Реферат на тему:

Оптимізаційні моделі

Зміст

1. Моделі математичного програмування

2. Еколого-економічні моделі оптимізації

3. Задачі безумовної та умовної оптимізації та методи їх розв’язування

4. Метод Лагранжа для розв’язування задач оптимізації на умовний
екстремум

Список використаної літератури

Моделі математичного програмування

Задача оптимізації полягає у знаходженні оптимального значення цільової
функціїf(x) на допустимій множині D. Розв’язати оптимізацій-ну задачу —
означає знайти її оптимальне розв’язування або встанови-ти, що
розв’язування немає. Методи розв’язування оптимізаційних за-дач
називають методами математичного програмування. Оптимізаційні моделі
бувають двох типів: задачі мінімізації і задачі максимізації.

Модель оптимального планування виробництва.

Загальна постановка задачі математичного програмування з двома
невідомими. Визначити максимум (мінімум) функції:

при обмеженнях:

Функція f називається цільовою. Обмеження у вигляді нерівностей
називаються спеціальними обмеженнями, невід’ємність змінних у вигляді
нерівностей має назву загальних обмежень задачі математичного
програмування (ЗМП). Точка (Х1, Х2), яка задовольняє спеціальним і
загальним обмеженням, називається допустимим розв’язуванням ЗМП. Множина
всіх допустимих розв’язувань називається допустимою множиною ЗМП.
Оптимальним розв’язуванням ЗМП називається точка(V, х2*), яка
задовольняє умовам обмежень та цільовій функції.

Приклад. Підприємство виробляє продукцію двох видів А та В, для чого
використовує сировину трьох видів: 1, 2 та 3. Для виготовлення однієї
одиниці продукції А витрачається 10 одиниць сировини 1,15 одиниць
сировини 2 та 20 одиниць сировини 3. Для виготовлення

однієї одиниці продукції В витрачається 30 одиниць сировини 1,20 одиниць
сировини 2 та 25 одиниць сировини 3. Запаси сировини становлять: 100
одиниць сировини 1, 120 одиниць сировини 2 та200 одиниць сировини 3.
Прибуток підприємства становить 20 гр. од. за одиницю продукції від
виробництва однієї одиниці продукції А та25 гр. од. за одиницю продукції
від виробництва однієї одиниці продукції В. Складіть такий план
виробництва продукції, за якого прибуток був би максимальним (див.
таблицю).

Введемо змінні: Х1 та Х2 — план виробництва продукції А та В.Будуємо
модель.

Цільова функція: 20Z1 +25Z2^max.Обмеження: 10Z1 + 30Z2< 100;15Х+ 204<120;20Х+ 25М00;^>0, ^2>0.Задачу математичного програмування з двома
невідомими розв’яжемо графічним способом (рис. 1). Для цього в
обмеженнях замінимо знак “<” на “=” і накреслимо три прямих лінії відповідно. Далі повернемось до початкових нерівностей і визначимо напівплощини, де виконуються задані умови. Утворена множина допустимих розв’язувань задовольняє усім спеціальним і загальним умовам. Графічне розв'язування ЗМП з двома змінними Оптимальне розв’язування задачі криється в одній з вершин одержаної множини допустимих розв’язувань. Визначимо, яка з вершин дасть найбільший результат. Точка (0, 0) = 0; Д0, 2) = 20-0+25-2 = 50; (8, 0) = 20-8 + 25-0 = 160. Щоб знайти ще одну точку — точку А, — потрібно розв’язати систему двох рівнянь з двома невідомими. Х1 = 6,4 , Х2 = 1,2. Прибуток становить 20-6,4 + 25-1,2 = 158 гр. од. Отже, максимальне значення функції набувається у точці Х1 = 20,Х2 = 0 і становить 160 гр. од. Значно швидший шлях розв’язування задачі — побудова вектора нормалі. Координати вектора — це часткові похідні цільової функції, або градієнт функції (див. додаток). За коефіцієнтами цільової функції (20, 25) або з пропорційними коефіцієнтами (2,0; 2,5) (рис. 5.1) будуємо вектор. У цьому напрямку буде зростати значення цільової функції. Перпендикулярно до вектора нормалі проводимо пряму лінію і зміщуємо її паралельно у напрямку вектора. Остання точка, яка міститься на межі допустимої площини, — точка з координатами (8, 0). її значення дорівнює 20-8 = 160. Отже, оптимальний план виробництва: Х1 = 8; Х2 = 0, або план становитиме 8 одиниць продукції А. Прибуток становить 160 гр. од. Еколого-економічні моделі оптимізаці Оскільки Україна найбільше потерпіла від аварії на ЧАЕС, досить актуальними були і залишаються проблеми раціонального використання ресурсів в екологічно несприятливих умовах. Розглянемо еколого-економічні моделі оптимізації сільськогосподарського виробництва як найбільш ураженої галузі після аварії на ЧАЕС. Проблемами моделювання еколого-економічних систем сільськогосподарського виробництва займались такі українські установи: Український науково-дослідний інститут сільськогосподарської радіології, Інститут ботаніки ім. Н. Г. Холодного, Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова. Найцікавішими є праці українських учених Б. С Прістера, В. Г. Бар’яхтара, Д. М. Гродзинського та ін. Однією з основних проблем під час ліквідації наслідків аварії у перші тижні та місяці після аварії було забезпечення безпеки населення від впливу зовнішнього опромінювання та внутрішнього надходження радіоактивних продуктів аварії внаслідок споживання місцевих харчових продуктів. Далі першочерговими завданнями стали оцінювання та прогнозування забруднення сільськогосподарської продукції у прилеглих до ЧАЕС районах. Були запропоновані наступні організаційні та агромеліоративні заходи: • зміна спеціалізації господарства відповідно до рівня забруднення території землекористування; • виключення з виробництва забрудненої продукції, яка надходить безпосередньо у харчування людини; • переважне виробництво рослинницької продукції на насіння, технічні цілі та корми для тваринництва; • здійснення заходів, спрямованих на фіксацію та закріплення радіонуклідів у недосяжні протягом тривалого часу для рослин форми шляхом внесення у необхідних дозах мінеральних добрив, вапна та сорбентів (глиняної суспензії...) у верхній забруднений шар ґрунту; • розширення площ під багатолітні трави, що забезпечує зниження вмісту радіонуклідів у кормах, а відтак — у продуктах тваринництва; • відгодівля тварин кормами з низьким вмістом радіонуклідів. Цікавою була ідея насадження лісів на ділянках з високою щільністю забруднення, оскільки придатною для користування деревинна продукція буде через десятиліття, коли відбудеться суттєве зменшення радіонуклідів. Лабораторією Д. М. Гродзинського Інституту клітинної біології та інженерії була запропонована концепція, яка містила ідею управління винесенням радіоактивних елементів, які здатні концентрувати у своїх тканинах рослини та дискримінувати їх надходження з ґрунту. Можливими є два способи надходження у рослини радіонуклідів з ґрунтів, які зазнали забруднення: • мінімізація — послаблення їх надходження у сільськогосподарські рослини і, отже, у харчові ланцюги; • максимізація — посилення винесення за допомогою культурних або диких видів рослин (фітодезактивація). Введемо змінні: к — кількість ділянок у регіоні; і — основні сільськогосподарські культури в регіоні;Rik — забруднення і-'і культури на к-й ділянці (іо/га);Кік — середнє значення питомої концентрації радіонуклідів, кг продукції (Кі/кт); bik — середнє значення врожаїв культур, які зібрані у даному регіоні (кг/га); Sik — площі, які зайняті даною культурою (га). Загальна формула оцінки винесеної із врожаєм кількості радіонуклідів становить подвійну суму: Найпростіша модель оптимізації в умовах радіоактивного за-бруднення записується у вигляді: Змінні моделі: pj(v1...vm) — ціна j-го продукту, який виробляється з 1...m ресурсами та з v1...vm забрудненням. Модель належить до моделей лінійного програмування. Складнішою є модель, яка описує більш ймовірнісний та довший трофічний ланцюжок: “ґрунт–рослина–рослинний корм–тварина–тваринний корм–хутровий звір–хутро”. Протягом проходження ланцюжка суттєво знижується концентрація забруднення, при цьому максимізується прибуток продукції. Розглянемо економіко-математичну модель оптимізації сільськогосподарського виробництва з урахуванням щільності забруднення агрогруп. Розкриємо її суть. Розподілити посівні площі, які відводять під кожну сільськогосподарську культуру на ділянках відповідних агро-груп з різною щільністю забруднення таким чином, щоб досягти максимального ефекту з урахуванням технологічних, агротехнічних, організаційних та екологічних умов. Невідомі змінні в моделі — цеплощі, які відводять під культури деякого виду на ділянці відповідної агрогрупи певного типу забруднення. У моделі відомі параметри: врожайність культури на тій чи іншій ділянці, норми внесення меліорантів, загальна площа ріллі в господарстві, коефіцієнти переходу кількості культур у зернові одиниці. Ще один тип моделей, які можна застосовувати в умовах радіоактивного забруднення, це цілочисельні оптимізаційні моделі. На-приклад, модель оптимального розподілу культур за полями сівозмін. Критерій оптимальності тут наступний: знайти долю площі кожного поля (0 або 1), яку відводять під кожну культуру, тобто сформувати план розподілу культур за полями, який забезпечує мінімум сумарної забрудненості продукції або такий, що забезпечує максимальний прибуток від реалізації продукції. У цільову функцію можна ввести коефіцієнт, який вказує на участь продукції в реалізації: а = 1, якщо біологічні норми вмісту радіонуклідів є допустимими; Залежно від поставленого завдання оптимізації сільськогосподарського виробництва розглядаються свої, відмінні від інших, критерії оптимальності. Вибір та обґрунтування критерію оптимальності — важливий етап моделювання. Існують різні критерії оптимальності: прибуток від реалізації продукції господарства, мінімальні витрати, собівартість продукції, максимум продукції в зернових одиницях, максимум випуску чистої продукції. Прибуток від реалізації сільськогосподарської продукції можна обчислити за вільними ринковими, державними або світовими цінами. Коли йдеться про задачу оптимізації, виникає проблема вибору критеріїв оптимальності. Знаходження оптимального плану розміщення сільськогосподарського виробництва в умовах радіоактивного забруднення є багатоцільовим. Однак вибір плану за всіма критеріями одночасно є неможливим, тому необхідно або вибрати з усіх критеріїв найвагоміший, або застосовувати у цільовій функції певні важелі. При розв'язуванні задачі стосовно одного з критеріїв ступінь досягнення інших цілей можна фіксувати як обмеження. Розв'язування економіко-математичних моделей ґрунтується на використанні симплекс-методу або його модифікацій. Задачі безумовно та умовно оптимізації та методи x розв'язування Математичне програмування можна поділити на лінійне та нелінійне. Нелінійне програмування є досить складним з точки зору застосування математичного апарату. Задачі нелінійного програмування поділяють залежно від оптимумів: локальний чи глобальний (рис.3); екстремумів: умовний чи безумовний(рис. 2) та методів розв'язування: аналітичний чи обчислювальний. На практиці в задачах оптимізації для змінних задають граничні умови. У межах цих умов цільова функція може набувати найбільше чи найменше значення або мати екстремум. Оптимум — ширше поняття, ніж екстремум. Якщо екстремум є не у всіх функцій, то в практичних задачах оптимум існує завжди. Екстремуми функцій Оптимуми функцій У більшості економічних задач оптимізації зустрічається локальний оптимум. Задачами безумовної оптимізації називаються такі, в яких задається лише одна цільова функція. У таких задачах не існує обмежень і граничних умов. Моделі безумовної оптимізації мають теоретичний характер, оскільки на практиці граничні умови задаються завжди. У цих задачах поняття оптимуму та екстремуму збігаються, і для знаходження оптимуму в них застосовуються методи знаходження екстремуму. Аналітичний метод розв'язування задачі безумовної оптимізації. Задана функція однієї змінної 7^ —f(x). Для того щоб визначити екстремум, необхідно: 1. Знайти першу похідну функції. 2. Прирівняти її до нуля. 3. Розв'язати рівняння, визначивши х . 4. Знайти другу похідну функції. Визначити знак цієї похідної. Якщо друга похідна менша за 0, то точка х — максимум функції. Якщо друга похідна більша за 0, то точка х — мінімум функції. Методи розв'язування задач умовної оптимізації. f(xj) -* min 1. Метод штрафних функцій. Від задачі умовної оптимізації переходять до задачі, в якій мінімізується нова цільова функція, яка містить у собі першу цільову функцію та задані обмеження. Запи-сується: F(x-) -f(x-) + xP(g(x)) —>min, де W(g(x-)) — штрафна функція.

Метод Лагранжа для розв’язування задач оптимізаці на умовний екстремум

Сутність методу полягає у побудові функції виду:L(xx, х2, X) =f(xv х2) +
Xg(xv х2),

тобто, зведення задачі на умовний екстремум двох незалежних змінних до
задачі на абсолютний екстремум функції L{xy, x2, X) трьох незалежних
змінних х1, х2, X. Функція Лагранжа є сумою цільової функції та функції
обмеження, помноженої на нову незалежну зміннуX (множник Лагранжа), яка
має перший порядок.

Для знаходження точок умовного локального екстремуму функції за
наявності обмеження слід насамперед знайти критичні точки функції
Лагранжа, тобто знайти всі розв’язання системи рівнянь:

Далі критичні точки функції Лагранжа потрібно скоротити на координати X.
Потім кожну одержану скорочену точку необхідно проаналізувати, чи є вона
точкою умовного екстремуму функції за даних обмеженнях чи ні.

Приклад. Знайдіть екстремум функції у = х\ + х\ за умови х1 + х2-1 =
0або розв’яжіть задачу на умовний екстремум методом Лагранжа.

Запишемо функцію Лагранжа:

Знаходимо критичні точки функції Лагранжа, розв’язавши систе-му рівнянь:

Одержимо: х1 = х2 = 1/2Д = -1.

Отже, система рівнянь має єдине розв’язування, єдину критичну точку
функції Лагранжа (1/2, 1/2, -1).

Для визначення, який саме екстремум має місце у критичній точці —
максимум чи мінімум, потрібно проаналізувати величину:

D = AB — С2, де A, B, С — другі часткові похідні функції:

Якщо D > 0 та A < 0 і B < 0, то критична точка — точка максимуму. Якщо D > 0 та A > 0 і B > 0, то критична точка — точка мінімуму. Якщо D < 0, екстремумів у даній точці немає. Якщо D = 0, відповіді немає, необхідно знаходити похідні вищих порядків. Для нашого прикладу A=2, В=2, С=0. Отже, D=2-2=4>0, А>0, В>0,критична
точка — точка мінімуму.

Перевіряємо, чи є скорочена критична точка точкою умовного локального
екстремуму функції за наявності обмеження.

f(x1, x2) = (1/2)2 + (1/2)2 = 1/2; 1/2 + 1/2-1= 0. Отже, (x1, x2) =
(1/2, 1/2).

Задача споживчого вибору як задача на умовний екстремум [1].Розглянемо
модель поведінки споживача (розд. 2, п. 2.1) як зада-чу на умовний
екстремум:

Для розв’язування цієї задачі застосуємо метод Лагранжа. апишемо функцію
Лагранжа:

Знаходимо її перші часткові похідні за змінними x1, x2, X та прирівнюємо
часткові похідні до нуля:

Виключаємо з одержаної системи трьох рівнянь з трьома невідомими
параметр X, одержимо систему двох рівнянь з двома невідомими х1 та х2:

Розв’язуванням цієї системи є “скорочена” критична точка ункції
Лагранжа.

Підставимо розв’язування в ліву частину першого рівняння

і одержимо відомий факт з курсу “Мікроекономіка”, що у точці локальної
ринкової рівноваги відношення граничних корисностей продуктів дорівнює
відношенню ринкових цін p1 та р2 на ці продукти:

У рівнянні ліворуч — гранична норма заміщення першого продукту іншим
(MRTS) (див. додаток).

Геометрично розв’язування задачі можна інтерпретувати як точку дотику
лінії байдужості функції корисності u(x1, x2) з бюджетною прямою p1x1 +
p2x2 = R (рис. 4).

Оптимум споживача

визначає тангенс кута нахилу лінії рівня функції корисності, а
відношення -p уявляє тангенс кута нахилу бюджетної прямої. У точці
споживчого вибору вони дотикаються.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ТА РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Замков О. О., Черемных Ю. А., Толстопятенко А. В. Математические
методы в экономике: Учебник. — 2-е изд. — М.:Изд-во МГУ; Дело и сервис,
1999.

2. Ляшенко І. М. Економіко-математичні методи та моделі сталого
розвитку. — К.: Вища шк., 1999.

3. Малиш Н. А. Моделювання еколого-економічних систем агропромислового
комплексу на території радіоактивно за-брудненого регіону. Дис… на
здоб. вч. ступ. к. е. н. КНУім. Тараса Шевченка, 1993.

4. Рюмина Е. В. Экологический фактор в экономико-математических моделях.
— М.: Наука, 1980.

5. Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах,
бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИ-ТИ-ДАНА, 2000.

Похожие записи