзогенних змінних, що входять до структурних рівнянь. Наприклад, нехай до функції попиту додано ще одну пояснюючу (екзогенну) змінну yt - прибуток споживачів. Тоді модель “попит -пропозиція” матиме вигляд: Таке доповнення до моделі дає деяку додаткову інформацію про поведінку споживача. Згідно з економічною теорією, для нормальних товарів a2> 0 .

Прирівнявши обсяг попиту і обсяг пропозиції, матимемо

Прирівнявши ціну попиту та ціну пропозиції в точці рівноваги, отримаємо

Рівняння є зведеними. Застосувавши МНК, неваж-ко знайти оцінки їх
параметрів Х0, Ъ, Х2, Х3. Однак цього недостатньо для того, щоб оцінити
п’ять параметрів а0, а1, а2, М1 початкової системи структурних рівнянь.
Ми можемо визначити параметри р0 і р1 функції пропозиції системи:

Але а0, а1, а2 визначити однозначно не можна. Отже, потрібно деяке
довизначення. Зауважимо, що введенням пояснюючої змінної у функцію
попиту (перше рівняння системи ми визначили функцію пропозиції (друге
рівняння цієї самої моделі).

Якщо у функцію пропозиції ввести пояснюючу змінну (наприклад,
заздалегідь визначену змінну), виключивши при цьому з функції попиту
змінну, що визначає прибуток, можна отримати конкретну функцію попиту
при невизначеній функції пропозиції. Цей висновок обґрунтовується за
аналогією з попередньо описаною схемою та рекомендується як вправа для
самостійної роботи.

Зазначимо, що якщо в кожне зі структурних рівнянь моделі “по-пит —
пропозиція” поряд із ціною товару буде введено по одній по-яснюючій
(екзогенно визначеній) змінній (наприклад, yt у функцію попиту й pt-1 у
функцію пропозиції), то коефіцієнти структурних рівнянь можуть бути
оцінені однозначно. У цьому разі модель буде однозначно визначеною,
тобто ідентифікованою.

Розглянемо модель “попит — пропозиція” з кількістю екзогенних змінних,
що перевищує кількість структурних рівнянь:

де зміннаst — обсяг заощаджень до моменту часу t.

З умови ринкової рівноваги нескладно отримати такі зведені рівняння:

Для оцінки семи структурних коефіцієнтів а0, а1, а2, а3, р0, p1, р2 у
цьому разі отримано вісім рівнянь. Як наслідок, однозначне визначення
структурних коефіцієнтів неможливе через су-перечливість співвідношень.
Наприклад, з (8.26) випливає немож-ливість визначення f1. Але це можливо
лише за умови X6X2=X5IX1, що нереально, оскільки коефіцієнт p1, який
міститься в усіх рівняннях для оцінки зведених коефіцієнтів, також
недосконалий. У цьому разі маємо ситуацію пере-визначеності або
надідентифікованості, тобто “занадто багато” інформації (обмежень) для
визначення лінії доходу. Через суперечливість інформації неможливо
отримати шуканий розв’язок.

У ситуації неідентифікованості “занадто мало” інформації, а тому існує
кілька різних ліній, що задовольняють обмеження моделі.

Необхідні й достатні умови ідентифікованості

Щоб швидше формально визначити ідентифікованість структур-них рівнянь,
застосовують такі необхідні й достатні умови. Нехай система одночасних
рівнянь містить N рівнянь відносно N ендогенних змінних, а також M
екзогенних або заздалегідь визначених змінних. Крім того, для деякого
рівняння кількість ендогенних і ек-зогенних змінних у перевірці на
ідентифікованість дорівнює відпо-відно n і m. Змінні, що не входять у
дане рівняння, але входять в інші рівняння системи, назвемо виключеними
змінними (з даного рівняння). їх кількість дорівнює N-n для ендогенних і
M–m для екзогенних змінних.

Перша необхідна умова. Рівняння ідентифіковане, якщо воно вик-лючає
принаймні N–1 змінну (ендогенну чи екзогенну), що присутня в моделі:

Друга необхідна умова. Рівняння ідентифіковане, якщо кількість
виключених з нього екзогенних змінних не менше кількості ендогенних
змінних у цьому рівнянні, зменшеної на одиницю: M-m>n-1.

Знаки рівності в обох необхідних умовах відповідають точній
іден-тифікованості рівняння.

Наведемо приклади використання зазначених умов для визначен-ня
ідентифікованості структурних рівнянь.

У простій моделі “попит — пропозиція”

N = 2, M = 0. Для кожного з рівнянь n = 2, m = 0. Отже, перша не-обхідна
умова, а саме(N — n) + (M — m) ? N — 1, не виконується для обох рівнянь,
тому що в цьому разі (N — n) + (M — m) = 0 < N-1 = 1. Це означає, що вони обидва неідентифіковані. 2. У моделі (8.21) до функції попиту додано екзогенну змінну yt (прибуток споживачів): N = 2, M = 1. Для кожного з рівнянь n = 2. Для першого рівняння m=1, для другого m=0. Тоді для першого рівняння (N -n) + (M -m) = 0<1 = N-1. А це означає, що перша необхідна умова не виконується і дане рівняння неідентифіковане. Для другого рівняння цієї системи (N-n) + (M-m) = 1 = N-1, тобто дане рівняння точно ідентифіковане. Отже, функція пропозиції може бути визначена однозначно. 3. У моделі N = 2, M = 2. Для кожного рівняння n = 2, m = 1. У цьому разі для кожного з рівнянь виконується умова (N -n) + (M -m) = 1 = N-1. Отже, обидва рівняння цієї системи точно ідентифіковані. 3. У моделі “попит - пропозиція”, де враховано три екзогенні змінні: N = 2 , M = 3. Для кожного рівняння системи n = 2. Кількість виключених змінних у першому рівнянні m = 2. Тоді перше рівняння точно ідентифіковане, тому що для нього (N-n) + (M-m) = 1 = N-1. Для другого рівняння m=1. Отже, для нього (N-n) + (M-m) = 2>1 = N-1. Це рівняння є перевизначеним.

Для однозначної оцінки коефіцієнтів функції пропозиції в цьому разі
необхідно використовувати інші спеціальні методи оцінювання параметрів.

Необхідна і достатня умова ідентифікованості

У моделі, що містить N рівнянь відносно N ендогенних змінних, умова
ідентифікованості виконується тоді і тільки тоді, коли ранг матриці,
складеної з виключених з даних рівнянь змінних, але таких, що містяться
в інших рівняннях системи, дорівнює N -1.

Список використаної літератури

Грубер Й. Економетрія: Вступ до множинної регресії та економетрії: У 2
т. — К: Нічлава, 1998-1999.

Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: Статистика, 1980. — 444 с.

Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, 1997. —
402 с.

Дрейпер П., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и
статистика, 1986. — Т. 1 — 365 с; Т. 2 — 379 с.

Емельянов А. С. Эконометрия и прогнозирование. — М.: Экономика, 1985. —
С. 82-89.

Єлейко В. Основи економетрії. — Львів: «Марка Лтд», 1995. — 191с.

Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Введение в
количественный экономический анализ. — М.: Статистика, 1977. — 254с.

Корольов О. А. Економетрія: Навч. посіб. — К: Європейський ун-т,2002. —
660 с.

Ланге О. Введение в эконометрию. — М.: Прогресс, 1964. — 360 с.

Лук’яненко I. Г., Краснікова Л. І. Економетрика: Підручник. — К.: Т-во
«Знання», КОО, 1998. — 494 с

Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика: Навч. курс.
— М.: Дело, 1997. — 248 с.

Маленво Э. Статистические методы эконометрии. — М.: Статистика, 1975. —
423 с.

Наконечний С. I., Терещенко Т .О., Романюк Т. П. Економетрія: Навч.
посіб. — К: КНЕУ, 1997. — 352 с.

Тинтнер Г. Введение в эконометрию. — М.: Статистика, 1965. — 368 с.

Толбатое Ю. А. Економетрика: Підруч. для студ. екон. спец. вищ. навч.
закл. — К.: Четверта хвиля, 1997. — 320 с.

Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М.: Статистика, 1978. —
224 с.

Хеш Д. Причинный анализ в статистических исследованиях. — М.: Финансы и
статистика, 1981. — 224 с.

Венецкий И. Г., Венецкая В. И. Основные математико-статистические
понятия и формулы в экономическом анализе: Справочник. — 2-е изд.,
перераб. и доп. — М.: Статистика, 1979. — 448 с.

Похожие записи